Una retta coi buchi?
Una retta con i buchi?
Due questioni riguardanti i miei guai con l’infinito.
1°) L’irrazionalità. Ecco come mi si presenta: un giorno i greci scoprono che radice di 2 non è un numero (razionale), si impauriscono e abbandonano la via dell’aritmetica per fondare la propria matematica sulla geometria non esposta al rischio del paradosso.
La geometria, oggi, mi si presenta in forma assiomatica introducendo gli assiomi di appartenenza, d’ordine, di partizione, di congruenza.
Così si è risolto il problema della continuità della retta. Ma? Mi sembra che questi assiomi vadano benissimo per i numeri razionali. Mi illuminate per cortesia? Ci ho già pensato troppo.
Per “fortuna”, siccome le cose che non capisco sono (almeno) 2, nella mia ignoranza c’è una certa coerenza.
Ecco la 2° questione.
I numeri irrazionali sono classi separate e contigue di razionali. Date queste due classi si dimostra che esiste un unico elemento separatore infatti ammettendo l’esistenza di due elementi si cade nell’assurdo.
Questo ragionamento si serve necessariamente dell’infinito. E direi che non può poggiare sulla sola idea di infinito potenziale come quello del tipo “ se n è un numero allora anche n+1 è un numero” giacché con questo atteggiamento è sì sempre possibile trovare un razionale con cui ridurre la lunghezza del nostro intervallo ma, alla stessa maniera, si può potenzialmente sempre rispondere prendendo un intervallo più piccolo.
Bisogna richiedere che l’infinito sia in atto: che il processo sia concluso. (Può darsi che sia una fesseria ma mi pare sia proprio quello che fa l’induzione e si possa affermare che il principio di induzione dichiara l’equivalenza tra l’infinito in atto e l’infinito in potenza consentendo il passaggio dal primo al secondo).
Ecco ciò che non capisco: se si accetta un infinito di questo tipo per quale ragione non si debbono accettare gli irrazionali come quozienti tra infiniti? Se si vuole ammettere l’infinitamente divisibile e un infinito attuale si deve ammettere anche la attualità di numeri che non siano rapporti di due finiti e non abbiano allineamenti periodici. No?
E forse i greci hanno rifiutato questi numeri proprio perché diffidenti nei confronti dell’infinito.
Così come sono gli irrazionale mi sembrano dotati di una definizione di sicura utilità pratica (non vedo come fare senza) ma concettualmente inutile (nel senso che non mi pare aggiunga nulla che non c’era già).
Forse ce l’ho solo con l’introduzione degli irrazionali mediante una riduzione all’assurdo.
Una questione al margine: l’unicità della scomposizione in primi vale anche nel caso di infiniti?
Ah gia? Qualcuno mi dice quale assioma della geometria toglie i buchi dalla retta?
Grazie. Sono disposto a credere a tutto (non solo alle dimostrazioni)
Siccome ieri ho dato nel forum un’aiuto vergognosamente sbagliato (celere correzione non basta al perdono) ho deciso di espormi al pubblico ludibrio.
W Juventus
Fate pure.
Due questioni riguardanti i miei guai con l’infinito.
1°) L’irrazionalità. Ecco come mi si presenta: un giorno i greci scoprono che radice di 2 non è un numero (razionale), si impauriscono e abbandonano la via dell’aritmetica per fondare la propria matematica sulla geometria non esposta al rischio del paradosso.
La geometria, oggi, mi si presenta in forma assiomatica introducendo gli assiomi di appartenenza, d’ordine, di partizione, di congruenza.
Così si è risolto il problema della continuità della retta. Ma? Mi sembra che questi assiomi vadano benissimo per i numeri razionali. Mi illuminate per cortesia? Ci ho già pensato troppo.
Per “fortuna”, siccome le cose che non capisco sono (almeno) 2, nella mia ignoranza c’è una certa coerenza.
Ecco la 2° questione.
I numeri irrazionali sono classi separate e contigue di razionali. Date queste due classi si dimostra che esiste un unico elemento separatore infatti ammettendo l’esistenza di due elementi si cade nell’assurdo.
