Trigonometria x Babyaria
innanzi tutto ti consiglio di guardare le dispenze presenti in questo sito..
poi provo a darti qualche elemento io...per quello che posso...
non ti dico neanche cosa sono le funzioni seno e coseno...perchè se no non capiresti niente...e poi mi piace molto più l'approccio "geometrico"!! [;)]
dunque: sai cos'è una circonferenza goniometrica? immagino di no...bene...non è altro che una circonferenza di raggio 1 e centro in (0;0), l'origine degli assi cartesiani. se puoi fatti un disegno mano a mano.
bene. ora cominciamo un po' a giocare con gli angoli...si parte a calcolare l'ampiezza degli angoli dal primo quadrante...quindi, facendo un esempio un po' idiota...se la circonferenza goniometrica fosse il quadrante di un orologio e le due lancette le semirette che formano l'angolo, fissiamo una lancetta sulle 3 e l'altra è libera di ruotare in verso antiorario (altrimenti avremmo angoli negativi..tutto si può fare!). chiaro? facciamo qualche esempio...
l'angolo di 0° corrisponderà alle 3.15
l'angolo di 90° alle 3.00
l'angolo di 180° alle 2.45 (tieni presente che la nostra lancetta delle ore è fissa sulle 3 ok?)
mentre per esempio un angolo di -30° corrisponderà alle 3.20 e non sarà altro che il simmetrico (rispetto all'asse x) dell'angolo di 30°.
chiaro fin qui?
andiamo avanti...
sai che gli angoli si possono esprimere anche in radianti vero? per cui l'angolo di 90° in radianti sarà [}:)]/2
l'angolo di 60° sarà [}:)]/3
180°=[}:)]
è chiaro il motivo no? sulla cironferenza goniometrica, essendo il raggio 1, la circonferenza avrà perimetro 2[}:)], ma in termini di angoli una circonferenza è formata da un angolo giro (360°), per cui quando parliamo di angoli in radianti in realtà stiamo parlando dello spazio che l'angolo "spazza" sulla cironferenza goniometrica...per cui un angolo giro (immagina la lancettta dell'orologio che compie tutto il giro del quadrante) avrà "spazzato" una lunghezza (lungo la circonferenza di 2[}:)]...
se l'angolo è 90° (un quarto dell'angolo giro), percorrerà un quarto dell spazio: 1/4*2[}:)]=[}:)]/2
ok?
poi provo a darti qualche elemento io...per quello che posso...
non ti dico neanche cosa sono le funzioni seno e coseno...perchè se no non capiresti niente...e poi mi piace molto più l'approccio "geometrico"!! [;)]
dunque: sai cos'è una circonferenza goniometrica? immagino di no...bene...non è altro che una circonferenza di raggio 1 e centro in (0;0), l'origine degli assi cartesiani. se puoi fatti un disegno mano a mano.
bene. ora cominciamo un po' a giocare con gli angoli...si parte a calcolare l'ampiezza degli angoli dal primo quadrante...quindi, facendo un esempio un po' idiota...se la circonferenza goniometrica fosse il quadrante di un orologio e le due lancette le semirette che formano l'angolo, fissiamo una lancetta sulle 3 e l'altra è libera di ruotare in verso antiorario (altrimenti avremmo angoli negativi..tutto si può fare!). chiaro? facciamo qualche esempio...
l'angolo di 0° corrisponderà alle 3.15
l'angolo di 90° alle 3.00
l'angolo di 180° alle 2.45 (tieni presente che la nostra lancetta delle ore è fissa sulle 3 ok?)
mentre per esempio un angolo di -30° corrisponderà alle 3.20 e non sarà altro che il simmetrico (rispetto all'asse x) dell'angolo di 30°.
chiaro fin qui?
andiamo avanti...
