Trigonometria
Sto provando a calcolare il $sen(5alpha)$ dalle formule di addizione e duplicazione.
In precedenza ho calcolato $sen(3alpha)=3sen(alpha)cos^2(alpha) - 3sen^3(alpha)$
Ecco i miei passaggi:
metto $alpha = 3alpha$ e $beta = 2alpha$
da cui usando la formula di addizione:
$sen(3alpha+2alpha) = sen(3alpha)cos(2alpha) + cos(2alpha)sen(3alpha)$
$sen(5alpha) = (3sen(alpha)cos^2(alpha) + cos(2alpha)sen(3alpha))(cos^2(alpha)-sen^2(alpha)) + (cos^2(alpha) - sen^2(alpha))(3sen(alpha)cos^2(alpha) - 3sen^3(alpha))$
$sen(5alpha) = 3sen(alpha)cos^4(alpha) - 6sen^3(alpha)cos^2(alpha) + 3sen^5(alpha) +3sen(alpha)cos^4(alpha) - 6sen^3(alpha)cos^2(alpha) + 3sen^5(alpha)$
$sen(5alpha) = 6sen^5(alpha) + 6sen(alpha)cos^4(alpha) - 12sen^3(alpha)cos^2(alpha)$
Dove sbaglio????
In precedenza ho calcolato $sen(3alpha)=3sen(alpha)cos^2(alpha) - 3sen^3(alpha)$
Ecco i miei passaggi:
metto $alpha = 3alpha$ e $beta = 2alpha$
da cui usando la formula di addizione:
$sen(3alpha+2alpha) = sen(3alpha)cos(2alpha) + cos(2alpha)sen(3alpha)$
$sen(5alpha) = (3sen(alpha)cos^2(alpha) + cos(2alpha)sen(3alpha))(cos^2(alpha)-sen^2(alpha)) + (cos^2(alpha) - sen^2(alpha))(3sen(alpha)cos^2(alpha) - 3sen^3(alpha))$
$sen(5alpha) = 3sen(alpha)cos^4(alpha) - 6sen^3(alpha)cos^2(alpha) + 3sen^5(alpha) +3sen(alpha)cos^4(alpha) - 6sen^3(alpha)cos^2(alpha) + 3sen^5(alpha)$
$sen(5alpha) = 6sen^5(alpha) + 6sen(alpha)cos^4(alpha) - 12sen^3(alpha)cos^2(alpha)$
Dove sbaglio????
Risposte
"GundamRX91":
$sen(3alpha+2alpha) = sen(3alpha)cos(2alpha) + cos(2alpha)sen(3alpha)$
Dove sbaglio????
qui hai scritto due volte la stessa cosa
Inoltre sbagli in partenza:
$sen 3 alpha=3sen alpha cos^2 alpha-sen^3 alpha$
e ti occorre la formula anche per $cos 3 alpha$
$sen 3 alpha=3sen alpha cos^2 alpha-sen^3 alpha$
e ti occorre la formula anche per $cos 3 alpha$
Ops.... in effetti la formula di addizione e' $sen(3alpha+2alpha) = sen(3alpha)cos(2alpha)+cos(3alpha)sen(2alpha)$
pero' non ho capito perche' il $sen(3alpha)$ e' sbagliato....
pero' non ho capito perche' il $sen(3alpha)$ e' sbagliato....
$sen3x=sen(2x+x)=sen2xcosx+cos2xsenx=2senx(cosx)^2+((cosx)^2-(senx)^2)senx=2senx(cosx)^2+(1-2(senx)^2)senx=2senx(cosx)^2+senx-2(senx)^3=$
$=2senx(1-(senx)^2)+senx-2(senx)^3=2senx-2(senx)^3+senx-2(senx)^3$. Poi sommi e raccogli se vuoi.
[mod="@melia"]ho spezzato la formula in due righe altrimenti la lettura risultava difficile[/mod]
$=2senx(1-(senx)^2)+senx-2(senx)^3=2senx-2(senx)^3+senx-2(senx)^3$. Poi sommi e raccogli se vuoi.
[mod="@melia"]ho spezzato la formula in due righe altrimenti la lettura risultava difficile[/mod]
Vorrei precisare che il $sen(3alpha)$ da me calcolato era il risultato (corretto) di un esercizio richiesto, ecco perche' non capisco l'errore....
Ti levo ogni dubbio. Nel grafico che segue, la funzione rossa è $y=sen3x$ e quella in nero è $y=3senxcos^2x-3sen^3x$.
Come puoi vedere non coincidono e quindi l'esercizio del tuo libro è sbagliato.
Come puoi vedere non coincidono e quindi l'esercizio del tuo libro è sbagliato.
@ GundamRX91: probabilmente hai sbagliato nel ricopiare il risultato, inserendovi un 3 di troppo (il secondo). Prova a guardare sul tuo libro di testo: quasi tutti riportano le formule di triplicazione. Se non ci sono, controlla ponendo $alpha=pi/2$ e vedrai che i conti non tornano.
