Trovare polinomio

[elios2]

Trovare un polinomio di 3° grado $P(x)$, tale che
$P(x^2)+P(x)P(x+1)=0$
per ogni x reale.


Non so dove iniziare..

[franced]

Non ci dimentichiamo del fatto che, seguendo il metodo di Amelia, si ottengono 7 equazioni non lineari
in sole 4 incognite (sono i coefficienti del polinomio di terzo grado).

Mi sembrano un po' troppe per essere sicuro che tale polinomio esista davvero..
Potrebbe esistere, ok, ma se dovessi scommettere punterei sulla non esistenza 20:1,
come fanno in Inghilterra..

Il polinomio deve essere fatto così, ammesso che esista:

$p(x) = -x^3 + frac{3}{2} x + cx + d$.

Ho provato anche sostituendo alcuni valori, ad esempio:

$p(x^2) + p(x) cdot p(x+1) = 0$

metto $x=0$: $p(0) + p(0) cdot p(1) = 0$

metto $x=1$: $p(1) + p(1) cdot p(2) = 0$

ecc..

si può anche derivare il polinomio di partenza:

$(p(x^2) + p(x) cdot p(x+1))' = 0$

ottenendo:

$2x cdot p'(x^2) + p'(x) p(x+1) + p(x) p'(x+1) = 0$

mettendo $x=0$: p'(0) p(1) + p(0) p'(1) = 0

si può anche continuare a derivare, non so quale sia la strada più veloce per finire.

Buon anno a tutti!!

Francesco Daddi

[elios2]

Allora,
dal coefficiente di 6° grado ottengo $a=-1$, dal coefficiente di 5° grado ottengo $b=3/2$, dal coefficiente di 4° grado ottengo $c=-3/8$, dal coefficiente di 3° grado ottengo $d=-1/16$. E' solo che ora andando a sostituire questi valori anche nel coefficiente di 2°, di 1° grado e nel termine noto, non ottengo delle espressioni uguali a zero. Che vuol dire?