Trovare equazione di parabola
Avrei un problemino
Scrivere l'equazione della parabola $y=ax^2+bx+c$ tangente all'asse x nel punto di ascissa 1 e passante per il punto $(0;1)$
Dunque, per avere la parabola mi servono 3 condizioni.
Una è che passa per il punto 0,1.
La seconda si ricava facendo
${y = x$
${x = 1$
e ho il secondo punto (1,1)
ma la terza condizione?
Ho provato a mettere a sistema la retta tangente e l'equazione generica della parabola
${y=ax^2+bx+c$
${y=x$
Ma non sono riuscito a ottenere molto.
Avete soluzioni?
Scrivere l'equazione della parabola $y=ax^2+bx+c$ tangente all'asse x nel punto di ascissa 1 e passante per il punto $(0;1)$
Dunque, per avere la parabola mi servono 3 condizioni.
Una è che passa per il punto 0,1.
La seconda si ricava facendo
${y = x$
${x = 1$
e ho il secondo punto (1,1)
ma la terza condizione?
Ho provato a mettere a sistema la retta tangente e l'equazione generica della parabola
${y=ax^2+bx+c$
${y=x$
Ma non sono riuscito a ottenere molto.
Avete soluzioni?
Risposte
"Vincent":
Scrivere l'equazione della parabola $y=ax^2+bx+c$ tangente all'asse x nel punto di ascissa 1 e passante per il punto $(0;1)$
Affinché la condizione di tangenza si realizzi è necessario e sufficiente - vista la direzione dell'asse - che la parabola abbia il suo vertice esattamente nel punto $(1;0)$. Adesso fa' un po' tu...
Avrei anche quest'altra cosetta
Data la parabola $y=x^2 + (2k-1)x +c$ determinare per quali valori di k la parabola ha per direttrice la retta $y=-1/4$ e che il vertice della parabola appartieene alla bisettrice del 2/4 quadrante.
DUUUNQUE
Per la prima condizione faccio cosi
$- (1+b^2-4ac)/2a = -1/4$
Cambio il segno
$ (1+b^2-4ac)/2a = 1/4$
$1+((2k+1)^2-4) = 1/4$
$1+ 4k^2 -3 -2k = 1/4$
$4k^2 - 2k -2 -7/4=0$
Faccio la risolutiva
$k = (2 +-sqrt(4-28))/8$
Ma non m trovo...
Seconda condizione
$(b^2-4ac)/4 = (2k-1)/2$
$((2k-1)^2 -4)/4 = (2k-1)/2$
$(2k-1)^2 -4 = (4k-2)$
E mi viene
$4k^2 -8k+5 = 0$
Cosa me ne faccio di ciò??
Data la parabola $y=x^2 + (2k-1)x +c$ determinare per quali valori di k la parabola ha per direttrice la retta $y=-1/4$ e che il vertice della parabola appartieene alla bisettrice del 2/4 quadrante.
DUUUNQUE
Per la prima condizione faccio cosi
$- (1+b^2-4ac)/2a = -1/4$
Cambio il segno
$ (1+b^2-4ac)/2a = 1/4$
$1+((2k+1)^2-4) = 1/4$
$1+ 4k^2 -3 -2k = 1/4$
$4k^2 - 2k -2 -7/4=0$
Faccio la risolutiva
$k = (2 +-sqrt(4-28))/8$
Ma non m trovo...
Seconda condizione
$(b^2-4ac)/4 = (2k-1)/2$
$((2k-1)^2 -4)/4 = (2k-1)/2$
$(2k-1)^2 -4 = (4k-2)$
E mi viene
$4k^2 -8k+5 = 0$
Cosa me ne faccio di ciò??
