Uso del simbolo \(\div\)
Scrivo per togliermi un dubbio circa un uso del simbolo di divisione \(\div\).
Ho trovato su un libro delle superiori una scrittura del tipo:
\[
\tag{E} a \div b \div c
\]
in cui \(a\), \(b\) e \(c\) erano delle espressioni razionali di \(x\) (ma ciò poco importa).
Tale uso dei simboli, per me, è improprio poiché l'espressione (E) non ha un'interpretazione univoca: infatti, (ipotizzando che il prodotto sia, come usualmente accade, commutativo) scegliendo di interpretarla come \( (a \div b) \div c\) essa è equivalente a:
\[
\tag{1}
a \cdot b^{-1} \cdot c^{-1}\; ;
\]
mentre, scegliendo di interpretarla come \(a\div (b\div c)\), essa è equivalente a:
\[
\tag{2}
a \cdot (b \cdot c^{-1})^{-1} = a\cdot b^{-1}\cdot c\; .
\]
Tuttavia, essendo cosciente del fatto che alcuni autori stipulano convenzioni ad minchiam sull'uso dei simboli delle operazioni, chiedo se vi è mai capitato di imbattervi in espressioni simili e come avete pensato/vi è stato suggerito di interpretarle.
Ho trovato su un libro delle superiori una scrittura del tipo:
\[
\tag{E} a \div b \div c
\]
in cui \(a\), \(b\) e \(c\) erano delle espressioni razionali di \(x\) (ma ciò poco importa).
Tale uso dei simboli, per me, è improprio poiché l'espressione (E) non ha un'interpretazione univoca: infatti, (ipotizzando che il prodotto sia, come usualmente accade, commutativo) scegliendo di interpretarla come \( (a \div b) \div c\) essa è equivalente a:
\[
\tag{1}
a \cdot b^{-1} \cdot c^{-1}\; ;
\]
mentre, scegliendo di interpretarla come \(a\div (b\div c)\), essa è equivalente a:
\[
\tag{2}
a \cdot (b \cdot c^{-1})^{-1} = a\cdot b^{-1}\cdot c\; .
\]
Tuttavia, essendo cosciente del fatto che alcuni autori stipulano convenzioni ad minchiam sull'uso dei simboli delle operazioni, chiedo se vi è mai capitato di imbattervi in espressioni simili e come avete pensato/vi è stato suggerito di interpretarle.
Risposte
Ciao,
concordo sul fatto che l'utilizzo di quel simbolo in quel modo sia improprio. In ogni caso, io avrei scelto la prima soluzione che hai proposto, eseguendo le divisioni nell'ordine in cui sono scritte.
concordo sul fatto che l'utilizzo di quel simbolo in quel modo sia improprio. In ogni caso, io avrei scelto la prima soluzione che hai proposto, eseguendo le divisioni nell'ordine in cui sono scritte.
La divisione non è associativa e quindi $a:(b:c) != (a:b):c$, tuttavia la forma $a:b:c$ va letta nell'ordine in cui sono scritte le operazioni, cioè esattamente $a:b:c=(a:b):c$ esattamente come la sottrazione $a-b-c=(a-b)-c$. Osserva che ho chiamato questa seconda espressione sottrazione, non somma o somma algebrica, perciò il segno meno è inteso non come segno del numero relativo, ma come segno di operazione. Ormai ciascuno di noi è abituato a pensare $a-b-c$ come una somma in cui il segno va ad indicare il segno del numero relativo e il simbolo di operazione è sott'inteso, per cui non c'è alcun dubbio che $a-b-c=(a-b)-c$. Tuttavia l'operazione $a-b-c$ si trova anche in testi delle elementari, qui è una semplice sottrazione e deve essere svolta nell'ordine in cui compaiono i segni di operazione, $(a-b)-c$.
Nonostante le mie difese riguardo $a:b:c$, ogni volta che lo trovo in un esercizio, sempre più di rado in realtà, faccio aggiungere le parentesi.