sai che gli angoli si possono esprimere anche in radianti vero? per cui l'angolo di 90° in radianti sarà [}:)]/2
l'angolo di 60° sarà [}:)]/3
180°=[}:)]
è chiaro il motivo no? sulla cironferenza goniometrica, essendo il raggio 1, la circonferenza avrà perimetro 2[}:)], ma in termini di angoli una circonferenza è formata da un angolo giro (360°), per cui quando parliamo di angoli in radianti in realtà stiamo parlando dello spazio che l'angolo "spazza" sulla cironferenza goniometrica...per cui un angolo giro (immagina la lancettta dell'orologio che compie tutto il giro del quadrante) avrà "spazzato" una lunghezza (lungo la circonferenza di 2[}:)]...
se l'angolo è 90° (un quarto dell'angolo giro), percorrerà un quarto dell spazio: 1/4*2[}:)]=[}:)]/2
ok?
Risposte
bene...dopo questa infarinatura possiamo cominciare con la trigonometria..
tieni sempre presente la circonferenza goniometrica ok? in particolare la "lancetta dei minuti"...
perfetto...
si definisce seno dell'angolo, l'ordinata del punto P identificato dall'intersezione tra la "lancetta dei minuti" e la circonferenza goniometrica.
si definisce coseno dell'angolo, l'ascissa del punto P identificato dall'intersezione tra la "lancetta dei minuti" e la circonferenza goniometrica.
ok? ci sei?
vediamo qualche esempio..prendo una vecchia gif...tieni presente che la sqrt sta per [|)]
prendiamo ad esempio il 3° caso...un angolo di -45°...è chiaro che la sua ascissa sarà ([|)]2)/2 e l'ordinata in questo caso cambia solo di segno..per cui in questo cos(x)=cos(-45°)=cos(-[}:)]/4)=([|)]2)/2
mentre sen(x)=-([|)]2)/2
tieni sempre presente la circonferenza goniometrica ok? in particolare la "lancetta dei minuti"...
perfetto...
si definisce seno dell'angolo, l'ordinata del punto P identificato dall'intersezione tra la "lancetta dei minuti" e la circonferenza goniometrica.
si definisce coseno dell'angolo, l'ascissa del punto P identificato dall'intersezione tra la "lancetta dei minuti" e la circonferenza goniometrica.
ok? ci sei?
vediamo qualche esempio..prendo una vecchia gif...tieni presente che la sqrt sta per [|)]
prendiamo ad esempio il 3° caso...un angolo di -45°...è chiaro che la sua ascissa sarà ([|)]2)/2 e l'ordinata in questo caso cambia solo di segno..per cui in questo cos(x)=cos(-45°)=cos(-[}:)]/4)=([|)]2)/2
mentre sen(x)=-([|)]2)/2
ok?...bene ora prendiamo in esame quel famoso "K"...
come puoi facilmente capire, fin'ora abbiamo parlato solo di angoli compresi tra 0 e 2[}:)]...(per ora lasciamo perdere i negativi..ma tanto il discorso è lo stesso)..non ti sei posto la domanda: "e per gli angoli superiori?"
beh...anche se forse in geometria non hanno una grande utilità (dove troverai mai un angolo di 361°?) per il resto della matematica è molto importante!
bene..la risposta è semplicissima!..detto volgarmente..."una volta finito il giro, si ricomnicia!!"; ecco dunque che abbiamo una serie infinita di angoli coincidenti e sovrapposti! per cui ad esempio alle "3.15" (però ingegniosa 'st'idea dell'orologio!!) possono essere 0°, oppure 0°+1 giro, o +2 giri...o + K giri!!!
per cui in questo caso alle "3.15" non ci sono solo 0°!! e allora per scriverli tutti diciamo che l'angolo alle "3.15" misura 0+2k[}:)].
ok?
come puoi facilmente capire, fin'ora abbiamo parlato solo di angoli compresi tra 0 e 2[}:)]...(per ora lasciamo perdere i negativi..ma tanto il discorso è lo stesso)..non ti sei posto la domanda: "e per gli angoli superiori?"
