Una retta coi buchi?
Una retta con i buchi?
Due questioni riguardanti i miei guai con l’infinito.
1°) L’irrazionalità. Ecco come mi si presenta: un giorno i greci scoprono che radice di 2 non è un numero (razionale), si impauriscono e abbandonano la via dell’aritmetica per fondare la propria matematica sulla geometria non esposta al rischio del paradosso.
La geometria, oggi, mi si presenta in forma assiomatica introducendo gli assiomi di appartenenza, d’ordine, di partizione, di congruenza.
Così si è risolto il problema della continuità della retta. Ma? Mi sembra che questi assiomi vadano benissimo per i numeri razionali. Mi illuminate per cortesia? Ci ho già pensato troppo.
Per “fortuna”, siccome le cose che non capisco sono (almeno) 2, nella mia ignoranza c’è una certa coerenza.
Ecco la 2° questione.
I numeri irrazionali sono classi separate e contigue di razionali. Date queste due classi si dimostra che esiste un unico elemento separatore infatti ammettendo l’esistenza di due elementi si cade nell’assurdo.
Questo ragionamento si serve necessariamente dell’infinito. E direi che non può poggiare sulla sola idea di infinito potenziale come quello del tipo “ se n è un numero allora anche n+1 è un numero” giacché con questo atteggiamento è sì sempre possibile trovare un razionale con cui ridurre la lunghezza del nostro intervallo ma, alla stessa maniera, si può potenzialmente sempre rispondere prendendo un intervallo più piccolo.
Bisogna richiedere che l’infinito sia in atto: che il processo sia concluso. (Può darsi che sia una fesseria ma mi pare sia proprio quello che fa l’induzione e si possa affermare che il principio di induzione dichiara l’equivalenza tra l’infinito in atto e l’infinito in potenza consentendo il passaggio dal primo al secondo).
Ecco ciò che non capisco: se si accetta un infinito di questo tipo per quale ragione non si debbono accettare gli irrazionali come quozienti tra infiniti? Se si vuole ammettere l’infinitamente divisibile e un infinito attuale si deve ammettere anche la attualità di numeri che non siano rapporti di due finiti e non abbiano allineamenti periodici. No?
E forse i greci hanno rifiutato questi numeri proprio perché diffidenti nei confronti dell’infinito.
Così come sono gli irrazionale mi sembrano dotati di una definizione di sicura utilità pratica (non vedo come fare senza) ma concettualmente inutile (nel senso che non mi pare aggiunga nulla che non c’era già).
Forse ce l’ho solo con l’introduzione degli irrazionali mediante una riduzione all’assurdo.
Una questione al margine: l’unicità della scomposizione in primi vale anche nel caso di infiniti?
Ah gia? Qualcuno mi dice quale assioma della geometria toglie i buchi dalla retta?
Grazie. Sono disposto a credere a tutto (non solo alle dimostrazioni)
Siccome ieri ho dato nel forum un’aiuto vergognosamente sbagliato (celere correzione non basta al perdono) ho deciso di espormi al pubblico ludibrio.
W Juventus
Fate pure.
Due questioni riguardanti i miei guai con l’infinito.
1°) L’irrazionalità. Ecco come mi si presenta: un giorno i greci scoprono che radice di 2 non è un numero (razionale), si impauriscono e abbandonano la via dell’aritmetica per fondare la propria matematica sulla geometria non esposta al rischio del paradosso.
La geometria, oggi, mi si presenta in forma assiomatica introducendo gli assiomi di appartenenza, d’ordine, di partizione, di congruenza.
Così si è risolto il problema della continuità della retta. Ma? Mi sembra che questi assiomi vadano benissimo per i numeri razionali. Mi illuminate per cortesia? Ci ho già pensato troppo.
Per “fortuna”, siccome le cose che non capisco sono (almeno) 2, nella mia ignoranza c’è una certa coerenza.
Ecco la 2° questione.
I numeri irrazionali sono classi separate e contigue di razionali. Date queste due classi si dimostra che esiste un unico elemento separatore infatti ammettendo l’esistenza di due elementi si cade nell’assurdo.
Questo ragionamento si serve necessariamente dell’infinito. E direi che non può poggiare sulla sola idea di infinito potenziale come quello del tipo “ se n è un numero allora anche n+1 è un numero” giacché con questo atteggiamento è sì sempre possibile trovare un razionale con cui ridurre la lunghezza del nostro intervallo ma, alla stessa maniera, si può potenzialmente sempre rispondere prendendo un intervallo più piccolo.
Bisogna richiedere che l’infinito sia in atto: che il processo sia concluso. (Può darsi che sia una fesseria ma mi pare sia proprio quello che fa l’induzione e si possa affermare che il principio di induzione dichiara l’equivalenza tra l’infinito in atto e l’infinito in potenza consentendo il passaggio dal primo al secondo).
Ecco ciò che non capisco: se si accetta un infinito di questo tipo per quale ragione non si debbono accettare gli irrazionali come quozienti tra infiniti? Se si vuole ammettere l’infinitamente divisibile e un infinito attuale si deve ammettere anche la attualità di numeri che non siano rapporti di due finiti e non abbiano allineamenti periodici. No?
E forse i greci hanno rifiutato questi numeri proprio perché diffidenti nei confronti dell’infinito.
Così come sono gli irrazionale mi sembrano dotati di una definizione di sicura utilità pratica (non vedo come fare senza) ma concettualmente inutile (nel senso che non mi pare aggiunga nulla che non c’era già).
Forse ce l’ho solo con l’introduzione degli irrazionali mediante una riduzione all’assurdo.
Una questione al margine: l’unicità della scomposizione in primi vale anche nel caso di infiniti?
Ah gia? Qualcuno mi dice quale assioma della geometria toglie i buchi dalla retta?
Grazie. Sono disposto a credere a tutto (non solo alle dimostrazioni)
Siccome ieri ho dato nel forum un’aiuto vergognosamente sbagliato (celere correzione non basta al perdono) ho deciso di espormi al pubblico ludibrio.