Nonostante le mie difese riguardo $a:b:c$, ogni volta che lo trovo in un esercizio, sempre più di rado in realtà, faccio aggiungere le parentesi.
Ciao.
Tanto per non dar luogo ad equivoci, premetto immediatamente che sono completamente d'accordo con gugo82.
Una scrittura del tipo $a div b div c$ è impropria, dal momento che la divisione ordinaria non gode della proprietà associativa.
Anch'io, talvolta, mi sono imbattuto in scritture di questo tipo, riportate in qualche libro di testo; in quel caso, solamente per tentare di capire il tipo di interpretazione che dava l'autore del libro, provavo a effettuare il conto nei due modi possibili $(a div b) div c$, oppure $a div (b div c)$; allora, e solo allora, mi rendevo conto che con l'operazione $a div b div c$ l'autore sottointendeva (quasi sempre) il calcolo secondo la modalità $(a div b) div c$.
Comunque ribadisco che la scrittura $a div b div c$ è assolutamente priva di senso da un punto di vista formale.
Saluti.
Tanto per non dar luogo ad equivoci, premetto immediatamente che sono completamente d'accordo con gugo82.
Una scrittura del tipo $a div b div c$ è impropria, dal momento che la divisione ordinaria non gode della proprietà associativa.
Anch'io, talvolta, mi sono imbattuto in scritture di questo tipo, riportate in qualche libro di testo; in quel caso, solamente per tentare di capire il tipo di interpretazione che dava l'autore del libro, provavo a effettuare il conto nei due modi possibili $(a div b) div c$, oppure $a div (b div c)$; allora, e solo allora, mi rendevo conto che con l'operazione $a div b div c$ l'autore sottointendeva (quasi sempre) il calcolo secondo la modalità $(a div b) div c$.
Comunque ribadisco che la scrittura $a div b div c$ è assolutamente priva di senso da un punto di vista formale.
Saluti.
[ot]C'è qualche particolare motivo pedagogico per parlare ancora di "divisioni" e "sottrazioni" terminate le scuole elementari?[/ot]
Divisioni di Polinomi, ad esempio.
Operazioni in $NN$, altro esempio.
Dare un significato non astratto alla parola divisore, quando si parla di massimo comun divisore.
Le divisioni con resto.
Calcolo del bilancio, in economia.
Operazioni in $NN$, altro esempio.
Dare un significato non astratto alla parola divisore, quando si parla di massimo comun divisore.
Le divisioni con resto.
Calcolo del bilancio, in economia.
@ @melia: Grazie.
Tuttavia, non posso fare a meno di notare che il simbolo \(a\div b \div c\) non si usa mai... Quindi che lo mettono a fare negli esercizi di un testo delle superiori?
Tuttavia, non posso fare a meno di notare che il simbolo \(a\div b \div c\) non si usa mai... Quindi che lo mettono a fare negli esercizi di un testo delle superiori?
"@melia":
Divisioni di Polinomi, ad esempio.
Operazioni in $NN$, altro esempio.
[...]
Le divisioni con resto.
Non si tratta di operazioni binarie, trattarle come tali costituisce un errore di fondo.
"@melia":
Dare un significato non astratto alla parola divisore, quando si parla di massimo comun divisore.
La definizione dovrebbe essere "è un divisore se puoi dividere"[nota]guardando alla divisione come operazione binaria parziale, definita solo quando la divisione euclidea dà resto nullo[/nota]? Perché se intendi "è un divisore se la divisione euclidea dà resto nullo" rientra nella casistica di prima.