"HiTLeuLeR":
[quote="Vincent"]Scrivere l'equazione della parabola $y=ax^2+bx+c$ tangente all'asse x nel punto di ascissa 1 e passante per il punto $(0;1)$
Affinché la condizione di tangenza si realizzi è necessario e sufficiente - vista la direzione dell'asse - che la parabola abbia il suo vertice esattamente nel punto $(1;0)$. Adesso fa' un po' tu...[/quote]
In questo modo ho altre 2 condizioni
"Vincent":
[quote="HiTLeuLeR"]Affinché la condizione di tangenza si realizzi è necessario e sufficiente - vista la direzione dell'asse - che la parabola abbia il suo vertice esattamente nel punto $(1;0)$. Adesso fa' un po' tu...
In questo modo ho altre 2 condizioni[/quote]
No, ne hai tre! Il passaggio per i punti $(0;1)$ e $(1;0)$ e il fatto che il vertice della conica debba piazzarsi proprio in corrispondenza del secondo dei due.
Si infatti intendevo oltre al passaggio dei punti, ho altre due condizioni in piu'
Ma se la parabola non fosse in quella condizione particolare??
Scrivere l'equazione della parabola passante per il punto $1/2;-5/4$ e tangente alla retta $y=4x-4$ nel punto di ascissa $x=1$
Avrei due punti
$1/2,-5/4$
$0;1$
mi manca la terza condizione
Ma se la parabola non fosse in quella condizione particolare??
Scrivere l'equazione della parabola passante per il punto $1/2;-5/4$ e tangente alla retta $y=4x-4$ nel punto di ascissa $x=1$
Avrei due punti
$1/2,-5/4$
$0;1$
mi manca la terza condizione
"Vincent":
Si infatti intendevo oltre al passaggio dei punti, ho altre due condizioni in piu' Ma se la parabola non fosse in quella condizione particolare??
Scrivere l'equazione della parabola passante per il punto $1/2;-5/4$ e tangente alla retta $y=4x-4$ nel punto di ascissa $x=1$ [...] mi manca la terza condizione
Sistema fra l'equazione della retta e l'equazione generale della conica, diciamo $y = ax^2 + bx + c$: ne risulta una risolvente quadratica nei parametri $a, b, c$. La condizione di tangenza impone che il delta della risolvente sia nullo. Non sono neppure troppi conti...
il ragionamento è giusto ma non riesco ad appplicarlo qui.
scrivere l'equazione della parabola passante per $0,-2$ e $1,0$ e tangente alla retta $x-y+1=0$
Dunque, sistema
${y=ax^2+bx+c=0$
${y=x-1$
$ax^2+bx+c-x+1=0$
che diventa
$ax^2 +(b-1)x +c+1=0$
cosa me ne faccio di questa equazione??
scrivere l'equazione della parabola passante per $0,-2$ e $1,0$ e tangente alla retta $x-y+1=0$
Dunque, sistema
${y=ax^2+bx+c=0$
${y=x-1$
$ax^2+bx+c-x+1=0$
che diventa
$ax^2 +(b-1)x +c+1=0$
cosa me ne faccio di questa equazione??
"Vincent":
il ragionamento è giusto ma non riesco ad appplicarlo qui.
scrivere l'equazione della parabola passante per $(0,-2)$ e $(1,0)$ e tangente alla retta $x-y+1=0$
Dunque, sistema
${y=ax^2+bx+c=0$
${y=x-1$
...intanto il sistema è sbagliato: casomai è $y = x+1$. Ne risulta $ax^2 + (b-1)x + c-1 = 0$, e perciò $(b-1)^2 - 4a(c-1) = 0$, per via della condizione di tangenza fra le curve. D'altro canto, il passaggio della conica per i punti $(0,-2)$ e $(1,0)$ impone pure $c = -2$ e $a+b+c = 0$, i.e. $a = -b-c=2-b$. Da qui $0 = (b-1)^2 + 12(2-b) = b^2 - 14b + 25$, e.g. $b = 7 \pm 2 \sqrt{6}$. Da qui ci si ricava $a$ e quindi le equazioni delle parabole che verificano le condizioni del problema.