W Juventus
Fate pure.
Risposte
"silente":
W Juventus
t qoto
Gli assiomi di geometria che vengono insegnati alle superiori sono molto intuitivi e non costruiscono una geometria perfettamente rigorosa dal punto di vista logico.
Nei corsi universitari la geometria viene in genere "tirata fuori" in modo spettacolare dall'algebra lineare, la quale poggia su un catalogo di assiomi ben più ristretto e chiaro che attinge alle strutture algebriche e più in generale alla teoria degli insiemi.
Per "togliere i buchi dalla retta" (che espressione infelice!
) si dice che esiste una corrispondenza biunivoca tra $RR$ ed i punti della retta stessa (introduzione alla geometria analitica).
La seconda questione è interessante, ma nel modo in cui la poni annega nella filosofia.
Un insieme $A$ si dice completo se ogni suo sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato ammette estremo superiore in $A$.
L'insieme $QQ$ dei numeri razionali non è completo. Infatti l'insieme definito da ${q in QQ \mbox{ tali che } q^2<2}$ è sottoinsieme di $QQ$, è superiormente limitato AD ESEMPIO dal numero razionale $\frac{5}{2}$ ma non ammette estremo superiore in $QQ$. L'estremo superiore è infatti $\sqrt{2}$
L'analisi matematica necessita di un campo completo (in realtà tale campo deve avere anche altre caratteristiche), e quindi non può essere fatta, così come la conosciamo, su $QQ$.
Mostrare come sia possibile "far nascere" gli insiemi numerici a partire da basilari nozioni e teoremi di insiemistica è tutt'altro che semplice! Nella letteratura esistono vari approcci ai sistemi numerici.
Volendo procedere in modo costruttivo (alla Peano) si rende necessario definire per bene cosa si intende per "insieme infinito" (vogliamo infatti che i numeri siano infiniti ??): si rivela sconveniente (stando a quanto ho studiato io) definire "insieme infinito" come negazione di "insieme finito" (bisogna definire correttamente anche quest'ultimo, generalmente in termini di funzioni). E' preferibile dimostrare in un secondo tempo l'identità logica tra "infinito" e "non finito": è un terreno accidentato e non semplice da affrontare. Dagli insiemi infiniti si può passare ad $NN$ e via via si costruiscono $ZZ, QQ$. L'insieme dei razionali non è però completo (brutto difetto!!). Lo risolviamo creando $RR$. Un modo è usare le sezioni di Dedekind, ma non è l'unico.
NOTA IMPORTANTE: Gli approcci a questi argomenti non sono unici. Ne esistono sicuramente di diversi rispetto a quello che ho studiato io all'Università.
Questi studi richiedono tempo e impegno anche per corsi universitari. I corsi di analisi matematica infatti prevedono generalmente l'introduzione assiomatica di $RR$ come campo completo (etc... etc...).
ULTIMA COSA: In matematica è lecito parlare solo di ciò che è stato ben definito! "Infinito in atto" ed "infinito in potenza" sono termini filosofici: se vuoi usarli per parlare di matematica devi prima definirli sulla base di sistemi assiomatici matematici consolidati. Io, ad esempio, non saprei farlo!
Sono il primo a dire che matematica e filosofia hanno molto in comune, ma la prima è di gran lunga più rigorosa e precisa. Ogni parola deve essere chiara e permettere di accedere ad un preciso concetto matematico. Questo è pssibile solo definendo ogni parola riservata ricorrendo agli assiomi o a parole precedentemente definite tramite essi.
Tornando ai sistemi numerici, un approccio semplice (se sei uno studente sveglio di scuola superiore puoi leggerlo tranquillamente) è quello che offre Bertrand Russell in Introduzione alla filosofia matematica: è un libello non lungo e piacevole da leggere, adatto per prendere confidenza con i modi della matematica e capire come funzionano le cose.
Spero di esserti stato d'aiuto.
In bocca al lupo!!
P.S. Guardati con calma questo link
Si parla dell'infinito, e la bibliografia è autorevole (i testi citati sono tutti interessanti...se ti appassiona l'argomento puoi leggerli... Il testo di Boyer parla anche di tantissime altre cose: traccia un po' il percorso della matematica dagli albori al 1970 circa)
Nei corsi universitari la geometria viene in genere "tirata fuori" in modo spettacolare dall'algebra lineare, la quale poggia su un catalogo di assiomi ben più ristretto e chiaro che attinge alle strutture algebriche e più in generale alla teoria degli insiemi.
Per "togliere i buchi dalla retta" (che espressione infelice!
) si dice che esiste una corrispondenza biunivoca tra $RR$ ed i punti della retta stessa (introduzione alla geometria analitica).La seconda questione è interessante, ma nel modo in cui la poni annega nella filosofia.
Un insieme $A$ si dice completo se ogni suo sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato ammette estremo superiore in $A$.
L'insieme $QQ$ dei numeri razionali non è completo. Infatti l'insieme definito da ${q in QQ \mbox{ tali che } q^2<2}$ è sottoinsieme di $QQ$, è superiormente limitato AD ESEMPIO dal numero razionale $\frac{5}{2}$ ma non ammette estremo superiore in $QQ$. L'estremo superiore è infatti $\sqrt{2}$
L'analisi matematica necessita di un campo completo (in realtà tale campo deve avere anche altre caratteristiche), e quindi non può essere fatta, così come la conosciamo, su $QQ$.
Mostrare come sia possibile "far nascere" gli insiemi numerici a partire da basilari nozioni e teoremi di insiemistica è tutt'altro che semplice! Nella letteratura esistono vari approcci ai sistemi numerici.