Mi pare che le trattazioni elementari facciano spesso una gran confusione parlando di "divisione" utilizzando lo stesso termine indistintamente per la divisione euclidea, per la divisione euclidea con resto nullo e per indicare un numero razionale. Non è raro che uno studente delle medie/superiori abbia le idee piuttosto confuse quando deve "confrontare" concetti come la divisione euclidea, i numeri razionali e la rappresentazione decimale di un numero razionale (anche se gli stessi studenti sono delle macchine da guerra quando si tratta di svolgere esercizi meccanici sugli argomenti nominati). Secondo me utilizzare un approccio più coerente[nota]ovvero, introdurre qualche concetto in più per avere una trattazione più semplice, piuttosto che avere un numero minore di concetti, ma una trattazione inutilmente complicata[/nota] potrebbe aiutare i ragazzi a fare chiarezza sulle idee in gioco. Mi sfugge qualcosa?
"@melia":
Calcolo del bilancio, in economia.
Non conosco l'argomento abbastanza da discuterne. È importante vedere la divisione come un'operazione binaria? In che insieme numerico si lavora?
Faccio fatica a seguire il tuo ragionamento. Prima ti scateni contro le operazioni che definisci "non binarie", mentre alcune di quelle che ti ho citato lo sono. Poi ti chiedi se è importante che l'operazione sia binaria.
Poi non capisco perché pretendi di escludere la divisione tra polinomi. Nel calcolo degli integrali delle funzioni razionali fratte è indispensabile, a meno che tu non voglia eseguire una serie di calcoli che, di fatto, ti portano quoziente e resto della divisione tra polinomi.
Non si tratta di operazioni binarie, trattarle come tali costituisce un errore di fondo.
È importante vedere la divisione come un'operazione binaria? In che insieme numerico si lavora?[/quote]
In $NN$, la divisione con resto è binaria: $a:b=c <=> b*c<=a< b*(c+1)$
Poi non capisco perché pretendi di escludere la divisione tra polinomi. Nel calcolo degli integrali delle funzioni razionali fratte è indispensabile, a meno che tu non voglia eseguire una serie di calcoli che, di fatto, ti portano quoziente e resto della divisione tra polinomi.
"Epimenide93":
[quote="@melia"]
Le divisioni con resto.
Non si tratta di operazioni binarie, trattarle come tali costituisce un errore di fondo.
È importante vedere la divisione come un'operazione binaria? In che insieme numerico si lavora?[/quote]
In $NN$, la divisione con resto è binaria: $a:b=c <=> b*c<=a< b*(c+1)$
[ot]
Probabilmente non ci troviamo sulla terminologia. Un'operazione binaria su un insieme $A$ a valori in un insieme $S$ è una funzione $A \times A \to S$. Se $S = A$ l'operazione si definisce interna. Se l'operazione non è definita su tutto $A \times A$, ma solo su un suo sottoinsieme, l'operazione si definisce parziale.
Dato un dominio euclideo $(D, \delta)$, la divisione euclidea è un procedimento operativo (rigorosamente: è il risultato dell'applicazione di un teorema) che, dati due elementi $a$ e $b$ del dominio, permette di scrivere $a = qb + r$ con $\delta (r) < \delta (b)$. Non capisco quando avrei preteso di escluderla. Dico solo che non è un'operazione binaria, a meno di non forzare la mano in un modo che per un matematico potrebbe anche aver senso, ma per un ragazzo (dal mio punto di vista) molto meno[nota]ovvero, considerarla come \(\div : D \times D^* \to D \times D\).[/nota], specie se poi la divisione intesa come "prodotto per l'inverso" diventa effettivamente un'operazione binaria interna sui razionali non nulli.
Sia per motivi matematici (poter iterare le operazioni), sia per motivi pedagogici (è intuitivamente spontaneo dire "prendo due cose da un insieme, le 'mescolo', ottengo ancora una cosa che sta nell'insieme) si tende a lavorare con operazioni binarie interne, se non ci sono motivi per fare altrimenti. Se credi che sia solo una questione di rigore e non pedagogica, riesamina il discorso che viene presentato ai ragazzi delle medie: "La somma di due numeri naturali è ancora un numero naturale. La divisione tra due numeri naturali a volte è un numero naturale, a volte non si può fare, a meno di considerare un resto, ma se ci garba allora è sempre un numero razionale". Questa sorta di natura mutevole della stessa operazione, mentre somme e prodotti funzionano sempre allo stesso modo secondo me genera solo una gran confusione.