@ Albert Wesker 27: questo topic deborda dalla schermo perchè nel tuo penultimo intervento hai inserito una formula troppo lunga; ti consiglio di spezzarla in corrispondenza al quarto uguale: chiudi la formula, lasci per sicurezza uno spazio (o vai a capo) e riapri la formula.
@ Albert Wesker 27: questo topic deborda dalla schermo perchè nel tuo penultimo intervento hai inserito una formula troppo lunga; ti consiglio di spezzarla in corrispondenza al quarto uguale: chiudi la formula, lasci per sicurezza uno spazio (o vai a capo) e riapri la formula.
giammaria, sicuramente ho fatto degli errori, pero' l'esercizio richiedeva:
"usando ripetutamente le formule di addizione e di duplicazione, esprimere in funzione di $sin x$ e $cos x$ le funzioni $sin 3x$, $sin 4x$ e $sin 5x$ "
di cui la prima, come soluzione richiesta, e': $sin 3x = 3sin x cos^2 x - sin^3 x$
Ho interpretato male io l'esercizio?
Comunque poi riprovo tutti i passaggi dell'ultimo esercizio
"usando ripetutamente le formule di addizione e di duplicazione, esprimere in funzione di $sin x$ e $cos x$ le funzioni $sin 3x$, $sin 4x$ e $sin 5x$ "
di cui la prima, come soluzione richiesta, e': $sin 3x = 3sin x cos^2 x - sin^3 x$
Ho interpretato male io l'esercizio?
Comunque poi riprovo tutti i passaggi dell'ultimo esercizio
Non hai interpretato male l'esercizio. Solo che tu dici che $sen3x=3senxcos^2x-3sen^3x$ mentre il tuo libro riporta
$sen3x=3senxcos^2x-sen^3x$. Nelle tue formule è comparso un 3 che moltiplica $sen^3x$, lì sta l'errore.
Ps. Chiedo scusa per aver fatto debordare il topic dai suoi naturali confini in precedenza e ringrazio @melia per aver provveduto a correggermi ^^
$sen3x=3senxcos^2x-sen^3x$. Nelle tue formule è comparso un 3 che moltiplica $sen^3x$, lì sta l'errore.
Ps. Chiedo scusa per aver fatto debordare il topic dai suoi naturali confini
in precedenza e ringrazio @melia per aver provveduto a correggermi ^^
Scusate, avete ragione, ho sbagliato a trascrivere la soluzione del mio svolgimento, che era
$sen3x=3senxcos^2x-sen^3x$.
Ora considerando la giusta formula di addizione con $alpha=3alpha$ e $beta=2alpha$ e quindi
$sen5alpha = sen3alpha cos2alpha + cos3alpha sen2alpha$
e dopo aver calcolato
$cos3alpha = cos^3alpha - 3sen^2alphacosalpha$
lo svolgimento e':
$sen5alpha = (3senalpha cos^2alpha - sen^3alpha)(cos^2alpha - sen^2alpha)+$
$ (cos^3alpha - 3sen^2alpha cosalpha)(2senalpha cosalpha) = $
$ 3senalpha cos^4alpha - 3sen^3alpha cos^2alpha - sen^3alpha cos^2alpha+$
$ sen^5alpha + 2senalpha cos^4alpha - 6sen^3alpha cos^2alpha = $
$ 5senalpha cos^4alpha - 10sen^3alpha cos^2alpha + sen^5alpha$
che era la soluzione trovata
$sen3x=3senxcos^2x-sen^3x$.
Ora considerando la giusta formula di addizione con $alpha=3alpha$ e $beta=2alpha$ e quindi
$sen5alpha = sen3alpha cos2alpha + cos3alpha sen2alpha$
e dopo aver calcolato
$cos3alpha = cos^3alpha - 3sen^2alphacosalpha$
lo svolgimento e':
$sen5alpha = (3senalpha cos^2alpha - sen^3alpha)(cos^2alpha - sen^2alpha)+$
$ (cos^3alpha - 3sen^2alpha cosalpha)(2senalpha cosalpha) = $
$ 3senalpha cos^4alpha - 3sen^3alpha cos^2alpha - sen^3alpha cos^2alpha+$
$ sen^5alpha + 2senalpha cos^4alpha - 6sen^3alpha cos^2alpha = $
$ 5senalpha cos^4alpha - 10sen^3alpha cos^2alpha + sen^5alpha$
che era la soluzione trovata
Perfetto
Altro problema di trigonometria che non riesco a capire....
I lati uguali di un triangolo isoscele sono lunghi $a$ e formano un angolo $2\gamma$. L’area del triangolo è ???
La risposta e' $a^2sen\gamma cos\gamma$
Allora, io so che l'area di un triangolo e' data da $A=(b*h)/2$ e che $h$ potrei esprimerlo come il $sen\alpha$ ma avendo l'angolo $\gamma$ e la misura dei lati $a$ non so da dove partire....