Questo ragionamento si serve necessariamente dell’infinito. E direi che non può poggiare sulla sola idea di infinito potenziale come quello del tipo “ se n è un numero allora anche n+1 è un numero” giacché con questo atteggiamento è sì sempre possibile trovare un razionale con cui ridurre la lunghezza del nostro intervallo ma, alla stessa maniera, si può potenzialmente sempre rispondere prendendo un intervallo più piccolo.
Bisogna richiedere che l’infinito sia in atto: che il processo sia concluso. (Può darsi che sia una fesseria ma mi pare sia proprio quello che fa l’induzione e si possa affermare che il principio di induzione dichiara l’equivalenza tra l’infinito in atto e l’infinito in potenza consentendo il passaggio dal primo al secondo).
Ecco ciò che non capisco: se si accetta un infinito di questo tipo per quale ragione non si debbono accettare gli irrazionali come quozienti tra infiniti? Se si vuole ammettere l’infinitamente divisibile e un infinito attuale si deve ammettere anche la attualità di numeri che non siano rapporti di due finiti e non abbiano allineamenti periodici. No?
E forse i greci hanno rifiutato questi numeri proprio perché diffidenti nei confronti dell’infinito.
Così come sono gli irrazionale mi sembrano dotati di una definizione di sicura utilità pratica (non vedo come fare senza) ma concettualmente inutile (nel senso che non mi pare aggiunga nulla che non c’era già).
Forse ce l’ho solo con l’introduzione degli irrazionali mediante una riduzione all’assurdo.
Una questione al margine: l’unicità della scomposizione in primi vale anche nel caso di infiniti?
Ah gia? Qualcuno mi dice quale assioma della geometria toglie i buchi dalla retta?
Grazie. Sono disposto a credere a tutto (non solo alle dimostrazioni)
Siccome ieri ho dato nel forum un’aiuto vergognosamente sbagliato (celere correzione non basta al perdono) ho deciso di espormi al pubblico ludibrio.
W Juventus
Fate pure.
Risposte
"gugo82":
Insomma sono (quasi) certo che il numero costruito come dici tu sia irrazionale.
Si dimostra che:
Se $a$ è un numero razionale allora il suo sviluppo decimale è limitato oppure illimitato periodico.
Quindi ha ragione gugo82 !!!
Su questo non c'è dubbio. Che c'entra?
Mostra che l'uso che tu fai del principio d'induzione è sicuramente indebito. Altrimenti non arriveresti a contraddizione.
Ho capito. Dici per assurdo.
Purtroppo in questo senso mi sei chiarissimo. Ma di questo non mi stupisco. Sono partito dall'osservazione che qualcosa del sistema sembra contraddittorio e tale rimane quindi nessun assurdo. Il problema è che non ho posto una ipotesi per verificarne o meno la falsità. Ho cercato, con i miei modi grezzi ed informali, di fare delle deduzioni senza aggiungere nulla da verificare. Se ho dedotto male il ragionamento cade ed è finita ma non mi sembra che si possa ragionare per assurdo (cioè dismostrando la contraddittorietà rispetto ad una teoria) nel caso sia la teoria stessa ad essere supposta contraddittoria.
Buon appetito Bertrand
Purtroppo in questo senso mi sei chiarissimo. Ma di questo non mi stupisco. Sono partito dall'osservazione che qualcosa del sistema sembra contraddittorio e tale rimane quindi nessun assurdo. Il problema è che non ho posto una ipotesi per verificarne o meno la falsità. Ho cercato, con i miei modi grezzi ed informali, di fare delle deduzioni senza aggiungere nulla da verificare. Se ho dedotto male il ragionamento cade ed è finita ma non mi sembra che si possa ragionare per assurdo (cioè dismostrando la contraddittorietà rispetto ad una teoria) nel caso sia la teoria stessa ad essere supposta contraddittoria.
Buon appetito Bertrand
"silente":
Si vede che sono deviato da interpretazioni indebite delle mie letture.
Un numero è un insieme di classi tali che due qualsiasi di esse siano simili l’una all’altra.
Bertrand Russell
Credo che questa definizione si possa applicare solo ai numeri naturali.
