Urgente! Urgentissimo

[martibra]

Dimostrazioni problemi geometria

mi aiutate con queste dimostrazioni please? grazie :)

ESERCIZIO5] Traccia la bisettrice OC dell’angolo convesso AOB e da un suo punto P traccia la perpendicolare ad OP che incontra la retta rOA in M e la retta rOB in N. Dimostra che NOM è isoscele.
ESERCIZIO6] Nel triangolo isoscele ABC sia r l’asse della base BC che interseca BC nel punto H. Considera un
punto e AC.
a. b.
c. d.
P di r interno al triangolo e siano C’ e B’ rispettivamente i punti di intersezione fra la retta CP e AB, e la retta BP Dimostra che:
ˆˆ
Gli angoli ABC e ACB sono congruenti
A appartiene ad r; BC’ ≅ CB’;
C’B’ è parallelo a BC.
ESERCIZIO7] Sia ABC un triangolo rettangolo in A e AD l’altezza relativa all’ipotenusa BC. Costruisci i punti E ed F simmetrici di D rispetto ad AB e ad AC. Dimostra che DF è perpendicolare a DE e che AF ≅ AE.
ESERCIZIO8] Sia ABCD un trapezio rettangolo di base maggiore AB perpendicolare a BC. Sia r l’asse di AB che interseca AB in M. Costruisci il simmetrico A’B’C’D’ di ABCD nella simmetria assiale di asse AD e indica con M’ il trasformato di M. Considera un punto P sul prolungamento di AD dalla parte di A e il punto E comune a r e alla retta AD. Dimostra che:
a. La retta r è perpendicolare alla retta DC
b. A’B’ e B’C’ sono perpendicolari
c. PB e PB’ sono congruenti
d. I segmenti A’B’ e D’C’ sono paralleli
e. Le rette BB’ e CC’ sono parallele
f. Il triangolo EAB è isoscele di base ...............................
come pure EAB’
g. EMMH e deduci che il perimetro di ABE è maggiore del perimetro di AMM’

ESERCIZIO9] (senza correzione) Sia ABC un triangolo isoscele di base AC. Traccia da A le rette r e x rispettivamente perpendicolari a BC e ad AB; traccia da C le rette s e y rispettivamente perpendicolari a AB e ad BC. Indica con F il punto di intersezione fra s e AB, con G il punto di intersezione fra r e BC e con D il punto di intersezione fra x e y. Dimostra che:
a. i lati del quadrilatero AECD sono parallele a due a due, dove {E}=r∩s;
b. BF e BG sono congruenti;
c. I triangoli AGC e AFC sono congruenti;
d. La retta ED è asse di AC;
e. AEC e ADC sono triangoli isosceli;
))
f. BAG≅BCE;
g. AC>AD e AC>AG; è possibile confrontare AD e AG?

[SteDV]

Ciao!

Io ti aiuto volentieri, ma bisogna che proponi un tuo tentativo o mi indichi cosa, in particolare, non ti riesce.
I problemi con dimostrazione sono esercizi complessi che si articolano in più fasi (disegno, trascrizione di ipotesi e tesi, ragionamento, dimostrazione). Devo sapere dove riesci ad arrivare per poterti dire come proseguire. In questo modo, un esercizio alla volta, riuscirai pian piano a gestirli tutti. Richiedono molto tempo ma, alla lunga, si assomigliano molto.

[martibra]

se mi puoi aiutare, dove mi trovo in difficoltà è proprio nella dimostrazione

[SteDV]

Allora,

purtroppo ho poco tempo a disposizione, ma cerco di illustrarti il primo esercizio nel modo più chiaro possibile. Non è molto, ma forse puoi trarne qualche spunto per i successivi.

Prima cosa, un bel disegno!
Devi essere in grado di costruire la situazione descritta dall'esercizio. Un disegno chiaro - fidati - vale metà della soluzione.

Ora scriviamo le ipotesi, rileggendo attentamente il testo.

Prima ipotesi: OC è la bisettrice dell'angolo AOB, perciò divide l'angolo in due metà uguali. Scriviamo:

[math]A\hat{O}C \cong B\hat{O}C[/math]

Seconda ipotesi: La retta passante per il punto P della bisettrice è perpendicolare a quest'ultima. Ciò significa che forma con la bisettrice quattro bellissimi angoli retti, tutti congruenti tra loro:

[math]O\hat{P}M \cong M\hat{P}C \cong C\hat{P}N \cong N\hat{P}O \cong 90^\circ[/math]

Altre ipotesi, direi, non ce ne sono.

Passiamo alla tesi.

Dire che un triangolo è isoscele significa dimostrarne la proprietà caratteristica, cioè che ha due lati congruenti. I lati in questione, evidentemente, sono OM e ON, anche se non sempre è scontato.
Limitiamoci a scrivere:

[math]NOM \text{ è isoscele}[/math]

E dimostriamo!

Guarda il disegno e comincia a ragionare dalla tesi: non devi mai perdere di vista l'obiettivo e devi procedere a ritroso.
Dobbiamo dimostrare che NOM è un triangolo isoscele, perciò dobbiamo chiederci: "Quali strumenti conosciamo per dimostrare che un triangolo è isoscele?". Forse il teorema inverso del triangolo isoscele: quello sugli angoli alla base, per intenderci, ma di questi angoli (ONP e OMP) non sappiamo nulla.
Non sappiamo nulla neanche dei lati OM e ON, se non che sono parte di due triangoli apparentemente molto simili: i triangoli OPM e OPN generati dalla bisettrice e dalla perpendicolare in P.

Dobbiamo osservare che, se riuscissimo a dimostrare che i triangoli OPM e OPN sono congruenti, potremmo affermare tanto la congruenza dei lati OM e ON quanto la congruenza degli angoli alla base ONP e OMP (cosa che comunque, alla luce della prima deduzione, non sarebbe necessaria).
Insomma, concentriamoci sui due triangoli e chiediamoci: "Quali strumenti conosciamo per stabilire la congruenza di due triangoli?".
Risposta: i tre benedetti criteri di congruenza.
Non resta che capire quale usare...

I due triangoli (li ho colorati, nel disegno) hanno il lato OP in comune, e questa è già una conoscenza utile. Hanno anche due coppie di angoli congruenti per ipotesi: gli angoli formati dalla bisettrice (AOC e BOC) e gli angoli retti OPM e NPO.
È fatta! Perché questi sono i presupposti del secondo criterio di congruenza dei triangoli: un lato e i due angoli adiacenti a esso congruenti.

Riepiloghiamo il tutto.

Consideriamo i triangoli OPM e OPN...

[math]OP \text{ in comune}[/math]

(per costruzione)

[math]A\hat{O}C \cong B\hat{O}C[/math]

(per la prima ipotesi)

[math]O\hat{P}M \cong N\hat{P}O[/math]

(per la seconda ipotesi)

[math]OPM \cong OPN[/math]

(per il secondo criterio di congruenza dei triangoli)

[math]OM \cong ON[/math]

(perché OPM e OPN sono congruenti)

[math]NOM è isoscele[/math]

(perché ha i due lati, OM e ON, congruenti)


Spero di esserti stato utile. ;)