Un dubbio sugli integrali
Perché vale quest'uguaglianza: $\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$ se $a>b$?
1) I due integrali non dovrebbero essere uguali, dato che esprimono l'area del medesimo trapezoide?
2) E poi perché si pone la condizione $a>b$? Se considero per es. $\int_1^5 x dx$ mi sembra sia equivalente a $\int_5^1 x dx$ (senza il $-$, per il motivo che ho esposto sopra).
Questo dubbio mi è sorto semplicemente riflettendo sul significato geometrico di integrale; non ho considerato quindi il teorema del calcolo integrale che mi permetterebbe facilmente di verificare l'uguaglianza.
1) I due integrali non dovrebbero essere uguali, dato che esprimono l'area del medesimo trapezoide?
2) E poi perché si pone la condizione $a>b$? Se considero per es. $\int_1^5 x dx$ mi sembra sia equivalente a $\int_5^1 x dx$ (senza il $-$, per il motivo che ho esposto sopra).
Questo dubbio mi è sorto semplicemente riflettendo sul significato geometrico di integrale; non ho considerato quindi il teorema del calcolo integrale che mi permetterebbe facilmente di verificare l'uguaglianza.
Risposte
No. L'integrale che fai su un intervallo regressivo cambia di segno. È una definizione.
Del resto se calcoli quell'integrale:
$int_1^5x*dx=[1/2*x^2]_1^5=25/2-1/2=12$
$int_5^1x*dx=[1/2x^2]_5^1=1/2-25/2=-12$
Del resto se calcoli quell'integrale:
$int_1^5x*dx=[1/2*x^2]_1^5=25/2-1/2=12$
$int_5^1x*dx=[1/2x^2]_5^1=1/2-25/2=-12$
Se è una definizione allora non discuto 
Infatti ci sarei potuto arrivare facilmente facendo esempi di integrali definiti e calcolandoli con la formula che mi è nota; però, considerando che l'integrale di una funzione in un intervallo altro non è che l'area del trapezoide delimitato dalla funzione, dall'asse x e dalle rette $x=a$ e $x=b$, invertendo l'ordine degli estremi, almeno da un punto di vista grafico, mi sembrava non cambiasse niente. L'area che sto considerando è sempre la stessa no?
Infatti ci sarei potuto arrivare facilmente facendo esempi di integrali definiti e calcolandoli con la formula che mi è nota; però, considerando che l'integrale di una funzione in un intervallo altro non è che l'area del trapezoide delimitato dalla funzione, dall'asse x e dalle rette $x=a$ e $x=b$, invertendo l'ordine degli estremi, almeno da un punto di vista grafico, mi sembrava non cambiasse niente. L'area che sto considerando è sempre la stessa no?
È sempre la stessa ma prende un segno meno davanti. Tutto qua.
Tutto chiaro.
Grazie!
Grazie!
Non è una definizione e non è vero che un integrale definito rappresenta un'area.
Mai provato a calcolare $int_0^(2pi) sin(x)$ ?
Voglio dire che le cose sono un pochino meno "grossolane" di così ...
Cordialmente, Alex
Mai provato a calcolare $int_0^(2pi) sin(x)$ ?
Voglio dire che le cose sono un pochino meno "grossolane" di così ...
Cordialmente, Alex
Beh io formalmente non ho parlato di area. Come si dimostra @axpgn allora?
Dal teorema fondamentale del calcolo integrale:
$int_a^b f(x)dx =F(b)-F(a)$
$-int_b^a f(x)dx =F(b)-F(a)$
P.S. Grazie Sir
$int_a^b f(x)dx =F(b)-F(a)$
$-int_b^a f(x)dx =F(b)-F(a)$
P.S. Grazie Sir
Beh il mio esempio era un buon esempio tutto sommato.
@Sir
Le mie considerazioni erano per Howard affinché non si facesse un'idea non del tutto corretta degli integrali definiti.
Bokonon mi sembra che abbia chiarito bene che è una conseguenza di un teorema e non una definizione.
Le mie considerazioni erano per Howard affinché non si facesse un'idea non del tutto corretta degli integrali definiti.
Bokonon mi sembra che abbia chiarito bene che è una conseguenza di un teorema e non una definizione.
@Alex
E' un teorema ma anche la definizione di integrale.
Non volevo intervenire e soprattutto non è da me invocare teoremi..ma stavolta era necessario
E' un teorema ma anche la definizione di integrale.
Non volevo intervenire e soprattutto non è da me invocare teoremi..ma stavolta era necessario
In realtà non è però questo l'ordine in cui vengono presentate le cose nella letteratura di riferimento. Di solito viene data come definizione prima del teorema fondamentale del calcolo, la seguente:
$int_b^af(x)dx:=-int_a^bf(x)dx$
Per esempio, cito l'Illustrissimo e Reverendissimo Smirnov, Vladimir Ivanovic "corso di matematica superiore Vol.I.
