Verifica campo di esistenza

[carmelo811]

ciao a tt,
ecco la funzione:
$f(x)=sqrt(x-3+sqrt(x-1))$
dunque per prima cosa ho fatto il seguente sistema:
${(x-1>=0),(sqrt(x-1)>=3-x):}$;
adesso mi studio a parte la disequazione $(sqrt(x-1)>=3-x)$, e dopo di chè unisco i risultati di questa disequazione con il sistema di partenza e trovo le soluzioni ultime.
Alla fine il C.E. mi viene: $ ]-oo, 1] U [1, 2[$.
è corretto il procedimento?
grazie mille
carmelo

[_Tipper]

Il risultato non può essere quello, dato che la radice più interna ha senso solo se $x \ge 1$. Non devi fare l'unione, ma l'intersezione, se ho capito bene ciò che intendi.

[gygabyte017]

No è sbagliato, perchè da
${(x-1>=0),(sqrt(x-1)>=3-x):}$
ottieni
${(x>=1),(x>=2):}
e quindi il C.E. è $x>=2$

[carmelo811]

CIao
Devo trovare il campo di esistenza della funzione.
Ma è giusto il fatto che studio a parte la disequazione $sqrt(x-1)≥3-x$ ?
Cosa intendi per intersezione?
grazie

[carmelo811]

"gygabyte017":No è sbagliato, perchè da
${(x-1>=0),(sqrt(x-1)>=3-x):}$
ottieni
${(x>=1),(x>=2):}
e quindi il C.E. è $x>=2$

ciao ma come hai ottenuto $x>=2$?

[gygabyte017]

Allora, risolvendo la disequazione, hai che:
$sqrt(x-1)>=3-x$

${(3-x>=0),(x-1>=9-6x+x^2):} uu {(3-x<0),(x-1>=0):}


$=>{(x<=3),(2<=x<=5):}$ $uu {(x>3),(x>=1):}$

$=>{(2<=x<=3):}$ $uu {(x>3):}$

$=>$ $x>=2$

in cui, in ogni sistema, prendi SOLO le soluzioni comuni e le unisci

Prendendo il risultato della disequazione e della condizione iniziale, hai che:

${(x>=1),(x>=2):}$ $=>$ $x>=2$

[carmelo811]

scusatemi ma sn cocciuto!! allora:

"gygabyte017":Allora, risolvendo la disequazione, hai che:
$sqrt(x-1)>=3-x$

${(3-x>=0),(x-1>=9-6x+x^2):} uu {(3-x<0),(x-1>=0):}


$=>{(x<=3),(2<=x<=5):}$ $uu {(x>3),(x>=1):}$

fin qui è chiaro.
Per aiutarmi faccio lo schema delle due diseq, per la prima:
___________________3_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _2________________________5_ _ _ _ _ _

per la seconda:
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3________________________
_ _ _ _ _1___________________________________

mettendo insieme le soluzioni che ho trovato tramite lo schema otterro' $1<=x<2, x>5$ che unito a $x>=1$ ottengo:

_ _ _ _ _1______2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _5___________
_ _ _ _ _1_______________________________________

ed il risultato è divero dal tuo o sbaglio??
grazie per le risposte, ne ho davvero bisogno

[Mega-X]

"gygabyte017":Allora, risolvendo la disequazione, hai che:
$sqrt(x-1)>=3-x$

${(3-x>=0),(x-1>=9-6x+x^2):} uu {(3-x<0),(x-1>=0):}


$=>{(x<=3),(2<=x<=5):}$ $uu {(x>3),(x>=1):}$

$=>{(2<=x<=3):}$ $uu {(x>3):}$

$=>$ $x>=2$

in cui, in ogni sistema, prendi SOLO le soluzioni comuni e le unisci

Prendendo il risultato della disequazione e della condizione iniziale, hai che:

${(x>=1),(x>=2):}$ $=>$ $x>=2$

no gygabyte non puoi applicare funzioni non iniettive ad una disequazione => http://en.wikipedia.org/wiki/Inequation (vedi la 5° proprietà)

(gygabyte ha applicato la funzione NON iniettiva $f(x) = x^2$ alla disequazione $sqrt(x-1)>=3-x$)

[gygabyte017]

Eh no!!

Diamo 2 definizioni:
1) Dati due insiemi $A$ e $B$, si definisce insieme intersezione l'insieme $C=A nn B$ che contiene tutti gli elementi comuni tra $A$ e $B$ e basta! Tanto per fare un esempio, sia $A={1,2,3,4,5]$ e $B={2,4,6,8,10}$ allora $C=A nn B = {2,4}$ e basta!
2) Dati due insiemi $A$ e $B$, si definisce insieme unione l'insieme $C=A uu B$ che contiene tutti gli elementi di $A$ e tutti quelli di $B$ (una sola volta)! Tanto per fare un esempio, sia $A={1,2,3,4,5]$ e $B={2,4,6,8,10}$ allora $C=A uu B = {1,2,3,4,5,6,8,10}$

Quindi:
Quando fai il sistema devi fare l'intersezione: infatti in
${(x<=3),(2<=x<=5):}$ facendo lo schema intersezione ottieni

              -inf_________________3
                           2__________________________5
Intersezione:              2___________3

dove è evidente che le soluzioni comuni sono SOLO $2<=x<=3$

Quando invece fai l'unione tra i due sistemi ($2<=x<=3)uu(x>3)$), devi unire appunto, le soluzioni di una con quelle dell'altra:

         2____________3
                     3_____________________+inf
Unione:  2_________________________________+inf

e appunto: $x>=2$ che unito sempre a $x>=1$ iniziale, da:

            1_______________________+inf
                    2_______________+inf
Unione:             2_______________+inf

$x>=2$ !

[gygabyte017]

"Mega-X":[quote="gygabyte017"]Allora, risolvendo la disequazione, hai che:
$sqrt(x-1)>=3-x$

${(3-x>=0),(x-1>=9-6x+x^2):} uu {(3-x<0),(x-1>=0):}


$=>{(x<=3),(2<=x<=5):}$ $uu {(x>3),(x>=1):}$

$=>{(2<=x<=3):}$ $uu {(x>3):}$

$=>$ $x>=2$

in cui, in ogni sistema, prendi SOLO le soluzioni comuni e le unisci

Prendendo il risultato della disequazione e della condizione iniziale, hai che:

${(x>=1),(x>=2):}$ $=>$ $x>=2$

no gygabyte non puoi applicare funzioni non iniettive ad una disequazione => http://en.wikipedia.org/wiki/Inequation (vedi la 5° proprietà)

(gygabyte ha applicato la funzione NON iniettiva $f(x) = x^2$ alla disequazione $sqrt(x-1)>=3-x$)[/quote]

Ma scusa, una disequazione nella forma $sqrt(f(x))>=g(x)$ non si risolveva facendo
${(g(x)>=0),(f(x)>=g^2(x)):}uu{(g(x)<0),(f(x)>=0):}
??????

[Mega-X]

"gygabyte017":[quote="Mega-X"][quote="gygabyte017"]quote vecchio di gygabyte017

quote mio[/quote]

Ma scusa, una disequazione nella forma $sqrt(f(x))>=g(x)$ non si risolveva facendo
${(g(x)>=0),(f(x)>=g^2(x)):}uu{(g(x)<0),(f(x)>=0):}
?????? [/quote]

ups perdona la mia fretta..

(ad essere sinceri non sapevo neanche che una disequazione nella forma $sqrt(f(x))>=g(x)$ si risolvesse in quel modo.. )