Ti consiglio, comunque, di lasciar perdere Russell: non perchè non lo apprezzi, ma perchè il problema di fondo dei suoi scritti (e di tutti gli scritti di Matematica dell'inizio del '900) è quello di far derivare tutta l'Analisi dall'Aritmetica e, quindi, dalla Teoria degli Insiemi e dalla Logica e mostrare che questa è una costruzione coerente (e senza contraddizioni).
La visione dei Fondamenti oggi è un po' diversa: sappiamo che seguendo un processo di "riduzione alla Logica" non possiamo provare la non contraddittorietà delle nostre teorie, pertanto i lavori di Russell sono per lo più superati.
Per la Teoria degli Insiemi Numerici di cui ha bisogno l'analista non c'è bisogno dell'approccio di Russell: basta sapere che $NN$ si può costruire a partire dagli assiomi di Peano e che da esso si costruiscono in successione $ZZ,QQ,RR,CC$ con tutte le loro belle proprietà.
Non mi chiedo cosa sia un numero, mi basta la sua definizione formale ed il fatto che l'insieme dei numeri naturali abbia determinate proprietà: in altre parole mi basta sapere che è possibile pensare $NN$, a prescindere da quale significato si dia ai numeri naturali (per me potrebbero essere anche delle galline in un pollaio, poichè per quello che faccio con $NN$ mi interessa solo che l'insieme considerato abbia le proprietà richieste dagli assiomi).
Questa visione può risultare difficile per qualcuno che voglia sapere "cos'è un numero" rispetto alla realtà sensibile (se leggi la definizione di Russell tra le righe vedrai che ti sta suggerendo che il numero $2$ è l'insieme delle coppie di oggetti che tocchi tutti i giorni: due mele, due forchette... Le coppie prese singolarmente non sono il numero $2$, però prese nella loro totalità lo sono). Ormai la Matematica ha imparato che essa ed i suoi concetti non dipendono dalla realtà sensibile, anche se da questa derivano in molti modi.
"silente":
Ah un'ultima cosa. Ero consapevole del problema della periodicità. Forse da lì è scaturito il mio dubbio. Ho postato tempo fa un esercizio sui numeri irrazionali. Forse non era la sede opportuna e non ha avuto fortuna.
Te lo ripropongo
L’esercizio è questo
Di un numero reale si hanno le seguenti informazioni:
1) è compreso tra 0 e 1, e tutte le sue cifre sono 0 oppure 1
2) è irrazionale ed il suo quadrato è anch’esso irrazionale
3) addizionato al numero che si ottiene scambiando ogni cifra 0 con la cifra 1 e viceversa dà come risultato il numero razionale 10/9
Dimostrare che esistono infiniti numeri che rispondono a questa caratteristiche e individuarne alcuni.
Ho difficoltà a verificare il 2° punto dove si richiede che anche il quadrato del numero è irrazionale.
SOS SOS
E' sul libro di 1°. Non ho idea di come affrontarlo.
Sinceramente non sono mai stato abile con questi tipi di esercizi.
La proprietà 3) è banalissima.
Per la 2) puoi ragionare così.
Supponiamo che l'allineamento decimale che determina un numero $x$ sia $0,c_1c_2\cdots c_n\cdots$ con $AAn in NN, c_nin {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$. Notiamo che risulta:
$x=\sum_(n=1)^(+oo)c_n*10^(-n)$
(dalla teoria delle serie sai che il secondo membro è convergente); allora possiamo approssimare $x$ con la successione di numeri razionali di termine generale $x_k=\sum_(n=1)^kc_n*10^(-n)$ e quindi il numero $x^2$ (sempre per alcune proprietà delle serie) si può approssimare con la successione di termine generale:
$x_k^2=[\sum_(n=1)^kc_n*10^(-n)]^2=\sum_(n=2)^(2k) (\sum_(m=1)^(n-1)c_m*c_(n-m))*10^(-n)$,
cosicché hai $x^2=\sum_(n=2)^(+oo) d_n*10^(-n)$ con $AA n in NN, d_n=(\sum_(m=1)^(n-1)c_m*c_(n-m))$.