[ot]Ma quanto sono birbaccione a citare i Russi
[/ot]
$int_b^af(x)dx:=-int_a^bf(x)dx$
Per esempio, cito l'Illustrissimo e Reverendissimo Smirnov, Vladimir Ivanovic "corso di matematica superiore Vol.I.
[ot]Ma quanto sono birbaccione a citare i Russi
[/ot]
Francamente (ora lo dico e faccio il botto) ho sempre aborrito la definizione di integrale di Riemann.
Non perchè non sia bella e corretta ma perchè (se avete notato) gli studenti (me compreso...a suo tempo) non vedono chiaramente la relazione fra integrale e derivata.
Eppure questo era evidente nell'approccio meno formale ma di sicuro più istruttivo di Leibnitz.
Secondo me dovrebbero prima far ragionare gli studenti come fece Leibnitz...e solo dopo introdurre i formalismi.
Il teorema citato era già chiaramente noto ai tempi di Newton e Leibnitz, mentre la definizione di Riemann (per quanto ripeto bellissima etc etc) non era necessaria per capire...al contrario crea confusione.
Molto meglio ragionare sulle "differenze" e le somme di esse...e ci si risparmiano le domande che ho visto fare ripetutamente qua.
Morale: Riemann non è necessario per capire...IMHO.
https://youtu.be/ObPg3ki9GOI
Non perchè non sia bella e corretta ma perchè (se avete notato) gli studenti (me compreso...a suo tempo) non vedono chiaramente la relazione fra integrale e derivata.
Eppure questo era evidente nell'approccio meno formale ma di sicuro più istruttivo di Leibnitz.
Secondo me dovrebbero prima far ragionare gli studenti come fece Leibnitz...e solo dopo introdurre i formalismi.
Il teorema citato era già chiaramente noto ai tempi di Newton e Leibnitz, mentre la definizione di Riemann (per quanto ripeto bellissima etc etc) non era necessaria per capire...al contrario crea confusione.
Molto meglio ragionare sulle "differenze" e le somme di esse...e ci si risparmiano le domande che ho visto fare ripetutamente qua.
Morale: Riemann non è necessario per capire...IMHO.
https://youtu.be/ObPg3ki9GOI
Ma si l'ho messo solo per constatare che i Maestri Russi sono strani. Sui testi che mi fanno studiare all'università non ho notato questa cosa -ma dovrei controllare-
Lungi da me polemizzare! Ma guarda il video (specie la seconda parte dedicata a Leibnitz) e dimmi se davvero seguendo la sua linea di pensiero non giungi alle sue conclusioni "immediatamente", incluse le regole di derivazione (e automaticamente di integrazione).
Una volta che definì i simboli "corretti", tutto veniva da se..e di certo non si poneva il problema di comprendere un differenziale! Cosa che accade perchè insegnano (secondo loro) gradualmente i concetti usando la notazione sintetica di Newton. Fossi io un professore impedirei ai miei studenti di usare $f^{\prime}(x)$. Dovrebbero usare solo $dy/dx$ oppure $dx/dy$ finchè non mi dimostrano di aver capito e di potersi permettere di usare notazioni sintetiche.
Di certo non arriverebbero all'università "scossi" per:
a) un cambio di variabile indipendente
b) una derivata implicita
c) su cosa sia un differenziale
Una volta che definì i simboli "corretti", tutto veniva da se..e di certo non si poneva il problema di comprendere un differenziale! Cosa che accade perchè insegnano (secondo loro) gradualmente i concetti usando la notazione sintetica di Newton. Fossi io un professore impedirei ai miei studenti di usare $f^{\prime}(x)$. Dovrebbero usare solo $dy/dx$ oppure $dx/dy$ finchè non mi dimostrano di aver capito e di potersi permettere di usare notazioni sintetiche.
Di certo non arriverebbero all'università "scossi" per:
a) un cambio di variabile indipendente
b) una derivata implicita
c) su cosa sia un differenziale
@Bokonon
O è un teorema o è una definizione … tertium non datur …
Quindi scegli: o una o l'altra
… voglio dire che "prima" di fare un discorso scegli quello che preferisci e poi sii coerente (cioè l'importante è non saltare di palo in frasca nello stesso contesto)
Per quanto riguarda la definizione di integrale, non mi ricordo affatto di come lo presentarono a scuola, quando lo ripresi anni dopo, ho quasi sempre visto presentare l'integrale indefinito come primitiva o antiderivata che dir si voglia mentre l'integrale definito come somma di aree portate al limite e mi è sempre sembrato quasi ovvio (sottolineo che le mie letture sono sempre poco più che amatoriali )
Detto ciò, il mio intervento non era tanto per inquadrare formalmente la questione (che sarebbe oltremodo difficile da parte mia) ma, ripeto, per evitare a Howard di farsi idee troppo "rigide" … non so se mi spiego …
Cordialemente, Alex
O è un teorema o è una definizione … tertium non datur …
Quindi scegli: o una o l'altra
… voglio dire che "prima" di fare un discorso scegli quello che preferisci e poi sii coerente (cioè l'importante è non saltare di palo in frasca nello stesso contesto)Per quanto riguarda la definizione di integrale, non mi ricordo affatto di come lo presentarono a scuola, quando lo ripresi anni dopo, ho quasi sempre visto presentare l'integrale indefinito come primitiva o antiderivata che dir si voglia mentre l'integrale definito come somma di aree portate al limite e mi è sempre sembrato quasi ovvio (sottolineo che le mie letture sono sempre poco più che amatoriali
)Detto ciò, il mio intervento non era tanto per inquadrare formalmente la questione (che sarebbe oltremodo difficile da parte mia) ma, ripeto, per evitare a Howard di farsi idee troppo "rigide" … non so se mi spiego …
Cordialemente, Alex
So di un professore invece che non gli piaceva vedere i $dy/dx$ perché poi si rischia di inventare delle dimostrazioni un po' strane.