Volendo procedere in modo costruttivo (alla Peano) si rende necessario definire per bene cosa si intende per "insieme infinito" (vogliamo infatti che i numeri siano infiniti ??): si rivela sconveniente (stando a quanto ho studiato io) definire "insieme infinito" come negazione di "insieme finito" (bisogna definire correttamente anche quest'ultimo, generalmente in termini di funzioni). E' preferibile dimostrare in un secondo tempo l'identità logica tra "infinito" e "non finito": è un terreno accidentato e non semplice da affrontare. Dagli insiemi infiniti si può passare ad $NN$ e via via si costruiscono $ZZ, QQ$. L'insieme dei razionali non è però completo (brutto difetto!!). Lo risolviamo creando $RR$. Un modo è usare le sezioni di Dedekind, ma non è l'unico.
NOTA IMPORTANTE: Gli approcci a questi argomenti non sono unici. Ne esistono sicuramente di diversi rispetto a quello che ho studiato io all'Università.
Questi studi richiedono tempo e impegno anche per corsi universitari. I corsi di analisi matematica infatti prevedono generalmente l'introduzione assiomatica di $RR$ come campo completo (etc... etc...).
ULTIMA COSA: In matematica è lecito parlare solo di ciò che è stato ben definito! "Infinito in atto" ed "infinito in potenza" sono termini filosofici: se vuoi usarli per parlare di matematica devi prima definirli sulla base di sistemi assiomatici matematici consolidati. Io, ad esempio, non saprei farlo!
Sono il primo a dire che matematica e filosofia hanno molto in comune, ma la prima è di gran lunga più rigorosa e precisa. Ogni parola deve essere chiara e permettere di accedere ad un preciso concetto matematico. Questo è pssibile solo definendo ogni parola riservata ricorrendo agli assiomi o a parole precedentemente definite tramite essi.
Tornando ai sistemi numerici, un approccio semplice (se sei uno studente sveglio di scuola superiore puoi leggerlo tranquillamente) è quello che offre Bertrand Russell in Introduzione alla filosofia matematica: è un libello non lungo e piacevole da leggere, adatto per prendere confidenza con i modi della matematica e capire come funzionano le cose.
Spero di esserti stato d'aiuto.
In bocca al lupo!!
P.S. Guardati con calma questo link
Si parla dell'infinito, e la bibliografia è autorevole (i testi citati sono tutti interessanti...se ti appassiona l'argomento puoi leggerli... Il testo di Boyer parla anche di tantissime altre cose: traccia un po' il percorso della matematica dagli albori al 1970 circa)
Consapevole di non essere (spero di poter dire “per ora”) in alcun modo in grado di dare una veste formale ai miei discorsi, cerco di “definire” (non adiratevi) cosa io intenda per infinito potenziale e infinito assoluto.
Ho sbirciato il libello di Russell ( è incredibile: dei quattro libri che in questi giorni i gentili utenti mi hanno suggerito di comprare ne ho in casa 3. Avessi anche il tempo per leggerli….lo troverò!!) e, stanti gli assiomi di Peano, direi:
infinito potenziale è il sistema dei primi 4 assiomi.
Infinito assoluto è il sistema con anche l’induzione.
in questo modo se si prova (semplifico oltre il lecito anche perché altrimenti mi fermerei) a costruire un allineamento decimale cosa succede?
Per esempio prendiamo il numero 0.12345678910111213141516….. ottenuto dalla serie dei naturali (che se non ho abbagli mi pare irrazionale).
Questo allineamento è costruito ponendo di seguito ad ogni numero il suo successore:
poichè ogni numero ha un successore si può sempre andare avanti di (almeno) una cifra;
poiché il successore è a sua volta un numero questo avrà ancora un successore…………
………………………………………..
Questo numero quindi si può costruire coi primi 4 assiomi e continuare ad andare avanti (potenzialmente all’infinito).
Ora si aggiunga il 5° assioma.
Il 5° assioma ci dice che ogni proprietà che essendo di un numero è del suo successore è di tutti i numeri.
Ora chiediamoci: quali sono i numeri presenti in questo allineamento. La risposta è: tutti! Sicchè non si può più andare avanti. Si è concluso. Questo è l’infinito in atto (sempre secondo me)
Grazie ancora Bertrand
P.s. - Da uno che si salva a nuoto a 76 anni da un incidente aereo non ci si possono aspettare che buoni suggerimenti.
[size=9]P.s. 2 - Chiedo venia: non mi erò accorto che lo stavo mandando privato.
Ho sbirciato il libello di Russell ( è incredibile: dei quattro libri che in questi giorni i gentili utenti mi hanno suggerito di comprare ne ho in casa 3. Avessi anche il tempo per leggerli….lo troverò!!) e, stanti gli assiomi di Peano, direi:
infinito potenziale è il sistema dei primi 4 assiomi.
Infinito assoluto è il sistema con anche l’induzione.
in questo modo se si prova (semplifico oltre il lecito anche perché altrimenti mi fermerei) a costruire un allineamento decimale cosa succede?
Per esempio prendiamo il numero 0.12345678910111213141516….. ottenuto dalla serie dei naturali (che se non ho abbagli mi pare irrazionale).
Questo allineamento è costruito ponendo di seguito ad ogni numero il suo successore:
poichè ogni numero ha un successore si può sempre andare avanti di (almeno) una cifra;
poiché il successore è a sua volta un numero questo avrà ancora un successore…………
………………………………………..
Questo numero quindi si può costruire coi primi 4 assiomi e continuare ad andare avanti (potenzialmente all’infinito).
Ora si aggiunga il 5° assioma.
Il 5° assioma ci dice che ogni proprietà che essendo di un numero è del suo successore è di tutti i numeri.
Ora chiediamoci: quali sono i numeri presenti in questo allineamento. La risposta è: tutti! Sicchè non si può più andare avanti. Si è concluso. Questo è l’infinito in atto (sempre secondo me)
Grazie ancora Bertrand
P.s. - Da uno che si salva a nuoto a 76 anni da un incidente aereo non ci si possono aspettare che buoni suggerimenti.
[size=9]P.s. 2 - Chiedo venia: non mi erò accorto che lo stavo mandando privato.
"silente":
infinito potenziale è il sistema dei primi 4 assiomi.
Infinito assoluto è il sistema con anche l’induzione.
in questo modo se si prova (semplifico oltre il lecito anche perché altrimenti mi fermerei) a costruire un allineamento decimale cosa succede?