Se non fosse chiaro, sto dicendo che dal mio punto di vista sarebbe meglio presentare (come accade già in trattazioni più sistematiche) il concetto di divisione euclidea (ça va sans dire, nel solo caso degli interi) quando non abbiamo degli inversi per le mani[nota]in soldoni: $5$ è $2 \times 2$ con resto $1$ e $4$ è $2 \times 2$ con resto $0$, non è che $4 \div 2$ "si può fare" e $5 \div 2$ no. Se ti stai chiedendo perché non ho detto "$5 \div 2$ fa...", tieni conto che da questo punto di vista una scrittura come $(a \div b) + c$ non ha senso. Ovvio che si può conservare l'uso del simbolo, ma per i motivi che ho già detto (richiamerebbe alla mente un'operazione binaria) lo trovo controintuitivo.[/nota], e di spiegare (ovviamente dalle medie, non alle elementari) che la divisione nei razionali è un concetto superfluo, perché si tratta dell'ordinaria moltiplicazione. Insomma, chiamare le cose col loro nome guadagnandoci in chiarezza, invece di fare un pastone tra le varie nozioni di divisione per risparmiare agli studenti due nozioni in più.
"@melia":Credevo fosse ovvio che mi riferissi al contesto economico da te citato, e che non si trattasse di una domanda generica.[/ot]
Poi ti chiedi se è importante che l'operazione sia binaria.
Probabilmente non ci troviamo sulla terminologia. Un'operazione binaria su un insieme $A$ a valori in un insieme $S$ è una funzione $A \times A \to S$. Se $S = A$ l'operazione si definisce interna. Se l'operazione non è definita su tutto $A \times A$, ma solo su un suo sottoinsieme, l'operazione si definisce parziale.
Dato un dominio euclideo $(D, \delta)$, la divisione euclidea è un procedimento operativo (rigorosamente: è il risultato dell'applicazione di un teorema) che, dati due elementi $a$ e $b$ del dominio, permette di scrivere $a = qb + r$ con $\delta (r) < \delta (b)$. Non capisco quando avrei preteso di escluderla. Dico solo che non è un'operazione binaria, a meno di non forzare la mano in un modo che per un matematico potrebbe anche aver senso, ma per un ragazzo (dal mio punto di vista) molto meno[nota]ovvero, considerarla come \(\div : D \times D^* \to D \times D\).[/nota], specie se poi la divisione intesa come "prodotto per l'inverso" diventa effettivamente un'operazione binaria interna sui razionali non nulli.
Sia per motivi matematici (poter iterare le operazioni), sia per motivi pedagogici (è intuitivamente spontaneo dire "prendo due cose da un insieme, le 'mescolo', ottengo ancora una cosa che sta nell'insieme) si tende a lavorare con operazioni binarie interne, se non ci sono motivi per fare altrimenti. Se credi che sia solo una questione di rigore e non pedagogica, riesamina il discorso che viene presentato ai ragazzi delle medie: "La somma di due numeri naturali è ancora un numero naturale. La divisione tra due numeri naturali a volte è un numero naturale, a volte non si può fare, a meno di considerare un resto, ma se ci garba allora è sempre un numero razionale". Questa sorta di natura mutevole della stessa operazione, mentre somme e prodotti funzionano sempre allo stesso modo secondo me genera solo una gran confusione.
