Trovare un punto P nella retta r per calcolare l'area AOP
salve a tutti vorrei un chiarimento in merito ad un esercizio:
il testo mi da una retta del tipo $y=2x+3$ un punto $A(0,3)$ e poi mi chiede di trovarmi il punto P nel primo quadrante della retta r per poi trovarmi l'area AOP....
quello che non capisco è come mi trovo questo benedetto punto?.....mi sono trovata i punti delle mia retta, l'ho disegnata, ho disegnato anche il punto A e poi???? non capisco quale formula o comunque quale procedimento usare....potete aiutarmi?
il testo mi da una retta del tipo $y=2x+3$ un punto $A(0,3)$ e poi mi chiede di trovarmi il punto P nel primo quadrante della retta r per poi trovarmi l'area AOP....
quello che non capisco è come mi trovo questo benedetto punto?.....mi sono trovata i punti delle mia retta, l'ho disegnata, ho disegnato anche il punto A e poi???? non capisco quale formula o comunque quale procedimento usare....potete aiutarmi?
Risposte
Puoi scrivere esattamente tutto il problema? Effettivamente sembra che manchi qualcosa
Salve silvia_85,
non ho capito bene, tu hai una retta $y=2x+3$ e un punto $A(0,3)$, ma il punto P è della retta r?
Cordiali saluti
"silvia_85":
salve a tutti vorrei un chiarimento in merito ad un esercizio:
il testo mi da una retta del tipo $y=2x+3$ un punto $A(0,3)$ e poi mi chiede di trovarmi il punto P nel primo quadrante della retta r per poi trovarmi l'area AOP....
quello che non capisco è come mi trovo questo benedetto punto?.....mi sono trovata i punti delle mia retta, l'ho disegnata, ho disegnato anche il punto A e poi???? non capisco quale formula o comunque quale procedimento usare....potete aiutarmi?
non ho capito bene, tu hai una retta $y=2x+3$ e un punto $A(0,3)$, ma il punto P è della retta r?
Cordiali saluti
il testo è questo....ho una retta $r$ di equazione $y=2x+3$ un punto $A(0,3)$ e devo trovarmi il punto P sulla retta $r$ nel primo quadrante in grado di darmi l'area del triangolo $AOP=3/2$
e con tutte le formule che ho in mano non riesco a capire come trovarmi questo benedetto punto P
@garnak: si il punto P da trovare sta sulla retta r ma nel primo quadrante....se ti disegni la retta r vedi che attraversa il primo , passa per il secondo e poi per il terzo
e con tutte le formule che ho in mano non riesco a capire come trovarmi questo benedetto punto P
@garnak: si il punto P da trovare sta sulla retta r ma nel primo quadrante....se ti disegni la retta r vedi che attraversa il primo , passa per il secondo e poi per il terzo
Ok, ora è chiaro. Direi che si può fare così: il punto $P$ ha coordinate $(alpha, 2alpha+3)$, con $alpha>0$ da determinare.
Possiamo considerare $AP$ come base del triangolo. In questo modo, dato che sia $A$ che $P$ sono sulla retta $r$,
l'altezza sarà il segmento $OH$, dove $H$ è la proiezione del punto $O$ su $r$.
In pratica $bar(OH)= d(O, r)$ (distanza tra il punto $O$ e la retta $r$), e $bar(AP)= sqrt((alpha-0)^2 +(2alpha+3 - 3)^2 )$
Deve valere $(bar(OH) *bar(AP) )/2= 3/2$, cioè $bar(OH) *bar(AP)=3$
Possiamo considerare $AP$ come base del triangolo. In questo modo, dato che sia $A$ che $P$ sono sulla retta $r$,
l'altezza sarà il segmento $OH$, dove $H$ è la proiezione del punto $O$ su $r$.
