Triangolo isoscele con angolo 120°
Non riesco a risolvere questo problema di geometria che immagino sia facile, ma proprio non mi viene
"In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, l'angolo C ha ampiezza 120°. Le mediane AM e BN sono lunghe $3sqrt7$ cm.
Determina il perimetro del triangolo." Risultato $6(2+sqrt3)$ cm.
Allora... Le mediane si dividono in 2 parti di cui l'una è doppia dell'altra, cioè $sqrt7$ cm e $2sqrt7$ cm.
Ma francamente mi pare che questo non serva.
Ho provato a tracciare la terza mediana ottenendo due triangolo rettangoli 30° e 60°, ma anche con questa via non giungo a nulla.
MI chiedevo se ci fosse qualche proprietà delle mediane interne in un triangolo isoscele con angolo di 120° che mi sfugge.
Perchè se così fosse potrei provare anche a impostare qualche grandezza come $x$, ma non saprei quale...
Grazie mille per l'aiuto e scusate il disturbo.
"In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, l'angolo C ha ampiezza 120°. Le mediane AM e BN sono lunghe $3sqrt7$ cm.
Determina il perimetro del triangolo." Risultato $6(2+sqrt3)$ cm.
Allora... Le mediane si dividono in 2 parti di cui l'una è doppia dell'altra, cioè $sqrt7$ cm e $2sqrt7$ cm.
Ma francamente mi pare che questo non serva.
Ho provato a tracciare la terza mediana ottenendo due triangolo rettangoli 30° e 60°, ma anche con questa via non giungo a nulla.
MI chiedevo se ci fosse qualche proprietà delle mediane interne in un triangolo isoscele con angolo di 120° che mi sfugge.
Perchè se così fosse potrei provare anche a impostare qualche grandezza come $x$, ma non saprei quale...
Grazie mille per l'aiuto e scusate il disturbo.
Risposte
Ti dò un suggerimento: sia $x=\bar{CM}=\bar{MB}=\bar{CN}=\bar{NA}$.
Consideriamo il triangolo $CMA$: conosciamo i tre lati (cioè $x, 2x, 3sqrt7$) e un angolo $rarr$ teorema di Carnot (detto anche dei coseni). In questo modo ricaviamo $x=3$.
Riesci a continuare da qui?
Consideriamo il triangolo $CMA$: conosciamo i tre lati (cioè $x, 2x, 3sqrt7$) e un angolo $rarr$ teorema di Carnot (detto anche dei coseni). In questo modo ricaviamo $x=3$.
Riesci a continuare da qui?
Ops... Si, con la trigonometria sono in grado. Basta risolvere l'equazione che ne segue da Carnot.
Ma il problema l'ho trovato sul libro di geometria di 2^ liceo, quando la trigonometria non è ancora stata affrontata.
Quindi mi piacerebbe riuscire a risolverlo senza trigonometria.
Grazie comunque intanto per la risposta!!
Ma il problema l'ho trovato sul libro di geometria di 2^ liceo, quando la trigonometria non è ancora stata affrontata.
Quindi mi piacerebbe riuscire a risolverlo senza trigonometria.
Grazie comunque intanto per la risposta!!
Ok, allora facciamo così: sia $\bar{CH}$ la terza mediana e sia $G$ il punto dove si incontrano le tre mediane, cioè il baricentro. Si nota che il triangolo $CAH$ è metà di un triangolo equilatero, quindi se chiamo $\bar{CH}=h$ posso dire che $\bar{AC}=\bar{BC}=2*h$ e $\bar{AH}=h*sqrt3$.
Ce la fai da qui?
Ce la fai da qui?
Ti dico la mia idea ma l'ho pensata sul momento senza scrivere quindi non ti assicuro nulla. Detta $x=AC=BC$ e $H$ punto medio di $AB$, abbiamo che $CH=x/2$, $HA=HB=x*sqrt(3)/2$ perchè $CHA=CHB$ sono due metà di un triangolo equilatero. Per quello che hai detto tu sulle mediane, se chiamiamo $G$ il loro punto d'incontro, abbiamo che $GH=(CH)/3=x/6$ e $AG=BG=2*sqrt(7)$. Per Pitagora allora $AG^2=AH^2+GH^2$. Funziona?
Ops! minomic mi ha preceduto! 
"marcosocio":
Per Pitagora allora $AG^2=AH^2-GH^2$.
Occhio che ci voleva il $+$ visto che $\bar{AG}$ è l'ipotenusa. Sicuramente un errore di battitura.
A questo punto se riesco ad espriemere la mediana in funzione di h, allora mi ricavo il valore di h e a quel punto conosco tutto del triangolo, compreso il perimetro.
Considero il triangolo AGH e mi accorgo che è rettangolo.
L'ipotenusa misura $2sqrt7$ per le proprietà delle mediane, GH misura h/3 per lo stesso motivo e AH misura $hsqrt3$.
Apprico quindi il teorema di Pitagora e ottengo che h=3.
E' fatta e a quel punto ricavo tutto quel che mi serve.
Era facile. Chissà come ho fatto a non pensarci!
Grazie mille!!!!
Considero il triangolo AGH e mi accorgo che è rettangolo.
L'ipotenusa misura $2sqrt7$ per le proprietà delle mediane, GH misura h/3 per lo stesso motivo e AH misura $hsqrt3$.
Apprico quindi il teorema di Pitagora e ottengo che h=3.
E' fatta e a quel punto ricavo tutto quel che mi serve.
Era facile. Chissà come ho fatto a non pensarci!
Grazie mille!!!!
Le altre risposte le ho viste dopo aver postato la mia.
Grazie mille a tutti!
Grazie mille a tutti!
Ops grazie! Ho pensato $+$ ma ho scritto $-$! 
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