Ho capito. Purtroppo faccio molti di questi errori, e speriamo bene per il compito di mercoledi
Aiutatemi per favore sto provando a fare ancora un problema simile a questo ma niete!
Scrivere l'equazione della parabola avente per asse di simmetria la retta $x=3$ e tangente nel punto $A(2;3)$ alla retta r di coefficiente angolare 2.
La retta r sarà $y = 2x $
Ho già due condizioni:
Il passaggio al punto A, e l'asse di simmetria $-b/2a = 3
Rimane sempre questa maledetta terza condizione
Faccio quindi il solito sistema
$y=ax^2+bx+c$
$y=2x$
$ax^2+bx+c-2x=0$
$ax^2 +(b-2)x +c = 0$
Ottengo il delta.
$(b-2)^2 - 4(ac) = 0$
e quindi avrei una ipotetica terza condizione.
Quindi il sistema è
${4a+2b+c -3 = 0$
${-b/2a = 3$
${(b-2)^2 - 4(ac) = 0$
${4a+2b+c -3 = 0$
${b= -6a$
${(b-2)^2 - 4(ac) = 0$
${4a-12a+c -3 = 0$
${b= -6a$
${(b-2)^2 - 4(ac) = 0$
${-8a +c - 3 = 0$
${b= -6a$
${(b-2)^2 - 4(ac) = 0$
${c = 8a + 3 0$
${b= -6a$
${(b-2)^2 - 4(ac) = 0$
${c = 8a + 3$
${b= -6a$
${(-6a -2)^2 - 4(8a^2 + 3a) = 0$
Da qui in poi come procedere? Cosa fare??
Mi blocco sempre in questo punto!!!
Scrivere l'equazione della parabola avente per asse di simmetria la retta $x=3$ e tangente nel punto $A(2;3)$ alla retta r di coefficiente angolare 2.
La retta r sarà $y = 2x $
Ho già due condizioni:
Il passaggio al punto A, e l'asse di simmetria $-b/2a = 3
Rimane sempre questa maledetta terza condizione
Faccio quindi il solito sistema
$y=ax^2+bx+c$
$y=2x$
$ax^2+bx+c-2x=0$
$ax^2 +(b-2)x +c = 0$
Ottengo il delta.
$(b-2)^2 - 4(ac) = 0$
e quindi avrei una ipotetica terza condizione.
Quindi il sistema è
${4a+2b+c -3 = 0$
${-b/2a = 3$
${(b-2)^2 - 4(ac) = 0$
${4a+2b+c -3 = 0$
${b= -6a$
${(b-2)^2 - 4(ac) = 0$
${4a-12a+c -3 = 0$
${b= -6a$
${(b-2)^2 - 4(ac) = 0$
${-8a +c - 3 = 0$
${b= -6a$
${(b-2)^2 - 4(ac) = 0$
${c = 8a + 3 0$
${b= -6a$
${(b-2)^2 - 4(ac) = 0$
${c = 8a + 3$
${b= -6a$
${(-6a -2)^2 - 4(8a^2 + 3a) = 0$
Da qui in poi come procedere? Cosa fare??
Mi blocco sempre in questo punto!!!
"Vincent":
Aiutatemi per favore sto provando a fare ancora un problema simile a questo ma niete!
Scrivere l'equazione della parabola avente per asse di simmetria la retta $x=3$ e tangente nel punto $A(2;3)$ alla retta r di coefficiente angolare 2.