beh...anche se forse in geometria non hanno una grande utilità (dove troverai mai un angolo di 361°?) per il resto della matematica è molto importante!
bene..la risposta è semplicissima!..detto volgarmente..."una volta finito il giro, si ricomnicia!!"; ecco dunque che abbiamo una serie infinita di angoli coincidenti e sovrapposti! per cui ad esempio alle "3.15" (però ingegniosa 'st'idea dell'orologio!!) possono essere 0°, oppure 0°+1 giro, o +2 giri...o + K giri!!!
per cui in questo caso alle "3.15" non ci sono solo 0°!! e allora per scriverli tutti diciamo che l'angolo alle "3.15" misura 0+2k[}:)].
ok?
ora veniamo al tuo caso...
cos(x/2)=0
innanzi tutto..semplifichiamoci la vita...poniamo x/2=t
ora abbiamo
cos(t)=0
domanda: per quali angoli il coseno (cioè l'ascissa della "lancetta") è uguale a 0??
solo in due casi vero? cioè a 90° e a 270° (3.00 e 3.30 per capirci...), come scriverlo?
basta notare che per arrivare a 270° partendo da 90° devo compiere mezzo giro...cioè un angolo di [}:)] radianti!
ma allora t=[}:)]/2 +k[}:)] in questo modo grazie a quel k[}:)] non faccio altro che far ruotare in continuazione di mezzo giro alla volta la "lancetta"...è come se si fermasse a scatti nei punti in cui la sua ascissa è zero...chiaro?
ma noi dovevamo trovare x!!
t=x/2
quindi
x=2t= [}:)]+2k[}:)] e questa sarebbe la tua soluzione (la tua è raccolta ma è la stessa)..
nota che la metà dell'angolo va a finire alternativamente una volta sul semipiano positivo e una volta su quello negativo...ti faccio un esempio:
k=0 --> x=[}:)]=180° --> t=90° (il cui seno è 1)
k=1 --> x=3[}:)]=540° --> t=270° (il cui seno è -1)
k=2 --> x=5[}:)]=900° --> t=450° (il cui seno è 1)
...
e cos' via..
tutto chiaro?
ovviamente il K può anche essere negativo!! quindi con questo tipo di scrittura abbiamo compreso anche gli angoli negativi!
da queste poche nozioni derivano le funzioni seno e coseno...avrai sentito parlare di "andamento sinusoidale"!!...bè non è altro che la curva della funzione y=sin(x).
questa funzione cosa fa? associa ad ogni valore di x (l'ampiezza degli angoli) il suo seno (sull'asse y), per cui avrai una specie di onda bisecata dall'asse x, simmetrica rispetto all'origine, che acquisirà come valore max 1 e come min -1 (la circonferenza goniometrica non permette altro!!).
gli zeri della funzione saranno dunque i punti in cui il seno dell'angolo è uguale a 0...quindi la curva intersecherà l'asse x in 0, [}:)], 2[}:)], 3[}:)]...k[}:)].
inoltre si dice che la periodicità della curva è 2[}:)], questo significa che ti basta fare il grafico tra 0 e 2[}:)] che poi si ripete all'infinito allo stesso modo!
prova dunque a costruirti il grafico a mano!
prima ti fai una tabella in cui metti in corrispondenza angoli e seni e poi riporti tutto su un grafico...per il motivo che ti ho spiegato prima basta che tu prenda angoli tra 0 e 2[}:)].
così facendo ti alleni anche a prendere familiarità con questa operazione!
ci sarebbero tante altre cose da dire...ma per ora digerisci queste! [;)]
spero di esserti stato utile
ciao ciao
il vecchio
cos(x/2)=0
innanzi tutto..semplifichiamoci la vita...poniamo x/2=t
ora abbiamo
cos(t)=0
domanda: per quali angoli il coseno (cioè l'ascissa della "lancetta") è uguale a 0??
