Urgente (225964)

[Nina20000]

Nel triangolo isoscele ABC i vertici della base sono A (-2;1) e B(sei;-1) e la misura dell area è 85/2.Trova il vertice C.Determina il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo

[mc2]

A(-2,1) B(6,-1)


Siccome il triangolo e` isoscele, il punto medio della base AB e` il piede dell'altezza: M(2,0)


La lunghezza della base e`

[math]b=AB=\sqrt{64+4}=2\sqrt{17}[/math]

Formula dell'area:

[math]S=\frac{1}{2}bh[/math]

Conoscendo la base e l'area si ricava l'altezza:

[math]h=\frac{2S}{b}=\frac{5}{2}\sqrt{17}[/math]

Il punto C si trova sulla perpendicolare ad AB condotta da M.


Retta AB:

[math]y=-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}[/math]

la retta perpendicolare ad AB deve avere quindi il coefficiente angolare m=4 e deve passare per M:

[math]y=4(x-2)[/math]

Per trovare il punto C calcoliamo l'intersezione di questa retta con la circonferenza di centro M e raggio h (altezza del triangolo):

[math]
\left\{
\begin{array}{l}
y=4(x-2)\\
(x-2)^2+y^2=\frac{25}{4}\cdot 17
\end{array}\right.\hspace{2cm}
[/math]

[math](x-2)^2+16(x-2)^2=\frac{25}{4}\cdot 17\hspace{2cm}[/math]

[math]17(x-2)^2=\frac{25}{4}\cdot 17\hspace{2cm}[/math]

[math](x-2)^2=\frac{25}{4}\hspace{2cm}[/math]

[math]x-2=\pm\frac{5}{2}\hspace{2cm}[/math]

[math]x=2\pm\frac{5}{2}[/math]

Quindi ci sono due soluzioni per il punto C:


la prima e`

[math]x=2+\frac{5}{2}=\frac{9}{2}[/math]

[math]y=4(x-2)=10[/math]

cioe`

[math]C_1=(\frac{9}{2},10)[/math]

la seconda e`

[math]x=2-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}[/math]

[math]y=4(x-2)=-10[/math]

cioe`

[math]C_2=(-\frac{1}{2},-10)[/math]

L'area del triangolo si puo` anche calcolare come semiperimetro * raggio del cerchio inscritto.


Quindi possiamo ricavare il raggio del cerchio inscritto conoscendo l'area e calcolando il semiperimetro (il risultato viene identico per i due C trovati):


Perimetro:

[math]2p=AB+AC+CB=2\sqrt{17}+2\sqrt{\frac{493}{4}}=
2\sqrt{17}+\sqrt{29\cdot 17}
[/math]

Semiperimetro:

[math]p=\sqrt{17}+\frac{\sqrt{29\cdot 17}}{2}=\sqrt{17}(1+\frac{\sqrt{29}}{2})[/math]

Quindi, se r e` il raggio del cerchio inscritto:

[math]S=pr,\hspace{2cm}[/math]

[math]r=\frac{S}{p}=\frac{5\sqrt{17}}{2+\sqrt{29}}[/math]

Ho scritto i risultati, con pochi passaggi: prova a rifare tutto per conto tuo, se non ci riesci, chiedi.