Trovare angolo conoscendo seno e coseno
Ciao a tutti. Ho dei dubbi sulla risoluzione di questo quesito:
Se $cos\theta = \sqrt{1/2 + \frac{1}{2\sqrt{2} }$ e $sin\theta= -\sqrt{1/2 - \frac{1}{2\sqrt{2} }$ con $0<= \theta <=2\pi$ segue che $2\theta = ?$
Io ho pensato di usare la formula di duplicazione del coseno e fare quindi
$cos(2\theta)= cos^2(\theta) - sin^2(\theta) = 1/2 + \frac{1}{2\sqrt{2}} - 1/2 + \frac{1}{2\sqrt{2}} = 1/sqrt{2} = \sqrt{2} /2$
E quindi dato che è un valore notevole avevo concluso che $2\theta= 45º = \pi / 4$
Purtroppo la soluzione dell'esercizio dice $2\theta = 15/4 \pi$ e io non so dove sto sbagliando...
Se $cos\theta = \sqrt{1/2 + \frac{1}{2\sqrt{2} }$ e $sin\theta= -\sqrt{1/2 - \frac{1}{2\sqrt{2} }$ con $0<= \theta <=2\pi$ segue che $2\theta = ?$
Io ho pensato di usare la formula di duplicazione del coseno e fare quindi
$cos(2\theta)= cos^2(\theta) - sin^2(\theta) = 1/2 + \frac{1}{2\sqrt{2}} - 1/2 + \frac{1}{2\sqrt{2}} = 1/sqrt{2} = \sqrt{2} /2$
E quindi dato che è un valore notevole avevo concluso che $2\theta= 45º = \pi / 4$
Purtroppo la soluzione dell'esercizio dice $2\theta = 15/4 \pi$ e io non so dove sto sbagliando...
Risposte
Non ho controllato i conti però ti faccio notare che $15/4pi$ corrisponde a $-45°$ ed inoltre se il seno è negativo ed il coseno è positivo l'angolo sta nel IV quadrante ... penso che il problema stia nell'elevamento al quadrato, con il quale ti perdi il segno, perciò devi stare attento a "recuperarlo" come ho fatto io ... IMHO
"axpgn":
Non ho controllato i conti però ti faccio notare che $15/4pi$ corrisponde a $-45°$ ed inoltre se il seno è negativo ed il coseno è positivo l'angolo sta nel IV quadrante ... penso che il problema stia nell'elevamento al quadrato, con il quale ti perdi il segno, perciò devi stare attento a "recuperarlo" come ho fatto io ... IMHO
Hai completamente ragione sul segno del seno che mi fa intuire che l'angolo sia nel quarto quadrante, però $-45 = 315$ quindi $7/4 \pi$. $15/4 \pi$ non è $675$?
Ho anche provato a calcolare il seno e il coseno con la calcolatrice senza elevare niente al quadrato e con l'arcocoseno viene che $\theta= 22,5$ che è proprio la metà di 45 però sono perplesso. Inoltre nella soluzione c'è esplicitamente scritto che $7/4 \pi$ non è accettabile.
Really?
"axpgn":
Really?
Si?
Cioè vorresti dire che sono due angoli diversi? $7/4pi+2pi=7/4pi+8/4pi=15/4pi$ ... se vuoi te la riscrivo in gradi ... 
"axpgn":
Cioè vorresti dire che sono due angoli diversi? $7/4pi+2pi=7/4pi+8/4pi=15/4pi$ ... se vuoi te la riscrivo in gradi ...
Mi pento e mi vergogno.
In ogni caso, se appunto sono lo stesso angolo, come mai $7/4 \pi$ non va bene?
Perché partono dal presupposto che $theta$ sia $15/8pi$ e quindi il suo doppio sia $15/4pi$ ma non tener conto della periodicità mi sembra sciocco o quantomeno pedante ... IMHO
"axpgn":
Perché partono dal presupposto che $theta$ sia $15/8pi$ e quindi il suo doppio sia $15/4pi$ ma non tener conto della periodicità mi sembra sciocco o quantomeno pedante ... IMHO
Capisco grazie per l'aiuto. Devo piantarla di fare quesiti alla sera tardi che poi faccio errori madornali come quello di prima. Comunque sono d'accordo con te sulla periodicità però penso ci sia un motivo che ora ci sfugge per arrivare a scrivere " $7/4 \pi$ non accettabile".
Fiscali ...
Bah, non saprei. Come hai detto tu mi sembra sciocco essere così fiscali.
Fosse un problema di Fisica, capirei (un giro è diverso da due giri ...) ma in Matematica ...