In pratica $bar(OH)= d(O, r)$ (distanza tra il punto $O$ e la retta $r$), e $bar(AP)= sqrt((alpha-0)^2 +(2alpha+3 - 3)^2 )$
Deve valere $(bar(OH) *bar(AP) )/2= 3/2$, cioè $bar(OH) *bar(AP)=3$
aspetta un attimo per trovarti le coordinate del punto P hai messo a sistema la retta $r$ ponendo $y=k$?
No. $P$ è un punto generico della retta $r$, giusto?
Se l'ascissa di $P$ la indico con $alpha$, necessariamente la sua ordinata sarà $2alpha+3$,
poichè deve essere rispettata l'equazione della retta $r$, cioè $y=2x+3$.
Poi, per essere sicuro che $P$ stia nel primo quadrante, impongo che $alpha$ sia positivo.
Se, nel prosieguo dei calcoli mi verrà come soluzione un numero negativo o nullo, dovrò escludere tale soluzione
Se l'ascissa di $P$ la indico con $alpha$, necessariamente la sua ordinata sarà $2alpha+3$,
poichè deve essere rispettata l'equazione della retta $r$, cioè $y=2x+3$.
Poi, per essere sicuro che $P$ stia nel primo quadrante, impongo che $alpha$ sia positivo.
Se, nel prosieguo dei calcoli mi verrà come soluzione un numero negativo o nullo, dovrò escludere tale soluzione
quindi tu fai ${(y=2x+3), (x=alpha):}$ ${(y=2alpha+3),(x=alpha):}$ giusto? dopo ti cerchi la distanza tra due punti.....tra il punto $P(alpha,2alpha+3$ e il punto $A(0,3)$ giusto? e da qui poi con la formula inversa ti trovi il punto giusto?
Sì, ma andiamo per gradi: quanto viene $bar(AP)$?
E quanto viene la distanza tra $O$ e la retta $r$?
Intanto aggiungo l'immagine:
Mi sono accorto ora che si poteva fare anche in un altro modo, certamente molto più semplice.
Prendiamo come base $AO$, che misura $3$.
L'altezza è $PK$, dove $K$ è la proiezione di $P$ sulla retta $AO$.
Quanto misura $PK$? Misura come la distanza tra $P$ e l'asse $y$, cioè $alpha$ (l'ascissa di $P$)
Ecco: $(bar(AO)*bar(PK))/2= 3/2=> [3*alpha]/2 = 3/2=> ...$
E quanto viene la distanza tra $O$ e la retta $r$?
Intanto aggiungo l'immagine:
Mi sono accorto ora che si poteva fare anche in un altro modo, certamente molto più semplice.
Prendiamo come base $AO$, che misura $3$.
L'altezza è $PK$, dove $K$ è la proiezione di $P$ sulla retta $AO$.
Quanto misura $PK$? Misura come la distanza tra $P$ e l'asse $y$, cioè $alpha$ (l'ascissa di $P$)
Ecco: $(bar(AO)*bar(PK))/2= 3/2=> [3*alpha]/2 = 3/2=> ...$
allora
$bar AP$=$sqrt((alpha-0)^2+(2alpha+3-3)^2)$=$sqrt(alpha^2+(4alpha)^2)$=$sqrt(alpha^2(1+4))$=$alphasqrt(5)$
$bar AP$=$sqrt((alpha-0)^2+(2alpha+3-3)^2)$=$sqrt(alpha^2+(4alpha)^2)$=$sqrt(alpha^2(1+4))$=$alphasqrt(5)$
Corretto. E $bar(OH)$ quanto ti viene?
PS: nel mio post precedente ho aggiunto il grafico del problema,
e guardando l'immagine ho notato che si poteva risolvere anche in un altro modo.
Se ti va dacci un'occhiata
PS: nel mio post precedente ho aggiunto il grafico del problema,
e guardando l'immagine ho notato che si poteva risolvere anche in un altro modo.
