Trigonometria - Triangolo acutangolo o ottusangolo?
Ho il seguente problema di trigonometria:
Dato un triangolo di angoli α, β e γ, determina tg(γ) sapendo che cos(α) = 12/13 e cos(β) = 4/5. Determina inoltre se il triangolo è acutangolo o ottusangolo.
Soluzioni: - 56 / 33 ; Ottusangolo.
La tangente l'ho trovata in maniera un pò contorta. Visto che \(\displaystyle a + β + γ = 180° \), ho scritto \(\displaystyle tg(a + β + γ) = tg(180°) \), cioè \(\displaystyle tg(a + β + γ) = 0 \).
Ora dalla relazione fondamentale ho ricavato il seno di α e il coseno di β, poi con la formula di addizione della tangente, ho trovato il valore di tg γ. Ho dovuto fare un pò di conti ma mi trovo.
Quello che mi spiazzato è la seconda domanda: stabilire se il triangolo è acutangolo o ottusangolo. Che verifica dovrei fare?
sen (α) = 5 / 13, tg (α) = 5 / 12
sen (β) = 3 / 5, tg (β) = 3 / 4
Teoricamente se la tg γ è negativa, vuol dire che γ è un angolo del secondo quadrante, quindi compreso tra 90° e 180°. Da cui concludo che il triangolo è ottusangolo.
Si ragiona così? Bisogna guardare ai segni di seno, coseno, tangente?
Dato un triangolo di angoli α, β e γ, determina tg(γ) sapendo che cos(α) = 12/13 e cos(β) = 4/5. Determina inoltre se il triangolo è acutangolo o ottusangolo.
Soluzioni: - 56 / 33 ; Ottusangolo.
La tangente l'ho trovata in maniera un pò contorta. Visto che \(\displaystyle a + β + γ = 180° \), ho scritto \(\displaystyle tg(a + β + γ) = tg(180°) \), cioè \(\displaystyle tg(a + β + γ) = 0 \).
Ora dalla relazione fondamentale ho ricavato il seno di α e il coseno di β, poi con la formula di addizione della tangente, ho trovato il valore di tg γ. Ho dovuto fare un pò di conti ma mi trovo.
Quello che mi spiazzato è la seconda domanda: stabilire se il triangolo è acutangolo o ottusangolo. Che verifica dovrei fare?
sen (α) = 5 / 13, tg (α) = 5 / 12
sen (β) = 3 / 5, tg (β) = 3 / 4
Teoricamente se la tg γ è negativa, vuol dire che γ è un angolo del secondo quadrante, quindi compreso tra 90° e 180°. Da cui concludo che il triangolo è ottusangolo.
Si ragiona così? Bisogna guardare ai segni di seno, coseno, tangente?
Risposte
"Dragonlord":
Si ragiona così? Bisogna guardare ai segni di seno, coseno, tangente?
Non so dirtelo se c'è un modo rapido più rapido di questo, sono reduce da una giornata lavorativa e ho qualche dubbio anche su come mi chiamo...
Però ti do lo stesso l'opinione che mi dà la testa.
Per trovare il terzo coseno, avrei usato la relazione
$cos(\alpha+\beta+\gamma)=cos(180°)=-1$
per poi iterare la formula del coseno della somma, cioè
$cos(\alpha+\beta+\gamma)=cos((\alpha+\beta)+\gamma)=...$
in modo che, sostituendo con i valori trovati, alla fine mi sarebbe rimasta un'equazione del tipo
$a \cdot cos(\gamma)= b$
da cui trovare il coseno dell'ultimo angolo.
Se fino a qui funziona - ti chiedo scusa, non è un metodo che ho provato carta e penna, lo ammetto, sono stanco morto e credo ne venga fuori minimo una pagina di calcoli! - il segno del coseno mi dice se l'angolo è acuto o ottuso perché... perché... secondo te perché?
Devi calcolare anche la tangente del terzo angolo, ma per ora non aggiungo altro.
Grazie mille Zero!
Quindi, tu mi consigli di lavorare sul coseno e con la formula di addizione del coseno. Ok, ci sta, anche se diciamo è simile al metodo seguito da me, cambia solo che io lavoro con la tangente. Forse, le formule di addizione del coseno sono più comode, quindi mi piace la via indicata da te. Perchè determinato il coseno, dalla relazione fondamentale troviamo il seno e, facendone il rapporto, la tangente richiesta.