Per esempio prendiamo il numero 0.12345678910111213141516….. ottenuto dalla serie dei naturali (che se non ho abbagli mi pare irrazionale).
Questo allineamento è costruito ponendo di seguito ad ogni numero il suo successore:
poichè ogni numero ha un successore si può sempre andare avanti di (almeno) una cifra;
poiché il successore è a sua volta un numero questo avrà ancora un successore...
Questo numero quindi si può costruire coi primi 4 assiomi e continuare ad andare avanti (potenzialmente all’infinito).
Ora si aggiunga il 5° assioma.
Il 5° assioma ci dice che ogni proprietà che essendo di un numero è del suo successore è di tutti i numeri.
Ora chiediamoci: quali sono i numeri presenti in questo allineamento. La risposta è: tutti! Sicchè non si può più andare avanti. Si è concluso. Questo è l’infinito in atto (sempre secondo me)
Non capisco che senso dai alle parole in grassetto.
Il Principio d'Induzione ti assicura che puoi continuare indefinitamente proprio perchè ti conferma che una determinata proprietà vale per tutti i numeri naturali.
Per sgombrare il campo dai due concetti distinti di infinito, Cantor lottò molto (e finì pure in manicomio, ma questa è un'altra storia...).
La definizione di Cantor di insieme infinito è la seguente:
"Un insieme $A$ si dice infinito se e solo se esso è equipotente ad una sua parte propria non vuota (ossia se e solo se esistono un $Bsubset A$ con $B!=\emptyset$ ed un'applicazione biiettiva $phi:A to B$)."
Come vedi in questa definizione di infinito non è implicito il concetto del "contare" e quindi si può dire valida prescindendo dalla costruzione dell'insieme $NN$ (anzi gli assiomi di Peano assicurano che si può effettivamente costruire una coppia $(B,phi)$ per l'insieme $NN$, il quale è perciò infinito).
Il Principio d'Induzione Matematica non ha a che fare col concetto di infinito piuttosto, come faceva notare Wittgenstein, è correlato all'idea di continuare indefinitamente qualcosa (ad esempio un'allineamento decimale, ma anche una successione di mazzarelle tutte uguali).
Ecco!! Questo, ad esempio, è uno degli approcci diversi dal "mio" di cui ti parlavo!
In ogni caso gugo82 ha posto l'accento su una questione importante: la correlazione tra principio di induzione ed infinito non è così immediata!
Ricordo che il concetto di "infinito" in matematica non è semplice, e va definito matematicamente in ogni contesto in cui si utilizza.
Ad esempio considera queste frasi, tanto frequenti in matematica:
1) $NN$ è un insieme infinito
2) Il limite per $x$ che tende all'infinito di $1/x$ è $0$
Le due parole in grassetto sono uguali in grafia ma hanno due significati COMPLETAMENTE DIVERSI; quel che conta è che possono (e devono) essere ben definite nei due contesti!
Nei miei studi il principio di induzione è rappresentato in tutto e per tutto da una funzione (la funzione successore) ed assume una forma ben diversa da quella che parla di "proprietà possedute da numeri" (sinceramente questa formulazione è matematicamente poco sensata!).
Infine il principio di induzione è l'ingrediente principale del sistema numerico $NN$, e di solito viene usato per definirlo, piuttosto che per mostrarne una proprietà.
In ogni caso gugo82 ha posto l'accento su una questione importante: la correlazione tra principio di induzione ed infinito non è così immediata!
Ricordo che il concetto di "infinito" in matematica non è semplice, e va definito matematicamente in ogni contesto in cui si utilizza.
Ad esempio considera queste frasi, tanto frequenti in matematica:
1) $NN$ è un insieme infinito
2) Il limite per $x$ che tende all'infinito di $1/x$ è $0$
Le due parole in grassetto sono uguali in grafia ma hanno due significati COMPLETAMENTE DIVERSI; quel che conta è che possono (e devono) essere ben definite nei due contesti!
Nei miei studi il principio di induzione è rappresentato in tutto e per tutto da una funzione (la funzione successore) ed assume una forma ben diversa da quella che parla di "proprietà possedute da numeri" (sinceramente questa formulazione è matematicamente poco sensata!).
Infine il principio di induzione è l'ingrediente principale del sistema numerico $NN$, e di solito viene usato per definirlo, piuttosto che per mostrarne una proprietà.
"Russell":
Ecco!! Questo, ad esempio, è uno degli approcci diversi dal "mio" di cui ti parlavo!
In ogni caso gugo82 ha posto l'accento su una questione importante: la correlazione tra principio di induzione ed infinito non è così immediata!
[...]
Nei miei studi il principio di induzione è rappresentato in tutto e per tutto da una funzione (la funzione successore) ed assume una forma ben diversa da quella che parla di "proprietà possedute da numeri" (sinceramente questa formulazione è matematicamente poco sensata!).
Infine il principio di induzione è l'ingrediente principale del sistema numerico $NN$, e di solito viene usato per definirlo, piuttosto che per mostrarne una proprietà.
Infatti non sto dicendo che il principio d'induzione non faccia parte degli assiomi che caratterizzano $NN$, ma ponevo semplicemente l'accento sul fatto che esso non è molto correlato all'infinità di $NN$.
Ricordo la definizione formale di $NN$ che mi venne proposta nella seconda lezione di Analisi I:
Chiameremo $NN$ un insieme non vuoto che goda delle seguenti proprietà:
i) esiste un'applicazione $sigma:NN to NN$ iniettiva e non suriettiva (detta funzione successore);
ii) esiste un unico elemento $0 in NN$ che abbia antiimmagine attraverso $sigma$ vuota (in altre parole, $0$ non è il successivo di alcun elemento di $NN$);
iii) comunque si fissi una parte $Tsubseteq NN$, se si ha $0 in T$ e $AA n in T, sigma(n) in T$ allora $T=NN$ (questo è il Principio d'Induzione Matematica).