Calma e sangue freddo! Sia $y = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$) l'equazione di una parabole generica $C$ con asse parallelo ad $x = 0$. Poiché l'asse di $C$ è la retta $x = 3$, dev'essere $b = -6a$, e perciò $y = ax^2 - 6ax + c$. Adesso il passaggio di $C$ per il punto $A(2;3)$: si trova $3 = 4a - 12a + c$, i.e. $c = 8a+3$, e quindi $y = ax^2 - 6ax + 8a+3$. Infine la condizione di tangenza di $C$ con la retta $r$ passante per $A$ e di coefficiente angolare $m = 2$. Questa è descritta dall'equazione $y = 2(x-2) + 3$, i.e. $y = 2x - 1$. L'intersezione fra le due curve è così riportata all'equazione $ax^2 - 6ax + 8a+3 = 2x - 1$, viz $ax^2 - 2(3a+1)x + 8a+4 = 0$. Quest'ultima ammette due soluzioni reali coincidenti (condizione di tangenza!) sse $\frac{\Delta}{4} := (3a+1)^2 - 8a^2-4a = a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2 = 0$, e.g. sse $a = -1$. Adesso resta solo da contare...
EDIT: sì, in effetti m'ero perso una "a" per strada. Mo' è tutto a posto - o almeno ci si spera!
Si ma in questo modo la A avrà due soluzioni!
"Vincent":
Si ma in questo modo la A avrà due soluzioni!
Embè?!
Per caso possiedi un qualche teorema di unicità a me sconosciuto, TU!? 
Bhe credo che la A in una parabola debba essere unica, e poi comunque non mi trovo con il risultato!
allora il sistema da risolvere(hitleuter perdonami se ti ripetero ma non ho guardato cosa ha i scritto) è dato dalle equazioni:
$-b/(2a)=3$
$3=4a+2b+c$ e dopo la terza è data dalla formula
$2ax_0+b=m$ dove m è il coefficiente angolare dellla tangente alla parabola in un punto $x_0$.
Si tratta di una regola generale che spesso non è scritta nei libri ma è semplice da provare....Che spesso ti evita una marea di conti.Lascio a te cercare di provarla...
Quindi la terza è
$4a+b=2$.
$-b/(2a)=3$
$3=4a+2b+c$ e dopo la terza è data dalla formula
$2ax_0+b=m$ dove m è il coefficiente angolare dellla tangente alla parabola in un punto $x_0$.
Si tratta di una regola generale che spesso non è scritta nei libri ma è semplice da provare....Che spesso ti evita una marea di conti.Lascio a te cercare di provarla...
Quindi la terza è
$4a+b=2$.
"Vincent":
Bhe credo che la A in una parabola debba essere unica, e poi comunque non mi trovo con il risultato!
Semplicemente credi il falso (almeno in generale). Che poi i miei conti possano pur essere sbagliati, beh... questo sì è possibilissimo! Anzi - ti dirò! - sarei piuttosto stupido del contrario...
But a few minutes later...
Ehr... In effetti ho rivisto i conti: m'ero perso per strada qualche pezzo! Adesso dovrebbe andare bene...
Per inciso, mi sento di dire senza tema che le formule di sdoppiamento, con cui blackdie ha risolto lo stesso problema, sono veramente prodigiose, in questi casi!
Grazie mille per l'aiuto spero che ora mi sia piu' chiaro. Farò altri problemi con questo tipo di problema, cio è due condizioni e tangente!!
Sto studiando maledettamente per il compito di domani ma non riesco a trovarmi per niente.
consideriamo la parabola di prima
$y=-x^2+6x-5$
Determinare ora le equazioni delle rette tangenti alla parabola nei punti in cui questa interseca l'asse x.
Faccio cosi
Interseco l'asse X con la parabola
${y=-x^2+6x-5$
${y = 0$
E ho una x di due soluzioni, ossia -1 e -4
Ora faccio passare due rette
$y = mx+4m$ e
$y = mx+m$ che sono le rette tangeti. faccio quindi il sistema con il metodo di confronto
$y = mx+4m$
${y=-x^2+6x-5m$
$-x^2+6x-5 = mx+4m$
quindi
$-x^2+(6-m)x -5-4m = 0
$(6-m)^2 - 4(5+4m) = 0$
$36 - 12m + m^2 - 20 - 16 m = 0$
$m^2 - 28 + 16 = 0$
$m = (28 +- sqrt(784 - 4(16))/2$
$m = (28 +- sqrt(784-64))/2$
$m = (28 +- sqrt(720))/2$
E da qui in poi mi blocco. Stessa cosa se provo con la seconda retta.