"axpgn":Esatto, e poi sinceramente trovato che $2theta= 7/4 \pi$ non può venire in mente al candidato di aggiungere $2\pi$ a caso...
Fosse un problema di Fisica, capirei (un giro è diverso da due giri ...) ma in Matematica ...
Beh, quello dipende da come lo risolvi ... se trovi prima $theta=15/8pi$ allora viene naturale $15/4pi$ ... però, stante così il testo del problema, a mio parere, non è giusto penalizzare chi scrive $7/4pi$, anzi ... IMHO
"axpgn":
Beh, quello dipende da come lo risolvi ... se trovi prima $theta=15/8pi$ allora viene naturale $15/4pi$ ... però, stante così il testo del problema, a mio parere, non è giusto penalizzare chi scrive $7/4pi$, anzi ... IMHO
Come potrei fare per trovare $theta= 15/8pi$ ?
Non saprei ... a quest'ora poi ... 
... era solo per dire che se arrivi prima a $theta$ allora quella soluzione sembra la più ovvia ... se calcoli la tangente mi pare che si giunga a $1+sqrt(2)$ ma non so quanto sia utile ...
... era solo per dire che se arrivi prima a $theta$ allora quella soluzione sembra la più ovvia ... se calcoli la tangente mi pare che si giunga a $1+sqrt(2)$ ma non so quanto sia utile ...
Scusate se mi intrometto, ma $ 2theta=7/4 pi$ è necessariamente non accettabile: la sua metà appartiene al secondo quadrante, mentre i segni del seno e del coseno di $ theta $ impongono che questo stia nel nel quarto.
Se le soluzioni per $ theta $ hanno un periodo $ T=2pi$ ( una sola soluzione in ciascun giro) quelle per $2 theta$ avranno periodo $ T=4 pi$.
Ciao
Se le soluzioni per $ theta $ hanno un periodo $ T=2pi$ ( una sola soluzione in ciascun giro) quelle per $2 theta$ avranno periodo $ T=4 pi$.
Ciao
"orsoulx":
Scusate se mi intrometto, ma $ 2theta=7/4 pi$ è necessariamente non accettabile: la sua metà appartiene al secondo quadrante, mentre i segni del seno e del coseno di $ theta $ impongono che questo stia nel nel quarto.
Se le soluzioni per $ theta $ hanno un periodo $ T=2pi$ ( una sola soluzione in ciascun giro) quelle per $2 theta$ avranno periodo $ T=4 pi$.
Ciao
Hai ragione, ecco cos’era quello che ci stava sfuggendo. Grazie mille anche a te!
@orsoulx
A me sta bene quello che dici però se io trovo che $theta=15/8pi$ allora il suo doppio è $15/4pi$ ma, di fatto, questo equivale a $7/4pi$, no?
Meglio, detto in altro modo, $7/4pi$ e $15/4pi$ sono lo stesso angolo oppure no? E se no, quando posso dire che sono equivalenti?
Cordialmente, Alex
A me sta bene quello che dici però se io trovo che $theta=15/8pi$ allora il suo doppio è $15/4pi$ ma, di fatto, questo equivale a $7/4pi$, no?
Meglio, detto in altro modo, $7/4pi$ e $15/4pi$ sono lo stesso angolo oppure no? E se no, quando posso dire che sono equivalenti?
Cordialmente, Alex
@Alex,
$ 7/4 pi$ e $ 15/4 pi$ non sono lo stesso angolo, sono, a mio avviso, due angoli diversi che hanno funzioni goniometriche elementari uguali (coabitano nello stesso punto della circonferenza goniometrica).
L'angolo nullo e l'angolo giro sono due angoli diversi, tant'è che il primo è il doppio dell'angolo nullo, mentre il secondo è il doppio dell'angolo piatto.
Ciao
$ 7/4 pi$ e $ 15/4 pi$ non sono lo stesso angolo, sono, a mio avviso, due angoli diversi che hanno funzioni goniometriche elementari uguali (coabitano nello stesso punto della circonferenza goniometrica).
L'angolo nullo e l'angolo giro sono due angoli diversi, tant'è che il primo è il doppio dell'angolo nullo, mentre il secondo è il doppio dell'angolo piatto.
Ciao
"axpgn":
@orsoulx
A me sta bene quello che dici però se io trovo che $theta=15/8pi$ allora il suo doppio è $15/4pi$ ma, di fatto, questo equivale a $7/4pi$, no?
Trovi che $theta=15/8pi+2kpi$ quindi $2theta=15/4pi+4kpi$ perciò $7/4pi+2kpi$ o $7/4pi+4kpi$ non va bene.
Quello che ci mette in difficoltà è l'assenza del periodo.
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