Come si vede è un'assiomatizzazione a là Peano, ma con alcuni assiomi di Peano "compattati".
L'infinità di $NN$ secondo la definizione di Cantor si dimostra usando solo i primi due assiomi (se non ricordo male).
"Russell":
Ricordo che il concetto di "infinito" in matematica non è semplice, e va definito matematicamente in ogni contesto in cui si utilizza.
Ad esempio considera queste frasi, tanto frequenti in matematica:
1) $NN$ è un insieme infinito
2) Il limite per $x$ che tende all'infinito di $1/x$ è $0$
Le due parole in grassetto sono uguali in grafia ma hanno due significati COMPLETAMENTE DIVERSI; quel che conta è che possono (e devono) essere ben definite nei due contesti!
In effetti nella 2) il simbolo $oo$ può essere rigorosamente interpretato alla luce della definizione dei numeri reali a partire dai razionali fatta con le sezioni di Dedekind.
Però non mi sembra fosse questo il problema di Silente. Egli poneva piuttosto la sua difficoltà ad avere a che fare con un infinito "statico" (quello della definizione di Cantor, direi, ma non so se è giusto) e con un infinito "dinamico" (quello della continuazione indefinita di un processo o, per dirla correttamente, quello della ricorsività).
Come ho detto, l'infinito "statico" è una questione chiusa per la Matematica, perchè c'è una buona definizione.
Per l'infinito "dinamico" la situazione è analoga, perchè c'è il Principio d'Induzione Matematica che ti assicura la possibilità di poter continuare una scrittura ricorrente (ossia ti certifica che una scrittura ricorrente vale per tutti gli elementi di $NN$).
Ti pongo una domanda: supponiamo che io scriva $|, ||, |||, ||||, \ldots$ su una lavagna e poi ti dica "E così via."; come interpreteresti la mia frase? Ovvero se tu dovessi continuare dopo i puntini, cosa ci metteresti?
Vorrei fare una breve premessa ma, affinché per voi abbia un senso leggere quanto scrivo, è meglio che ponga la nota al termine.
Veniamo a noi. Mi riferisco alle osservazioni di Gugo.
Non so se questi siano una formulazione corretta degli assiomi di Peano. La ho presa dalla rete adesso e la prendo per buona salvo avvisi contrari.
1°)Esiste un numero naturale, 0 (o 1)
2°)Ogni numero naturale ha un numero naturale successore
3°)Numeri diversi hanno successori diversi
4°)0 (o 1) non è il successore di alcun numero naturale
5°)Ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero (o l'uno) e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione)
Gugo afferma: "Il Principio d'Induzione ti assicura che puoi continuare indefinitamente proprio perchè ti conferma che una determinata proprietà vale per tutti i numeri naturali"
Non condivido. Per me per continuare ad andare avanti sono sufficienti i primi 4 assiomi. Andare indefinitamente avanti.
I primi 4 assiomi però non sono sufficienti a garantire che andando avanti qualche numero non rimanga furi dalla serie: il fatto di poter prendere infiniti numeri non ci garantisce automaticamente di prenderli tutti. Qualche numero, coi primi 4 assiomi, può restare fuori dalla serie.
L'induzione stabilisce la coincidenza di quello che si è dato coi 4 assiomi e che quindi si è preso finora con 'insieme N quando dice "vale per tutti i numeri"
In questo senso dico che quel numero 0.12345.....
è irrazionale nel senso che non è periodico ma (se per numero razionale si considera anche il rapporto tra infiniti) è un qualsiasi numero razionale.
Veniamo alla premessa che disonestamente postpongo:
Siccome di matematica non so un bip........ (ho iniziato a ristudiarmela da solo e sono ancora al libro di prima che tra l'altro ho dovuto ricomprare perché i miei, da geometra, fanno schifo) mi pare, se non logicamente corretto, ragionalmente conveniente da parte mia evitare di continuare a portare argomentazioni troppo informali.
Delibero quindi che al principio di induzione subentri il più pratico e molto italico principio di autorità in base al quale per ora mi fido di voi.
L'udienza sarà (semmai) ripresa quando avrò (speriamo) il minimo di cognizioni necessarie per sostenere l'argomento sanza per forza doverlo trattare a parole con tutti i rischi che si corrono.
Graziassai.
P.S. Ho postato prima di aver letto Gugo bis.
Veniamo a noi. Mi riferisco alle osservazioni di Gugo.
Non so se questi siano una formulazione corretta degli assiomi di Peano. La ho presa dalla rete adesso e la prendo per buona salvo avvisi contrari.
1°)Esiste un numero naturale, 0 (o 1)
2°)Ogni numero naturale ha un numero naturale successore
3°)Numeri diversi hanno successori diversi
4°)0 (o 1) non è il successore di alcun numero naturale
5°)Ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero (o l'uno) e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione)
Gugo afferma: "Il Principio d'Induzione ti assicura che puoi continuare indefinitamente proprio perchè ti conferma che una determinata proprietà vale per tutti i numeri naturali"
Non condivido. Per me per continuare ad andare avanti sono sufficienti i primi 4 assiomi. Andare indefinitamente avanti.
I primi 4 assiomi però non sono sufficienti a garantire che andando avanti qualche numero non rimanga furi dalla serie: il fatto di poter prendere infiniti numeri non ci garantisce automaticamente di prenderli tutti. Qualche numero, coi primi 4 assiomi, può restare fuori dalla serie.
L'induzione stabilisce la coincidenza di quello che si è dato coi 4 assiomi e che quindi si è preso finora con 'insieme N quando dice "vale per tutti i numeri"
In questo senso dico che quel numero 0.12345.....
è irrazionale nel senso che non è periodico ma (se per numero razionale si considera anche il rapporto tra infiniti) è un qualsiasi numero razionale.
Veniamo alla premessa che disonestamente postpongo:
Siccome di matematica non so un bip........ (ho iniziato a ristudiarmela da solo e sono ancora al libro di prima che tra l'altro ho dovuto ricomprare perché i miei, da geometra, fanno schifo) mi pare, se non logicamente corretto, ragionalmente conveniente da parte mia evitare di continuare a portare argomentazioni troppo informali.
