Trovare polinomio
Trovare un polinomio di 3° grado $P(x)$, tale che
$P(x^2)+P(x)P(x+1)=0$
per ogni x reale.
Non so dove iniziare..
$P(x^2)+P(x)P(x+1)=0$
per ogni x reale.
Non so dove iniziare..
Risposte
$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d
quindi
$P(x_0)=ax_0^3+bx_0^2+cx_0+d
$P(x_0+1)=a(x_0+1)^3+b(x_0+1)^2+c(x_0+1)+d
$P(x_0^2)=ax_0^6+b_0x^4+cx_0^2+d
quindi l'equazione diventa
$ax_0^6+b_0x^4+cx_0^2+d-(ax_0^3+bx_0^2+cx_0+d)(a(x_0+1)^3+b(x_0+1)^2+c(x_0+1)+d)=0
ora prova a svolgere i calcoli e poi tutte le condizioni su a,b,c,d che ti vengono sul valore del polinomio in modo che esso sia zero.
son tantissimi calcoli... penso che ci sia anche una strada più veloce, ma nn mi viene in mente...
quindi
$P(x_0)=ax_0^3+bx_0^2+cx_0+d
$P(x_0+1)=a(x_0+1)^3+b(x_0+1)^2+c(x_0+1)+d
$P(x_0^2)=ax_0^6+b_0x^4+cx_0^2+d
quindi l'equazione diventa
$ax_0^6+b_0x^4+cx_0^2+d-(ax_0^3+bx_0^2+cx_0+d)(a(x_0+1)^3+b(x_0+1)^2+c(x_0+1)+d)=0
ora prova a svolgere i calcoli e poi tutte le condizioni su a,b,c,d che ti vengono sul valore del polinomio in modo che esso sia zero.
son tantissimi calcoli... penso che ci sia anche una strada più veloce, ma nn mi viene in mente...
poiche' il problema chiede di trvare UN polinomio tale che ... , e non tutti i polinomi tali che...
allora prova a sfruttare questo fatto.
allora prova a sfruttare questo fatto.
"fu^2":
...quindi l'equazione diventa
$ax_0^6+b_0x^4+cx_0^2+d-(ax_0^3+bx_0^2+cx_0+d)(a(x_0+1)^3+b(x_0+1)^2+c(x_0+1)+d)=0
ora prova a svolgere i calcoli e poi tutte le condizioni su a,b,c,d che ti vengono sul valore del polinomio in modo che esso sia zero.
son tantissimi calcoli... penso che ci sia anche una strada più veloce, ma nn mi viene in mente...
I calcoli sono effettivamente tantissimi, ma si può operare procedendo un po' alla volta.
Comincia con il calcolare solo il termine di sesto grado che ha come coefficiente $(a-a^2)$, ora $a!=0$ altrimenti il polinomio non è di terzo grado, quindi $a=1$,
il coefficiente del termine di quinto mi viene $-3-2b$, quindi $b= -3/2$, e così via sostituendo di volta in volta i coefficienti già calcolati.
Resta comunque un lavoro lungo, ma neanche a me vengono in mente strade alternative.
Quello che codino75 dice, cioè di trovare UN polinomio, mi aiuta in qualche modo??
Come mai nell'equazione
$ax_0^6+bx_0^4+cx_0^2+d-(...$
perché dopo $d$ c'è il meno e non il più?
$ax_0^6+bx_0^4+cx_0^2+d-(...$
perché dopo $d$ c'è il meno e non il più?
Amelia, quando hai imposto $a=1$ hai imposto che il coefficiente della $x^6$ sia nullo. Perché?
"elios":
Amelia, quando hai imposto $a=1$ hai imposto che il coefficiente della $x^6$ sia nullo. Perché?
Per il principio di identità dei polinomi:"Due polinomi sono identici (assumono lo stesso valore, al variare dei valori delle variabili) se hanno tutti i coefficienti uguali". Nel nostro caso il polinomio a secondo membro è il polinomio nullo, quindi lo deve essere anche quello al primo membro, perciò tutti i coefficienti devono essere zero.
Invece, piuttosto, i miei calcoli sono sbagliati perché sono partita dall'equazione di fu^2 che, come hai fatto notare, ha sbagliato un segno, ma non me ne ero accorta.
Non credo che l'affermazione di codino ti possa essere utile più di tanto perché credo che il problema ammetta un'unica soluzione, a parte ovviamente quella nulla che però non soddisfa l'ipotesi generale di essere di terzo grado.
"elios":
Come mai nell'equazione
$ax_0^6+bx_0^4+cx_0^2+d-(...$
perché dopo $d$ c'è il meno e non il più?
errore di battitura
dai la logica dell'esercizio e calcoli comunque non cambia
Ho fatto tutti i calcoli, ora impongo che tutti i coefficienti siano uguali a 0, trovo $a$,$b$,$c$,$d$, e ho fatto??
"elios":
Ho fatto tutti i calcoli, ora impongo che tutti i coefficienti siano uguali a 0, trovo $a$,$b$,$c$,$d$, e ho fatto??
tutti i coefficienti legati a termini di grado superiore al terzo.
ah... e quelli legati ai termini di primo, secondo e terzo grado?
"elios":
ah... e quelli legati ai termini di primo, secondo e terzo grado?
se anche quellli si llano è un pò dura trovare un polinomio di terzo grado con coefficienti nulli
devo annullarsi tutti quelli sopra il grado tre e contemporaneamente devo essere diversi da zero quelli uguali o minori del grado tre, se nn risulta così allora il polinomio cercato non esiste
Perfetto! grazie ancora!!