solo in due casi vero? cioè a 90° e a 270° (3.00 e 3.30 per capirci...), come scriverlo?
basta notare che per arrivare a 270° partendo da 90° devo compiere mezzo giro...cioè un angolo di [}:)] radianti!
ma allora t=[}:)]/2 +k[}:)] in questo modo grazie a quel k[}:)] non faccio altro che far ruotare in continuazione di mezzo giro alla volta la "lancetta"...è come se si fermasse a scatti nei punti in cui la sua ascissa è zero...chiaro?
ma noi dovevamo trovare x!!
t=x/2
quindi
x=2t= [}:)]+2k[}:)] e questa sarebbe la tua soluzione (la tua è raccolta ma è la stessa)..
nota che la metà dell'angolo va a finire alternativamente una volta sul semipiano positivo e una volta su quello negativo...ti faccio un esempio:
k=0 --> x=[}:)]=180° --> t=90° (il cui seno è 1)
k=1 --> x=3[}:)]=540° --> t=270° (il cui seno è -1)
k=2 --> x=5[}:)]=900° --> t=450° (il cui seno è 1)
...
e cos' via..
tutto chiaro?
ovviamente il K può anche essere negativo!! quindi con questo tipo di scrittura abbiamo compreso anche gli angoli negativi!
da queste poche nozioni derivano le funzioni seno e coseno...avrai sentito parlare di "andamento sinusoidale"!!...bè non è altro che la curva della funzione y=sin(x).
questa funzione cosa fa? associa ad ogni valore di x (l'ampiezza degli angoli) il suo seno (sull'asse y), per cui avrai una specie di onda bisecata dall'asse x, simmetrica rispetto all'origine, che acquisirà come valore max 1 e come min -1 (la circonferenza goniometrica non permette altro!!).
gli zeri della funzione saranno dunque i punti in cui il seno dell'angolo è uguale a 0...quindi la curva intersecherà l'asse x in 0, [}:)], 2[}:)], 3[}:)]...k[}:)].
inoltre si dice che la periodicità della curva è 2[}:)], questo significa che ti basta fare il grafico tra 0 e 2[}:)] che poi si ripete all'infinito allo stesso modo!
prova dunque a costruirti il grafico a mano!
prima ti fai una tabella in cui metti in corrispondenza angoli e seni e poi riporti tutto su un grafico...per il motivo che ti ho spiegato prima basta che tu prenda angoli tra 0 e 2[}:)].
così facendo ti alleni anche a prendere familiarità con questa operazione!
ci sarebbero tante altre cose da dire...ma per ora digerisci queste! [;)]
spero di esserti stato utile
ciao ciao
il vecchio
[:D]grazie mille!!!!!!!
[:)]
solo una cosa.... penserei che sono stupida ma cos'è [|)][|)]
[:)]
solo una cosa.... penserei che sono stupida ma cos'è [|)][|)]
Effettivamente non si legge un gran che bene...cmq è la radice quadrata tutto qui...che in informatica si chiama sqrt...hai presente? si usa anche nel turbo pascal..
una cosa...6 per caso di bari???
[:)][:)][:)]
spero di aver risolto veramente i tuoi dubbi...sei riuscita a ricavarti il grafico di y=sen(x) e y=cos(x)? o non hai letto la mia (forse) noiosissima spiegazione??[;)]
se hai bisogno di altro chiedi pure...c'è ancora molto da sapere sulla trigonometria...ma tu a che anno 6??
una cosa...6 per caso di bari???
quote:
...penserei che sono stupida...
[:)][:)][:)]
spero di aver risolto veramente i tuoi dubbi...sei riuscita a ricavarti il grafico di y=sen(x) e y=cos(x)? o non hai letto la mia (forse) noiosissima spiegazione??[;)]
se hai bisogno di altro chiedi pure...c'è ancora molto da sapere sulla trigonometria...ma tu a che anno 6??
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