Delibero quindi che al principio di induzione subentri il più pratico e molto italico principio di autorità in base al quale per ora mi fido di voi.
L'udienza sarà (semmai) ripresa quando avrò (speriamo) il minimo di cognizioni necessarie per sostenere l'argomento sanza per forza doverlo trattare a parole con tutti i rischi che si corrono.
Graziassai.
P.S. Ho postato prima di aver letto Gugo bis.
Nella mia idea di continuare indefinitamente è implicita quella di contare i passaggi: pertanto uso continuare indefinitamente per dire continuare seguendo la successione dei numeri naturali.
La tua obiezione al mio ragionamento è giusta, ma è una questione di incomprensione (avrei dovuto chiarire in precedenza il concetto, sorry).
Non sono d'accordo.
Il problema qui non è solo di tipo tecnico, ma anche di tipo "filosofico" direi. In questo tipo di questioni è molto difficile arrivare ad una piena comprensione delle idee dell'altro, a prescindere da quanto è formalizzato il discorso. Il Principio d'Autorità lascialo alla religione, le scienze (e tantomeno la Matematica, che è una scienza un po' particolare) non ne hanno bisogno.
Come matematici, è un nostro dovere cercare di divulgare le nostre idee come meglio possiamo.
La tua obiezione al mio ragionamento è giusta, ma è una questione di incomprensione (avrei dovuto chiarire in precedenza il concetto, sorry).
"silente":
Siccome di matematica non so un bip........ (ho iniziato a ristudiarmela da solo e sono ancora al libro di prima che tra l'altro ho dovuto ricomprare perché i miei, da geometra, fanno schifo) mi pare, se non logicamente corretto, ragionalmente conveniente da parte mia evitare di continuare a portare argomentazioni troppo informali.
Delibero quindi che al principio di induzione subentri il più pratico e molto italico principio di autorità in base al quale per ora mi fido di voi.
L'udienza sarà (semmai) ripresa quando avrò (speriamo) il minimo di cognizioni necessarie per sostenere l'argomento sanza per forza doverlo trattare a parole con tutti i rischi che si corrono.
Graziassai.
Non sono d'accordo.
Il problema qui non è solo di tipo tecnico, ma anche di tipo "filosofico" direi. In questo tipo di questioni è molto difficile arrivare ad una piena comprensione delle idee dell'altro, a prescindere da quanto è formalizzato il discorso. Il Principio d'Autorità lascialo alla religione, le scienze (e tantomeno la Matematica, che è una scienza un po' particolare) non ne hanno bisogno.
Come matematici, è un nostro dovere cercare di divulgare le nostre idee come meglio possiamo.
Non ho capito nulla! Evviva!!
"silente":
Non ho capito nulla! Evviva!!
Cosa non hai capito?
Non ho capito cosa intendi per "contare i passaggi". Forse che contando incontri proprio i numeri nella serie in cui ci sono familiari.
Non capisco cosa c'entri. Per me l'induzione col contare non c'entra nulla.
Provo ad esprimere diversamente il concetto.
I primi 4 assiomi danno le condizioni sufficienti per determinare N.
Il 5° assioma afferma che quelle 4 condizioni sono anche necessarie.
Prima o poi mi scriverò qualcosa in cui non credo!
Ciao ciao
Non capisco cosa c'entri. Per me l'induzione col contare non c'entra nulla.
Provo ad esprimere diversamente il concetto.
I primi 4 assiomi danno le condizioni sufficienti per determinare N.
Il 5° assioma afferma che quelle 4 condizioni sono anche necessarie.
Prima o poi mi scriverò qualcosa in cui non credo!
Ciao ciao
Anche "contare" ha una sua precisa definizione in matematica!!
Contare presuppone $NN$ e $NN$ "è" il principio di induzione (nel senso prima discusso da gugo82)!!!
Contare presuppone $NN$ e $NN$ "è" il principio di induzione (nel senso prima discusso da gugo82)!!!
Perché non puoi contare coi primi 4 assiomi?
Puoi contare fin che vuoi solo che non puoi sapere di aver contato tutti i numeri.
Vabbé lasciamo perdere; siete stati già troppo gentili.
Puoi contare fin che vuoi solo che non puoi sapere di aver contato tutti i numeri.
Vabbé lasciamo perdere; siete stati già troppo gentili.
Definiamo questo simbolo per ogni $n$ naturale:
$n_s :={i in NN \mbox{ tali che } 0 A titolo di esempio, $3_s={1,2,3}$
$7_s={1,2,3,4,5,6,7}$ ...facile!
Un insieme $A$ si dice finito se esiste $n in NN$ ed esiste $f$ corrispondenza biunivoca $f:n_s to A$. (1)
Teorema.
Sia $A$ un insieme. Se esistono $n,m in NN$ ed esistono $f,g$ biunivoche $f:n_s to A$ e $f:m_s to A$ allora $n=m$ (si dimostra per induzione!!!!!!)
Alla luce del precedente risultato diciamo che, nella ipotesi (1), $A$ ha $n$ elementi.
Questo vuol dire "contare" un insieme e, come si vede, presuppone $NN$ e il principio d'induzione!
Se ci pensi ti accorgerai che "contare" è proprio quello che abbiamo detto.
Contiamo i punti cardinali:
$1 to$ nord
$2 to$ sud
$3 to$ est
$4 to$ ovest
Ma per dire matematicamente questo bisogna passare per quanto esposto sopra...
Ah! dimenticavo! Il teorema serve a garantire che contando in un altro ordine i punti cardinali otterremo sempre quattro!!
Indispensabile!
$n_s :={i in NN \mbox{ tali che } 0 A titolo di esempio, $3_s={1,2,3}$
$7_s={1,2,3,4,5,6,7}$ ...facile!
Un insieme $A$ si dice finito se esiste $n in NN$ ed esiste $f$ corrispondenza biunivoca $f:n_s to A$. (1)
Teorema.