Tre cose:
- il testo mi dice di trovare un polinomio di terzo grado P(x) tale che ....tutto l'altro polinomio.... sia valido per ogni x reale. Non mi dice che "tutto l'altro polinomio" $P(x^2)+P(x)P(x+1)=0$ deve essere di terzo grado, quindi perché annullare i coefficienti di grado superiore al terzo di quest'ultimo lungo polinomio?
- Amelia mi aveva risposto che, avendo noi, un polinomio nullo a secondo membro dobbiamo imporre uguale a zero tutti gli altri coefficienti. Va fatto oppure no?
-Come faccio ad essere sicura che sia valido "per ogni x reale"?
Scusate la petulanza e l'infermità mentale
- il testo mi dice di trovare un polinomio di terzo grado P(x) tale che ....tutto l'altro polinomio.... sia valido per ogni x reale. Non mi dice che "tutto l'altro polinomio" $P(x^2)+P(x)P(x+1)=0$ deve essere di terzo grado, quindi perché annullare i coefficienti di grado superiore al terzo di quest'ultimo lungo polinomio?
- Amelia mi aveva risposto che, avendo noi, un polinomio nullo a secondo membro dobbiamo imporre uguale a zero tutti gli altri coefficienti. Va fatto oppure no?
-Come faccio ad essere sicura che sia valido "per ogni x reale"?
Scusate la petulanza e l'infermità mentale
Quello che dice Amelia è esatto.Se si vuole che l'eguaglianza (1) P(x^2)+P(x)P(x+1)=0 sia identicamente soddisfatta per ogni valore reale di x occorre che tutti i coefficienti del polinomio al primo membro della (1) siano nulli.In tal modo si e' sicuri che ,per ogni x ,tale primo membro avrà il valore zero.
Ciao
Ciao
per la prima domanda, fai attenzione bisogna annulare i coefficienti solo perchè hai un equazione che ti dice che il "nuovo polinomio" è uguale a zero(o se preferisci al polinomio nullo); annullando tutti i coefficienti ottieni il polinomio nullo, quindi (e qui ti rispondo alla terza domanda) la tua equazione è verificata per tutti gli x reali (cioè per ogni x che prendi il "polinomio nuovo" è comunque uguale a zero è proprio impnendo questa condizione che abbiamo scelto i coefficienti!). Quindi risulta affermativa la risposta alla seconda domanda!
Perfetto! Grazie..
Come può essere $a=1$, scusate?
A me viene $a=-1$.
Infatti, se $p(x) = a x^3 + ...$
$p(x^2) = a x^6 + ...$
$p(x) cdot p(x+1) = (a x^3 + ...) cdot (a (x+1)^3 +...)$
da cui:
$p(x^2) + p(x) cdot p(x+1) = 0 rightarrow a x^6 + ... + (a x^3 + ...) cdot (a (x+1)^3 +...)$
svolgendo si ha:
$a x^6 + a^2 x^6 + ...$
quindi, raccogliendo:
$(a+a^2) x^6 + ...$
$a+a^2 = 0$ per il principio d'identità dei polinomi
$a ne 0$ altrimenti non abbiamo il polinomio $p(x)$ di terzo grado
non resta che $a=-1$.
Che $a$ non può essere positivo si vede bene facendo la considerazione
che i due polinomi $p(x^2)$ e $p(x) cdot p(x+1)$ sommandosi, devono dare zero.
Il coefficiente direttore di $p(x) cdot p(x+1)$ è positivo in ogni caso, quindi non
resta che mettere $a<0$.
Non so se mi sono spiegato..
Francesco Daddi
A me viene $a=-1$.
Infatti, se $p(x) = a x^3 + ...$
$p(x^2) = a x^6 + ...$
$p(x) cdot p(x+1) = (a x^3 + ...) cdot (a (x+1)^3 +...)$
da cui:
$p(x^2) + p(x) cdot p(x+1) = 0 rightarrow a x^6 + ... + (a x^3 + ...) cdot (a (x+1)^3 +...)$
svolgendo si ha:
$a x^6 + a^2 x^6 + ...$
quindi, raccogliendo:
$(a+a^2) x^6 + ...$
$a+a^2 = 0$ per il principio d'identità dei polinomi
$a ne 0$ altrimenti non abbiamo il polinomio $p(x)$ di terzo grado
non resta che $a=-1$.
Che $a$ non può essere positivo si vede bene facendo la considerazione
che i due polinomi $p(x^2)$ e $p(x) cdot p(x+1)$ sommandosi, devono dare zero.
Il coefficiente direttore di $p(x) cdot p(x+1)$ è positivo in ogni caso, quindi non
resta che mettere $a<0$.
Non so se mi sono spiegato..
Francesco Daddi
Sì sì, infatti è $a=-1$.
Il calcolo $a=1$ è frutto di un errore di battitura di fu^2 che per sbaglio ha messo un meno dove andava un +.
Il calcolo $a=1$ è frutto di un errore di battitura di fu^2 che per sbaglio ha messo un meno dove andava un +.
"elios":
Quello che codino75 dice, cioè di trovare UN polinomio, mi aiuta in qualche modo??
A pensarci bene, basta verificare l'uguaglianza in 7 punti.
Non siamo obbligati a verificarlo per tutti i valori $x$ reali.
Francesco Daddi
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