Questo ragionamento vale per tutti i numeri $x in [0,1]$.
Scegliamo una successione di coefficienti $(c_n)$ ponendo:
$c_n=\{(1 ,", se "n" è potenza di "2),(0, ", altrimenti"):} quad$;
il numero $x=0,1101000100000001\cdots$ che corrisponde all'allineamento delle cifre $c_n$ definite sopra è illimitato e non periodico (anche se piuttosto "regolare"), pertanto $x$ è irrazionale.
Determiniamo l'allineamento decimale di $x^2$: facendo i conti per determinare via via gli $x_k^2$, trovi che il numero $x^2$ ha come successione di cifre decimali quella che segue:
$d_n=\{(1, ", se " n " è potenza di " 2),(2, ", se " n " è somma di due potenze di " 2),(0, ", altrimenti"):}quad$.
L'alternarsi delle cifre $0,1,2$ tra le $d_n$ è "regolare", ma non periodico (questo lo affermo ad occhio, senza una dimostrazione, quindi può darsi che mi sbagli): pertanto $x^2$ è irrazionale.
"gugo82":
Per la Teoria degli Insiemi Numerici di cui ha bisogno l'analista non c'è bisogno dell'approccio di Russell: basta sapere che $NN$ si può costruire a partire dagli assiomi di Peano e che da esso si costruiscono in successione $ZZ,QQ,RR,CC$ con tutte le loro belle proprietà.
So che questo approccio è quello più conveniente (ed è quello che mi è stato insegnato all'università!)
Tuttavia Russell resta interessante, anche se superato. Lo consigliavo soprattutto per "introdursi" alla matematica ed al suo rigore. Senza contare che è sicuramente più alla portata di uno studente di liceo rispetto a Peano (modernamente rivisitato)
Forte Gugo!!
Sinceramente ci ho capito poco ma ho inteso come affronti il problema. Appena ho qualche nozione sulle serie mi riporrò il problema.
Su come possa risolleverlo uno studente della 1° classe non ho idea. Ma?
E' stato un piacere.
Sinceramente ci ho capito poco ma ho inteso come affronti il problema. Appena ho qualche nozione sulle serie mi riporrò il problema.
Su come possa risolleverlo uno studente della 1° classe non ho idea. Ma?
E' stato un piacere.
"Russell":
[quote="gugo82"]
Per la Teoria degli Insiemi Numerici di cui ha bisogno l'analista non c'è bisogno dell'approccio di Russell: basta sapere che $NN$ si può costruire a partire dagli assiomi di Peano e che da esso si costruiscono in successione $ZZ,QQ,RR,CC$ con tutte le loro belle proprietà.
So che questo approccio è quello più conveniente (ed è quello che mi è stato insegnato all'università!)
Tuttavia Russell resta interessante, anche se superato. Lo consigliavo soprattutto per "introdursi" alla matematica ed al suo rigore. Senza contare che è sicuramente più alla portata di uno studente di liceo rispetto a Peano (modernamente rivisitato)[/quote]
Non sono del tutto daccordo.
I libri di Russell (ho davanti Principles of Mathematics) sono difficili da leggere, non solo perchè hanno un intento soprattutto filosofico, ma anche perchè sono scritti interamente in linguaggio naturale, poche volte usano simboli e la terminologia e le notazioni usate sono ormai (quasi del tutto) superate.
Basta pensare che non si aveva una notazione per l'insieme vuoto...
Parlavo dell' Introduzione alla filosofia matematica
I Principles sono tutt'altra cosa...su questo convengo!!
I Principles sono tutt'altra cosa...su questo convengo!!
"Russell":
Parlavo dell' Introduzione alla filosofia matematica
I Principles sono tutt'altra cosa...su questo convengo!!
Ah ok.
Non l'ho mai letto tutto Introduzione alla Filosofia Matematica; ne ho letto solo scampoli in una poderosa raccolta di scritti di Russell.
Russell mi piace*, ma Principles non sono mai stato capace di finirlo!
__________
* Ad esempio Storia della Filososfia Occidentale è molto carino, come pure alcuni suoi scritti riguardo la religione o il sesso.
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