Per la domanda finale che mi facevi... bella domanda... purtroppo non ho la risposta! XD
Quindi... sono i coseni che mi fanno capire se un triangolo è ottusangolo o acutangolo. Anche sui libri non sono riuscito a trovare informazioni utili, sicuramente mi sfugge qualcosa
Quindi, tu mi consigli di lavorare sul coseno e con la formula di addizione del coseno. Ok, ci sta, anche se diciamo è simile al metodo seguito da me, cambia solo che io lavoro con la tangente. Forse, le formule di addizione del coseno sono più comode, quindi mi piace la via indicata da te. Perchè determinato il coseno, dalla relazione fondamentale troviamo il seno e, facendone il rapporto, la tangente richiesta.
Per la domanda finale che mi facevi... bella domanda... purtroppo non ho la risposta! XD
Quindi... sono i coseni che mi fanno capire se un triangolo è ottusangolo o acutangolo. Anche sui libri non sono riuscito a trovare informazioni utili, sicuramente mi sfugge qualcosa
"Dragonlord":
Quindi... sono i coseni che mi fanno capire se un triangolo è ottusangolo o acutangolo. Anche sui libri non sono riuscito a trovare informazioni utili, sicuramente mi sfugge qualcosa
Ho dato qualcosa per scontato nella risposta precedente, ovvero che non ti ho detto del seno degli angoli. Anche usando la formula di somma dei coseni, poi ti compaiono i seni degli angoli che vanno comunque trovati.
Nel caso di un triangolo, però, questo non è un problema - e mi collego a quanto hai detto - poiché dal coseno è facile trovare il segno del seno (e quindi capisci se un angolo è acuto o ottuso) perché la somma degli angoli interni del triangolo è $180°$... e per ora non aggiungo altro.
Diciamo che:
- Se i segni di seno e coseno sono tutti positivi (a patto che possano esserlo), il triangolo è acutangolo, perchè seno e coseno sono positivi nel primo quadrante.
- Se ho valori del coseno negativo, allora vuol dire che l'angolo è ottuso, perchè il coseno è negativo tra 90° e 180°
Stavo pensando... ma nel caso di un triangolo non potrò mai avere un seno negativo, perchè il seno è negativo dopo i 180° e la somma degli angoli interni fa 180°, quindi il seno non mi dà indicazioni per capire se il triangolo è acutangolo o ottusangolo. E' giusto questo ragionamento?
Una tangente negativa anche è sinonimo di triangolo ottusangolo, perchè la tangente è negativa nel secondo quadrante
- Se i segni di seno e coseno sono tutti positivi (a patto che possano esserlo), il triangolo è acutangolo, perchè seno e coseno sono positivi nel primo quadrante.
- Se ho valori del coseno negativo, allora vuol dire che l'angolo è ottuso, perchè il coseno è negativo tra 90° e 180°
Stavo pensando... ma nel caso di un triangolo non potrò mai avere un seno negativo, perchè il seno è negativo dopo i 180° e la somma degli angoli interni fa 180°, quindi il seno non mi dà indicazioni per capire se il triangolo è acutangolo o ottusangolo. E' giusto questo ragionamento?
Una tangente negativa anche è sinonimo di triangolo ottusangolo, perchè la tangente è negativa nel secondo quadrante
Il ragionamento quadra.
"Dragonlord":
perchè il seno è negativo tra 90° e 180°
Penso che intendessi "coseno", ma comunque il ragionamento è questo.
Ho visto anche la conferma di @melia (che saluto!), faccio solo una specifica.
Siccome hai il limite i $180°$ quindi di due quadranti per seno e coseno, non hai il problema che si pone quando applichi la formula
$sin(x)= \pm \sqrt(1-sin^2(x))$
in altre parole non hai il dilemma sul $\pm$ perché sai già che segno ha poiché hai il coseno. Non era così se avessi avuto il seno tra i dati noti proprio perché, invece, nel primo e secondo quadrante il coseno può cambiare segno, quindi se ti dicessi $sin(x)=1/2$ non sapresti a priori se $cos(x)=\sqrt(3)/2$ o $cos(x)=-\sqrt(3)/2$...
Ma qui, come detto, hai i coseni e il fatto che il triangolo non può avere un angolo interno maggiore di $180°$. Come detto si tratta solo di osservazioni in base alle proprietà dei triangoli, non sto citando teoremi specifici sui triangoli o cose di questo tipo.
Ragionamento molto interessante Zero, me ne ricorderò sicuramente per gli altri esercizi di questa tipologia.
Grazie mille ragazzi!^^
Grazie mille ragazzi!^^
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