I lati uguali di un triangolo isoscele sono lunghi $a$ e formano un angolo $2\gamma$. L’area del triangolo è ???
La risposta e' $a^2sen\gamma cos\gamma$
Allora, io so che l'area di un triangolo e' data da $A=(b*h)/2$ e che $h$ potrei esprimerlo come il $sen\alpha$ ma avendo l'angolo $\gamma$ e la misura dei lati $a$ non so da dove partire....
L'angolo da te indicato ($2\gamma$) è quello formato dai due lati congruenti, vero? Se si, immagina di tracciare l'altezza perpendicolare ad uno dei due lati noti; esso sarà uguale a $a*sen2\gamma$ (poiché l'altro lato fungerà da ipotenusa del triangolo rettangolo che si è venuto a formare). L'area sarà quindi $1/2(a*a*sen2\gamma)=1/2*a^2*2sen\gammacos\gamma=a^2sen\gammacos\gamma$
Ho capito, ma non tutto; vediamo perche' 
Ho un triangolo isoscele, conosco la misura di un lato (cateto maggiore) e l'angolo dei due lati congruenti ($2\gamma$). Se traccio la perpendicolare a partire da quell'angolo ottengo due triangoli rettangoli, e per calcolare l'area di uno dei due devo prima calcolare la lunghezza della base (che chiamo b).
La base, o meglio la meta' della base visto che sto considerando uno dei triangoli rettangoli, e' data da $a*sen\gamma$, mentre l'altro cateto (che e' la perpendicolare disegnata prima) e' dato da $a*cos\gamma$, e la relativa area e' data da $A=(a*cos\gamma * a*sen\gamma) /2$, che diventa:
$A=(a^2sen\gamma cos\gamma)/2$
Per avere l'area del triangolo isoscele basta che moltiplico per 2 e ottengo:
$A=a^2sen\gamma cos\gamma$
che e' la soluzione dell'esercizio.
La cosa che non capito come viene calcolata sono l'espressione di uno dei cateti del triangolo rettangolo in funzione dell'ipotenusa e di un'angolo noto (non ho capito se e' il teorema dei seni....), ed e' per questo che mi trovo un po' in difficolta' per capire bene il tutto.
Ho un triangolo isoscele, conosco la misura di un lato (cateto maggiore) e l'angolo dei due lati congruenti ($2\gamma$). Se traccio la perpendicolare a partire da quell'angolo ottengo due triangoli rettangoli, e per calcolare l'area di uno dei due devo prima calcolare la lunghezza della base (che chiamo b).
La base, o meglio la meta' della base visto che sto considerando uno dei triangoli rettangoli, e' data da $a*sen\gamma$, mentre l'altro cateto (che e' la perpendicolare disegnata prima) e' dato da $a*cos\gamma$, e la relativa area e' data da $A=(a*cos\gamma * a*sen\gamma) /2$, che diventa:
$A=(a^2sen\gamma cos\gamma)/2$
Per avere l'area del triangolo isoscele basta che moltiplico per 2 e ottengo:
$A=a^2sen\gamma cos\gamma$
che e' la soluzione dell'esercizio.
La cosa che non capito come viene calcolata sono l'espressione di uno dei cateti del triangolo rettangolo in funzione dell'ipotenusa e di un'angolo noto (non ho capito se e' il teorema dei seni....), ed e' per questo che mi trovo un po' in difficolta' per capire bene il tutto.
Non è il teorema dei seni, ma molto più banalmente il primo teorema sui triangoli rettangoli:
La misura di un cateto è data dal prodotto tra l'ipotenusa e il seno dell'angolo opposto o il coseno dell'angolo acuto adiacente.
Quindi detta $a$ l'ipotenusa, $b$ e $c$ i due cateti, $alpha$ l'angolo retto, $beta$ l'angolo opposto a $b$, $gamma$ quello opposto a $c$ il teorema si può scrivere in formula
$b=a*sin beta=a*cos gamma$
$c=a*sin gamma=a*cos beta$
La misura di un cateto è data dal prodotto tra l'ipotenusa e il seno dell'angolo opposto o il coseno dell'angolo acuto adiacente.
Quindi detta $a$ l'ipotenusa, $b$ e $c$ i due cateti, $alpha$ l'angolo retto, $beta$ l'angolo opposto a $b$, $gamma$ quello opposto a $c$ il teorema si può scrivere in formula
$b=a*sin beta=a*cos gamma$
$c=a*sin gamma=a*cos beta$
Allora il teorema senza nome che trovavo associato ai triangoli rettangoli e' proprio cosi'.....
Adesso provo a cercarne la dimostrazione (se magari avete anche un link non mi dispiace
) e vi ringrazio per le spiegazioni
Adesso provo a cercarne la dimostrazione (se magari avete anche un link non mi dispiace
) e vi ringrazio per le spiegazioni
E' semplicemente la definizione del coseno e del seno.
ok, grazie ancora
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