Per esempio nel caso abbia da fare la derivata della funzione composta $f(g(x))$
l'esempio che aveva portato era questo (come NON fare) e faceva così:
$(d[f(g(x))])/dx=(df)/(dx)=(df)/dx*(dg)/(dg)=(df)/(dg)*(dg)/(dx)=f'(g(x))*g'(x)$ o qualcosa del genere insomma non so se sia proprio lecito lecitissimo.
Per esempio nel caso abbia da fare la derivata della funzione composta $f(g(x))$
l'esempio che aveva portato era questo (come NON fare) e faceva così:
$(d[f(g(x))])/dx=(df)/(dx)=(df)/dx*(dg)/(dg)=(df)/(dg)*(dg)/(dx)=f'(g(x))*g'(x)$ o qualcosa del genere insomma non so se sia proprio lecito lecitissimo.
"axpgn":
"rigide" … non so se mi spiego
No assolutamente la rigidezza hai fatto bene a distenderla.
Per mio conto non credo che se HowardRoark durante un'interrogazione va a dire che è un teorema invece che è una proposizione cambia qualcosa al suo docente.
Beh, quello non lo sai, dipende dal docente … 
(Ri)Detto semplicemente: ho avuto l'impressione che Howard abbia capito che fosse una definizione ovvero "è così perché è così" quando invece è facilmente derivabile (dimostrabile) dal TFC (come ha fatto vedere Bokonon) … tutto qui
(Ri)Detto semplicemente: ho avuto l'impressione che Howard abbia capito che fosse una definizione ovvero "è così perché è così" quando invece è facilmente derivabile (dimostrabile) dal TFC (come ha fatto vedere Bokonon) … tutto qui
"axpgn":
@Bokonon
O è un teorema o è una definizione … tertium non datur …
Ok, oramai mi conosci, quindi penso che tu abbia capito...
Ma ripeto per me è entrambe le cose
In altra sede, giuro, che difenderò questa posizone apparentemente scomoda dando un resconto storico e logico e soprattutto concludendo che una volta chiarito il concetto di limite, questo teorema è equivalente ad una definizione come "seno" o "logaritmo".
Infatti il problema all'epoca (1680) era concettuale...non per questo hanno atteso 130 anni per avere una definizione di limite e altri 20 circa per avere la prima definizione formale di integrale prima di partire e usare quei concetti e svilupparli all'inverosimile.
Tant'è che il teorema fondamentale resta vero e deve restarlo IMHO, perchè è il cuore stesso della definizione (simultanea) dei due operatori derivata e integrale.
Ma questo è il mio punto di vista...che oramai sapete tutti che è dal basso verso l'alto e non viceversa
@Sir
Curiosamente questa è iperprotezione verso gli studenti: è il non esporli a ragionamenti diretti che poi li fa diventare i classici verginelli alle feste.
Una delle domande che mi sono posto spesso è come fosse possibile che una persona, ad esempio, come Lagrange potesse non solo imparare tutta la matematica conosciuta a 17 anni ma al contempo sviluppare un proprio metodo astratto di ragionamento.
Comprendo che le scuole siano fatte per far passare tutti (e non lo dico in senso dispregiativo) ma mi chiedo cosa accadrebbe se gli studenti fossero esposti direttamente al ragionamento (specie vedendo uno di 10 anni di singapore che riceve lezioni private che risolve integrali tripli).
Curiosamente questa è iperprotezione verso gli studenti: è il non esporli a ragionamenti diretti che poi li fa diventare i classici verginelli alle feste.
Una delle domande che mi sono posto spesso è come fosse possibile che una persona, ad esempio, come Lagrange potesse non solo imparare tutta la matematica conosciuta a 17 anni ma al contempo sviluppare un proprio metodo astratto di ragionamento.
Comprendo che le scuole siano fatte per far passare tutti (e non lo dico in senso dispregiativo) ma mi chiedo cosa accadrebbe se gli studenti fossero esposti direttamente al ragionamento (specie vedendo uno di 10 anni di singapore che riceve lezioni private che risolve integrali tripli).
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