Urgente domanda su integrale e funzioni

[vrijheid]

1) La funzione $ f(x)=ax^2+bx+c $ raggiunge il suo valore massimo y=9 per x=2.
f passa anche per P(-3,-16). Calcolare a,b,c.

Disegnare poi il grafico della funzione f e calcolare l'area della superficie compresa tra il suo grafico e quello
della funzione $ y =-1/3 x^2 + 4/3x + 5/3 $

Ho trovato la funzione f, che è risultata $ f(x) = -x^2 +4x +5 $, con a=-1; b=4 e c=5.

Però, per trovare a,b,c, è sbagliato porre la condizione (oltre a quelle di y(2)=9 e y(-3)=-16)
y'(2)=9? Bisogna invece porre y'(2)=0?

Una volta disegnati i grafici, per trovare l'area, non capisco perché bisogna scrivere: $ int_(-1)^(5) (-x^2 +4x +5) dx - int_(-1)^(5) (-1/3x^2+4/3x+5/3) dx $

Perché utilizza l'intervallo da (-1) a 5?
E perché calcola prima l'integrale di f e non quello di y?

Grazie

[marcosocio]

Nel punto di massimo la derivata si annulla quindi sì, bisogna porre $y'(2)=0$.
Per l'integrale attendi più esperti.

[giammaria2]

Per trovare l'area racchiusa fra due curve devi come prima cosa trovare le loro intersezioni; risolvendo il sistema trovi che le due parabole si incontrano in $(-1,0)$ ed in $(5,0)$. L'area richiesta è data dalla differenza fra quella sottostante alla curva più in alto e quella sottostante all'altra: questo è ciò che è stato fatto.
In generale la formula è
$S=int_a^b[f(x)-g(x)]dx$
in cui: $a$ è l'ascissa dell'intersezione a sinistra, $b$ è l'ascissa dell'intersezione a destra, $y=f(x)$ è l'equazione della curva in alto, $y=g(x)$ è l'equazione della curva in basso.
L'unico integrale che io ho scritto può essere spezzato nella differenza di due integrali, come fa il tuo libro.

In futuro evita la parola "urgente", nel rispetto del regolamento.

[vrijheid]

Grazie mille, adesso è più chiaro