Sia $A$ un insieme. Se esistono $n,m in NN$ ed esistono $f,g$ biunivoche $f:n_s to A$ e $f:m_s to A$ allora $n=m$ (si dimostra per induzione!!!!!!)
Alla luce del precedente risultato diciamo che, nella ipotesi (1), $A$ ha $n$ elementi.
Questo vuol dire "contare" un insieme e, come si vede, presuppone $NN$ e il principio d'induzione!
Se ci pensi ti accorgerai che "contare" è proprio quello che abbiamo detto.
Contiamo i punti cardinali:
$1 to$ nord
$2 to$ sud
$3 to$ est
$4 to$ ovest
Ma per dire matematicamente questo bisogna passare per quanto esposto sopra...
Ah! dimenticavo! Il teorema serve a garantire che contando in un altro ordine i punti cardinali otterremo sempre quattro!!
Indispensabile!
"silente":
Non ho capito cosa intendi per "contare i passaggi". Forse che contando incontri proprio i numeri nella serie in cui ci sono familiari.
Non capisco cosa c'entri. Per me l'induzione col contare non c'entra nulla.
Provo ad esprimere diversamente il concetto.
I primi 4 assiomi danno le condizioni sufficienti per determinare N.
Il 5° assioma afferma che quelle 4 condizioni sono anche necessarie.
Non c'entra col contare, ma con la possibilità di contare. Ovviamente, così com'è posto non si direbbe: il principio scritto $AA T subseteq NN, (0 in T ^^ AAn in T, sigma(n) in T) => T=NN$ non evidenzia nulla; se però lo pensiamo applicato ad un insieme $T={n in NN:P(n)}$ ($P(x)$ è una fissata proposizione) esso recita:
"Se la proposizione $P$ vale per zero e per il successivo di ogni elemento di $T$, allora $T=NN$, ossia $P$ vale per tutti i numeri naturali"
e ciò ti assicura che puoi effettivamente enumerare i passaggi senza saltare alcun elemento di $NN$ (questo per me è contare i passaggi).
Torniamo alla domanda che ti avevo fatto prima: supponiamo che io scriva $|,||,|||,||||,\ldots $ su una lavagna e poi ti dica "E così via."; come interpreteresti la mia frase? Ovvero se tu dovessi continuare dopo i puntini, cosa ci metteresti?
Ritornando alla tua questione iniziale: non capisco cosa tu intenda come "quozienti tra infiniti".
Credo che il tuo dubbio sugli irrazionali si possa risolvere facilmente guardando una costruzione rigorosa degli insiemi numerici $NN,ZZ,QQ,RR$.
Ho capito.
Però non ho capito lo stesso
Allora provo così (mi si conceda la semplifiazione, mi pare eliminabile):
0.1 è un numero razionale
se x è un numero razionale allora il numero scritto aggiungendo come ulteriore cifra decimale il successore dell'ultima cifra aggiunta è razionale
per induzione:
0.12345678910111213..... è un numero razionale.
dov'è l'errore?
Per quanto riguarda la tua domanda su cosa aggiungerei alla tua serie io ci scriverei. Sono il successore di quello che mi precede. Invece di 0,1,2...
per me va benissimo 0, successor di 0, sucessore di successore....
Onestamente non capisco
Chi mi dice che anche
non sia un numero? Solo l'induzione ed in questo non vedo a cosa serva contare.
Scusate se dico fesserie. Dinanzi ad una domanda mi pare giusto rispondere ma comprendo che forse non è più il caso.
Però non ho capito lo stesso
Allora provo così (mi si conceda la semplifiazione, mi pare eliminabile):
0.1 è un numero razionale
se x è un numero razionale allora il numero scritto aggiungendo come ulteriore cifra decimale il successore dell'ultima cifra aggiunta è razionale
per induzione:
0.12345678910111213..... è un numero razionale.
dov'è l'errore?
Per quanto riguarda la tua domanda su cosa aggiungerei alla tua serie io ci scriverei. Sono il successore di quello che mi precede. Invece di 0,1,2...
per me va benissimo 0, successor di 0, sucessore di successore....
Onestamente non capisco
Chi mi dice che anche
non sia un numero? Solo l'induzione ed in questo non vedo a cosa serva contare.Scusate se dico fesserie. Dinanzi ad una domanda mi pare giusto rispondere ma comprendo che forse non è più il caso.
"silente":
Ho capito.
Però non ho capito lo stesso
Allora provo così (mi si conceda la semplifiazione, mi pare eliminabile):
0.1 è un numero razionale
se x è un numero razionale allora il numero scritto aggiungendo come ulteriore cifra decimale il successore dell'ultima cifra aggiunta è razionale
per induzione:
0.12345678910111213..... è un numero razionale.
dov'è l'errore?
Il Principio d'Induzione non va usato così, ma così: innanzitutto vanno verificate due proposizioni:
Ipotesi induttiva: devi provare che "0,1 è razionale" è vera. La proposizione è certamente vera per fatti elementari.
Passo induttivo: devi dimostrare che l'essere $0,123\cdots(n-1)n$ razionale implica che $0,123\cdots(n-1)n(n+1)$ sia razionale. Questo pure si può fare, anche se forse serve più lavoro.
Verificate queste due proposizioni puoi affermare la:
Conclusione: l'insieme $T={n in NN: 0,123\cdots (n-1)n " è razionale"}$ coincide con $NN$, ossia la proposizione $P(n)= 0,12\cdots(n-1)n " è un numero razionale"$ vale per tutti i numeri naturali $n$.
Come vedi questo è un enunciato che riguarda allineamenti decimali finiti; l'infinito non c'entra proprio nulla.
La conclusione alla quale sei giunto applicando il Principio d'Induzione non implica affatto che $0,123\cdots(n-1)n\cdots$ sia un numero razionale!
(E non mi pare che quel numero sia razionale, indipendentemente da quanto finora detto.)