Se non fosse chiaro, sto dicendo che dal mio punto di vista sarebbe meglio presentare (come accade già in trattazioni più sistematiche) il concetto di divisione euclidea (ça va sans dire, nel solo caso degli interi) quando non abbiamo degli inversi per le mani[nota]in soldoni: $5$ è $2 \times 2$ con resto $1$ e $4$ è $2 \times 2$ con resto $0$, non è che $4 \div 2$ "si può fare" e $5 \div 2$ no. Se ti stai chiedendo perché non ho detto "$5 \div 2$ fa...", tieni conto che da questo punto di vista una scrittura come $(a \div b) + c$ non ha senso. Ovvio che si può conservare l'uso del simbolo, ma per i motivi che ho già detto (richiamerebbe alla mente un'operazione binaria) lo trovo controintuitivo.[/nota], e di spiegare (ovviamente dalle medie, non alle elementari) che la divisione nei razionali è un concetto superfluo, perché si tratta dell'ordinaria moltiplicazione. Insomma, chiamare le cose col loro nome guadagnandoci in chiarezza, invece di fare un pastone tra le varie nozioni di divisione per risparmiare agli studenti due nozioni in più.
La mia impressione, ma forse mi sbaglio, è che il concetto di frazione sia più naturale di quello di divisione e anche di operazione. Insomma qualunque bambino sa cosa sia mezza mela o un terzo di pizza.
Secondo me quindi si potrebbe procedere nel seguente modo:
[list=1][*:2ll58oz5] Frazioni con numeratore 1[/*:m:2ll58oz5]
[*:2ll58oz5] multipli interi di frazioni con numeratore 1[/*:m:2ll58oz5]
[*:2ll58oz5] somme di frazioni con lo stesso denominatore[/*:m:2ll58oz5]
[*:2ll58oz5] frazioni di numeri interi (insomma una divisione mascherata ma il risultato è una frazione)[/*:m:2ll58oz5]
[*:2ll58oz5] equivalenza degli ultimi due punti precedenti e notazione a/b[/*:m:2ll58oz5]
[*:2ll58oz5] uguaglianza di frazioni (finora conveniva usare frazioni non semplificate)[/*:m:2ll58oz5]
[*:2ll58oz5] moltiplicazione di frazioni tra di loro[/*:m:2ll58oz5]
[*:2ll58oz5] somma di frazioni (la somma di una frazione è meno naturale della moltiplicazione)[/*:m:2ll58oz5]
[*:2ll58oz5] scrittura di una frazione come intero + frazione.[/*:m:2ll58oz5]
[*:2ll58oz5] divisione euclidea e concetto di divisione con resto[/*:m:2ll58oz5][/list:o:2ll58oz5]
Da qui come il solito. Secondo me potrebbe essere capito tranquillamente da un bambino, ma non avendo a che fari con minori di nessun tipo potrei anche sbagliarmi.
Secondo me quindi si potrebbe procedere nel seguente modo:
[list=1][*:2ll58oz5] Frazioni con numeratore 1[/*:m:2ll58oz5]
[*:2ll58oz5] multipli interi di frazioni con numeratore 1[/*:m:2ll58oz5]
[*:2ll58oz5] somme di frazioni con lo stesso denominatore[/*:m:2ll58oz5]
[*:2ll58oz5] frazioni di numeri interi (insomma una divisione mascherata ma il risultato è una frazione)[/*:m:2ll58oz5]
[*:2ll58oz5] equivalenza degli ultimi due punti precedenti e notazione a/b[/*:m:2ll58oz5]
[*:2ll58oz5] uguaglianza di frazioni (finora conveniva usare frazioni non semplificate)[/*:m:2ll58oz5]
[*:2ll58oz5] moltiplicazione di frazioni tra di loro[/*:m:2ll58oz5]
[*:2ll58oz5] somma di frazioni (la somma di una frazione è meno naturale della moltiplicazione)[/*:m:2ll58oz5]
[*:2ll58oz5] scrittura di una frazione come intero + frazione.[/*:m:2ll58oz5]
[*:2ll58oz5] divisione euclidea e concetto di divisione con resto[/*:m:2ll58oz5][/list:o:2ll58oz5]
Da qui come il solito. Secondo me potrebbe essere capito tranquillamente da un bambino, ma non avendo a che fari con minori di nessun tipo potrei anche sbagliarmi.
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