come se non bastasse, altro problema, già fatto prima
Scrivere l'equazione di una parabola passante per i punti $0,-2 e 1,0$ e tangente alla retta $x-y-1=0$
come al solito faccio
$y = ax^2 +bx +c $
$y=x-1$
$ax^2 +bx +c -x+1=0$
$ax^2 +(b-1)x +c +1 = 0$
Delta = 0
$(b-1)^2 - 4(ac+a) = 0$
da mettere a sistema
$c=2$
$a+b+c = 1$
$(b-1)^2 - 4(ac+a) = 0$
$c=2$
$b=-a-2+ 1$
$(b-1)^2 - 4(ac+a) = 0$
$c=2$
$b = -a-1$
$(b-1)^2 - 4(ac+a) = 0$
$c=2$
$b = -a-1$
$(-a-2)^2 - 4(3a) = 0$
$c=2$
$b = -a-1$
$a^2 +4a+4 - 12a = 0$
$c=2$
$b = -a-1$
$a^2 -8a +4= 0$
$(a = 8 +- sqrt(48))/2$
e nemmeno mi trovo!!!
Ma come è possibile????
Con queste tangenti non va proprio!
consideriamo la parabola di prima
$y=-x^2+6x-5$
Determinare ora le equazioni delle rette tangenti alla parabola nei punti in cui questa interseca l'asse x.
Faccio cosi
Interseco l'asse X con la parabola
${y=-x^2+6x-5$
${y = 0$
E ho una x di due soluzioni, ossia -1 e -4
Ora faccio passare due rette
$y = mx+4m$ e
$y = mx+m$ che sono le rette tangeti. faccio quindi il sistema con il metodo di confronto
$y = mx+4m$
${y=-x^2+6x-5m$
$-x^2+6x-5 = mx+4m$
quindi
$-x^2+(6-m)x -5-4m = 0
$(6-m)^2 - 4(5+4m) = 0$
$36 - 12m + m^2 - 20 - 16 m = 0$
$m^2 - 28 + 16 = 0$
$m = (28 +- sqrt(784 - 4(16))/2$
$m = (28 +- sqrt(784-64))/2$
$m = (28 +- sqrt(720))/2$
E da qui in poi mi blocco. Stessa cosa se provo con la seconda retta.
come se non bastasse, altro problema, già fatto prima
Scrivere l'equazione di una parabola passante per i punti $0,-2 e 1,0$ e tangente alla retta $x-y-1=0$
come al solito faccio
$y = ax^2 +bx +c $
$y=x-1$
$ax^2 +bx +c -x+1=0$
$ax^2 +(b-1)x +c +1 = 0$
Delta = 0
$(b-1)^2 - 4(ac+a) = 0$
da mettere a sistema
$c=2$
$a+b+c = 1$
$(b-1)^2 - 4(ac+a) = 0$
$c=2$
$b=-a-2+ 1$
$(b-1)^2 - 4(ac+a) = 0$
$c=2$
$b = -a-1$
$(b-1)^2 - 4(ac+a) = 0$
$c=2$
$b = -a-1$
$(-a-2)^2 - 4(3a) = 0$
$c=2$
$b = -a-1$
$a^2 +4a+4 - 12a = 0$
$c=2$
$b = -a-1$
$a^2 -8a +4= 0$
$(a = 8 +- sqrt(48))/2$
e nemmeno mi trovo!!!
Ma come è possibile????
Con queste tangenti non va proprio!
per il primo la parabola interseca l'asse x nei punti (5,0)e (1,0)...e ti consiiglio di usare la formula che ti ho scritto prima...e se non l'hai capita te la spiego...
La formula l'ho capita ma da dove esce fuori...no
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