"silente":
Per quanto riguarda la tua domanda su cosa aggiungerei alla tua serie io ci scriverei. Sono il successore di quello che mi precede. Invece di 0,1,2...
per me va benissimo 0, successor di 0, sucessore di successore....
Onestamente non capisco
Chi mi dice che anche
Scusate se dico fesserie. Dinanzi ad una domanda mi pare giusto rispondere ma comprendo che forse non è più il caso.
In realtà alla domanda che ti ho posto sono possibili infinite risposte.
Ad esempio ti sarebbe lecito continuare con $|||||,||||||,|||||||, ||||||||$ ma altrettanto lecito sarebbe una soluzione "ciclica", come continuare ripetendo gli stessi quattro simboli $|,||,|||,||||$, od anche una continuazione "costante" che ripeta l'ultimo simbolo $||||$...
Il continuare all'infinito non suppone alcun tipo di numerazione ma solo la possibilità di poter continuare in un modo arbitrariamente scelto.
Accordiamoci sul fatto che la vostra disponibilità è numerabile (ma a fatica).
Purtroppo le difficoltà che avevo all'inizio son tali e quali. Si vede che non ho un buon rapporto con l'infinito.
Concordo con tutto quello che hai scritto; tranne che con la conclusione: che il principio di induzione non implica che quel numero è irrazionale.
Ma quel numero è decimale, non è periodico e coincide con N. Se coinciude con N non è finito. Allora è irrazionale.
Ma. Non darti pena Gugo. Ormai non intendo.
Purtroppo le difficoltà che avevo all'inizio son tali e quali. Si vede che non ho un buon rapporto con l'infinito.
Concordo con tutto quello che hai scritto; tranne che con la conclusione: che il principio di induzione non implica che quel numero è irrazionale.
Ma quel numero è decimale, non è periodico e coincide con N. Se coinciude con N non è finito. Allora è irrazionale.
Ma. Non darti pena Gugo. Ormai non intendo.
"silente":
Concordo con tutto quello che hai scritto; tranne che con la conclusione: che il principio di induzione non implica che quel numero è irrazionale.
Permettimi un po' di autoreferenzialità nella citazione (ovviamente uso il grassetto per evidenziare):
"gugo82":
[...] la proposizione $P(n)=0,12⋯(n-1)n " è un numero razionale"$ vale per tutti i numeri naturali $n$.
Come vedi questo è un enunciato che riguarda allineamenti decimali finiti; l'infinito non c'entra proprio nulla.
La conclusione alla quale sei giunto applicando il Principio d'Induzione non implica affatto che $0,123⋯(n-1)n⋯$ sia un numero razionale!
(E non mi pare che quel numero sia razionale, indipendentemente da quanto finora detto.)
Insomma sono (quasi) certo che il numero costruito come dici tu sia irrazionale.
Ti sto solo contestando il fatto che non è dall'applicazione del Principio d'Induzione che consegue l'irrazionalità o la razionalità di tal numero.
"silente":
Ma quel numero è decimale, non è periodico e coincide con N. Se coincide con N non è finito. Allora è irrazionale.
Come fa un numero a coincidere con un insieme?
Con la tua frase vuoi dire che l'allineamento delle cifre è illimitato per costruzione e questo mi pare evidente.
Il problema è che la irrazionalità di un numero non dipende dall'illimitatezza del suo allineamento decimale, bensì dalla periodicità dell'allineamento stesso: ad esempio, il numero $0,24999999\ldots$ (con i puntini intendo che l'allineamento prosegue sempre con la cifra $9$) è illimitato e però corrisponde al numero razionale $1/4$.
Quindi, per dimostrare che il numero da te costruito è irrazionale non basta acquisire che esso corrisponde ad un allineamento decimale illimitato, poichè occorre mostrare anche quel suo allineamento decimale non è periodico.
Ora riposati. Continuiamo domani.
Si vede che sono deviato da interpretazioni indebite delle mie letture.
Un numero è un insieme di classi tali che due qualsiasi di esse siano simili l’una all’altra.
Bertrand Russell
Ah un'ultima cosa. Ero consapevole del problema della periodicità. Forse da lì è scaturito il mio dubbio. Ho postato tempo fa un esercizio sui numeri irrazionali. Forse non era la sede opportuna e non ha avuto fortuna.
Te lo ripropongo
L’esercizio è questo
Di un numero reale si hanno le seguenti informazioni:
1) è compreso tra 0 e 1, e tutte le sue cifre sono 0 oppure 1
2) è irrazionale ed il suo quadrato è anch’esso irrazionale
3) addizionato al numero che si ottiene scambiando ogni cifra 0 con la cifra 1 e viceversa dà come risultato il numero razionale 10/9
Dimostrare che esistono infiniti numeri che rispondono a questa caratteristiche e individuarne alcuni.
Ho difficoltà a verificare il 2° punto dove si richiede che anche il quadrato del numero è irrazionale.
SOS SOS
E' sul libro di 1°. Non ho idea di come affrontarlo.
Un numero è un insieme di classi tali che due qualsiasi di esse siano simili l’una all’altra.
Bertrand Russell
Ah un'ultima cosa. Ero consapevole del problema della periodicità. Forse da lì è scaturito il mio dubbio. Ho postato tempo fa un esercizio sui numeri irrazionali. Forse non era la sede opportuna e non ha avuto fortuna.
Te lo ripropongo
L’esercizio è questo
Di un numero reale si hanno le seguenti informazioni:
1) è compreso tra 0 e 1, e tutte le sue cifre sono 0 oppure 1
2) è irrazionale ed il suo quadrato è anch’esso irrazionale
3) addizionato al numero che si ottiene scambiando ogni cifra 0 con la cifra 1 e viceversa dà come risultato il numero razionale 10/9
Dimostrare che esistono infiniti numeri che rispondono a questa caratteristiche e individuarne alcuni.
Ho difficoltà a verificare il 2° punto dove si richiede che anche il quadrato del numero è irrazionale.
SOS SOS
E' sul libro di 1°. Non ho idea di come affrontarlo.
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