Se ti va dacci un'occhiata
scusa ma non capisco perchè hai tracciato l'altra retta indicando $h$
ho dato un'occhiata al grafico ma non capisco quel punto H con l'altra retta!!! e come faccio a calcolarmi $barOH$?
ho dato un'occhiata al grafico ma non capisco quel punto H con l'altra retta!!! e come faccio a calcolarmi $barOH$?
Perchè $OH$ è l'altezza.
L'altezza di un triangolo è quel segmento perpendicolare alla base (nel nostro caso la base è $AP$) e passante per il terzo punto (cioè $O$)
Se si fa nel'altro modo, il punto $H$ non serve. Serve invece un altro punto, che ho indicato con $K$ e ho spiegato dove va posizionato
L'altezza di un triangolo è quel segmento perpendicolare alla base (nel nostro caso la base è $AP$) e passante per il terzo punto (cioè $O$)
Se si fa nel'altro modo, il punto $H$ non serve. Serve invece un altro punto, che ho indicato con $K$ e ho spiegato dove va posizionato
diciamo che nel compito io avevo impostato il problema in un modo molto simile al tuo....quello dove $H$ non serve....ma mi sono persa per strada
Ok, allora aspetta un attimo che rifaccio il disegno
Ecco: $AO$ è la base del triangolo, $KP$ è l'altezza.
Ricordo che $P(alpha, 2alpha+3)$.
A posto ora? Sei in grado di concludere?
Ecco: $AO$ è la base del triangolo, $KP$ è l'altezza.
Ricordo che $P(alpha, 2alpha+3)$.
A posto ora? Sei in grado di concludere?
ok......quando anch'io ho disegnato il grafico avevo subito notato che potevo usare come base $bar OA$ che già avevo, e che ha valore $3$.....poi ho già l'area e volevo impostare la formula inversa per ottenere l'altezza......hai capito il mio ragionamento?
Ah, ok. Sì, va bene. Quanto viene l'altezza, con la formula inversa?
(nel frattempo ho messo il grafico)
(nel frattempo ho messo il grafico)
adesso ti faccio vedere tutti i passaggi...
$A=(bar OA* bar OP)/(2)$ avendo $bar OA$ con la formula inversa ottengo $bar OA=(3/2*3)/(2)=9/2*1/2=9/4$ quindi l'altezza è uguale a $9/4$ ti trovi d'accordo con me?
$A=(bar OA* bar OP)/(2)$ avendo $bar OA$ con la formula inversa ottengo $bar OA=(3/2*3)/(2)=9/2*1/2=9/4$ quindi l'altezza è uguale a $9/4$ ti trovi d'accordo con me?
Ehm, no 
Prima di tutto l'altezza è $PK$, non $OP$. Poi nella prima formula hai messo $+$. Invece è $*$.
Infine, la formula inversa è sbagliata: $bar(PK)= 2* ccA/bar(AO)$
Prima di tutto l'altezza è $PK$, non $OP$. Poi nella prima formula hai messo $+$. Invece è $*$.
Infine, la formula inversa è sbagliata: $bar(PK)= 2* ccA/bar(AO)$
no scusami per il $+$ quello è stato un'erroraccio....provvedo a corregere.....ma quindi quel $9/4$ che mi sono trovata è $PK$?
mamma mia che imbranata....vero hai ragione......cosi facendo ottengo $1$ che è un la $x$....qui metto a sistema cosi
${(y=2x+3),(x=1):}$ $->$ ${(y=5),(x=1):}$ fine del compito
mamma mia che imbranata....vero hai ragione......cosi facendo ottengo $1$ che è un la $x$....qui metto a sistema cosi
${(y=2x+3),(x=1):}$ $->$ ${(y=5),(x=1):}$ fine del compito
Tutto corretto. Ho solo un piccolo dubbio... Non sono sicurissimo che tu abbia capito una cosa.
Passo quindi a chiederti:
Passo quindi a chiederti:
"silvia_85":E' giusto, ma perchè è la $x$ di $P$?
cosi facendo ottengo $1$ che è un la $x$
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