Una semplice derivata...

[ocker]

..per voi, ma non per me

mi potete risolvere ma sopratutto spiegare il procedimento per ottenre la derivata di $f(x)=a^x


Grazie mille

[carlo232]

"ocker":..per voi, ma non per me

mi potete risolvere ma sopratutto spiegare il procedimento per ottenre la derivata di $f(x)=a^x


Grazie mille

Abbiamo $f(x)=a^x=e^(x(ln a))$, derivata di derivata $f'(x)=(ln a)e^(x(ln a))=a^x ln(a)$

[Camillo]

La derivata è il limite del rapporto incrementale quando l'incremento tende a 0 .
Il rapporto incrementale per la funzione $y = a^x $ è :

$(a^(x+h)-a^x)/h $ essendo $h$ l'incremento.
Va quindi calcolato : $ lim_(h rarr 0 ) (a^(x+h)-a^x)/h = lim_(h rarr 0 ) a^x*(a^h-1)/h =a^x*lim_(h rarr 0)(a^h-1)/h$.

Ma $ lim_(h rarr 0) (a^h-1)/h $ è un limite notevole e vale :$ log a$ (in base e ).
Quindi la derivata di $a ^x $ è :$ a^x*log a $ .

[ocker]

"camillo":
Ma $ lim_(h rarr 0) (a^h-1)/h $ è un limite notevole e vale :$ log a$ (in base e ).
Quindi la derivata di $a ^x $ è :$ a^x*log a $ .

Ok, ci sono, quindi invece nel caso di $e^x$ la derivata sarebbe $f'(x)=e^x*ln(e)$ ma siccome $ln(e)=1$ allora rimane $f'(x)=e^x$

Ma quindi è giusta questa formuletta? $f(x)=a^(x^n)$ quindi $f'(x)=a^(x^n)*d/(dx)(x^n)*ln(a)$ ???

Grazie

[Camillo]

Sì corretto : quella che tu chiami formuletta proviene dalla regola di derivazione di funzioni composte :
D $a^f(x) = a^f(x) *ln a *f'(x) $ che nel caso specifico diventa :
D$a^(x^n)= a^(x^n)*ln a *n*x^(n-1) $

[ocker]

"camillo":Sì corretto : quella che tu chiami formuletta proviene dalla regola di derivazione di funzioni composte

Grazie infinite Gia' non sapevo il nome giusto scusate Era proprio quello che cercavo! Girando per il web non ero riuscito a trovarla..

Ciao alla prossima

P.s. Sicuramente tornero'

[elvismizzoni]

Carissimo Ocker, scusami se mi permetto. Ma visto il modo "estremamente sintetico" con il quale, correttamente ed inevitabilmente in questo contesto, ti è stato risposto.
Vista la "non eccessiva" praticità della notazione matematica disponibile, non ti conveniva consultare un sano, semplice e comodo manuale di analisi per le scuole superiori?
Ce ne sono molti di buona fattura e, a volte, anche chiari.

Scusami ancora, Ervise.
Ciao.