Triangolo e rettangolo
Sia T un triangolo rettangolo. Si determini il rettangolo di area massima contenuto in T e avente un lato parallelo all'ipotenusa di T.
[Non so come impostare il problema.. Grazie]
[Non so come impostare il problema.. Grazie]
Risposte
Disegna il triangolo rettangolo con la base sull'ipotenusa. Indichi con $a$ l'ipotenusa e con $h$ l'altezza relativa all'ipotenusa.
Siano $x$ la base e $b$ l'altezza del rettangolo, con $0<=x<=a$. Per i triangoli simili vale la formula $a : x=h : (h-b)$ da cui ricavi $b=h/a(a-x)$ e quindi l'area $y$del rettangolo vale $y=h/ax(a-x)$ a questo punto per risolvere il problema dipende da che classe fai perchè:
1) se hai già fatto un po' di analitica allora: l'area è una parabola rivolta verso il basso, quindi il massimo è sul vertice, trovi il vertice e sei a posto perché l'ordinata del vertice è l'area massima cercata
2) se hai fatto le derivate non serve neanche che ti spieghi come trovare il massimo di una funzione in un intervallo chiuso e limitato
3) se invece non coosci né l'analisi né la geometria analitica allora scrivi la funzione come se fosse un'equazione di secondo grado, diventa $hx^2-ahx+ay=0$, questa equazione ammette soluzioni solo se $Delta>=0$, quindi $a^2h^2-4ahy>=0$ da cui ricavi $y<=(ah)/4$, ma poiché $y$ è l'area cercata il suo valore massimo è $y=(ah)/4$,
Siano $x$ la base e $b$ l'altezza del rettangolo, con $0<=x<=a$. Per i triangoli simili vale la formula $a : x=h : (h-b)$ da cui ricavi $b=h/a(a-x)$ e quindi l'area $y$del rettangolo vale $y=h/ax(a-x)$ a questo punto per risolvere il problema dipende da che classe fai perchè:
1) se hai già fatto un po' di analitica allora: l'area è una parabola rivolta verso il basso, quindi il massimo è sul vertice, trovi il vertice e sei a posto perché l'ordinata del vertice è l'area massima cercata
2) se hai fatto le derivate non serve neanche che ti spieghi come trovare il massimo di una funzione in un intervallo chiuso e limitato
3) se invece non coosci né l'analisi né la geometria analitica allora scrivi la funzione come se fosse un'equazione di secondo grado, diventa $hx^2-ahx+ay=0$, questa equazione ammette soluzioni solo se $Delta>=0$, quindi $a^2h^2-4ahy>=0$ da cui ricavi $y<=(ah)/4$, ma poiché $y$ è l'area cercata il suo valore massimo è $y=(ah)/4$,
Ho capito il punto 1 e il punto 2, che comunque sono più che sufficienti! Grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo