Triangolo e altezze
siano $a,b,c$ le altezze di un triangolo, e sia $r$ il raggio della circonferenza inscritta.
dimostrare che $1/a+1/b+1/c=1/r$.
mi blocco perchè non riesco a ragionare senza mettere in mezzo i lati, ma alla fine non riesco a levarli dall'equazione...
dimostrare che $1/a+1/b+1/c=1/r$.
mi blocco perchè non riesco a ragionare senza mettere in mezzo i lati, ma alla fine non riesco a levarli dall'equazione...
Risposte
Meglio indicare le altezze relative ai lati a,b,c con $h_a,h_b,h_c$
Detta S l'area del triangolo si ha:
$h_a=(2S)/a,h_b=(2S)/b,h_c=(2S)/c$
Sommando i reciproci risulta:
$1/(h_a)+1/(h_b)+1/(h_c)=(a+b+c)/(2S)=(2p)/(2S)=p/S=1/r$
Ciao
Detta S l'area del triangolo si ha:
$h_a=(2S)/a,h_b=(2S)/b,h_c=(2S)/c$
Sommando i reciproci risulta:
$1/(h_a)+1/(h_b)+1/(h_c)=(a+b+c)/(2S)=(2p)/(2S)=p/S=1/r$
Ciao
perche $p/S=1/r$ ????
scusa l'ignoranza, ma è una proprietà del punto oppure è banale algebra???
scusa l'ignoranza, ma è una proprietà del punto oppure è banale algebra???
Vedila così (indico con $a,b,c$ i lati del triangolo e con $h_a,h_b,h_c$ le relative altezze):
$S = frac{a cdot h_a}{2} = frac{b cdot h_b}{2} = frac{c cdot h_c}{2}$
se sommi i reciproci delle altezze trovi:
$frac{1}{h_a} + frac{1}{h_b} + frac{1}{h_c} = frac{a}{2S} + frac{b}{2S} + frac{c}{2S}$
da cui:
(*) $frac{1}{h_a} + frac{1}{h_b} + frac{1}{h_c} = frac{a+b+c}{2S}$
Ora guardiamo di scrivere l'area del triangolo con il raggio del cerchio inscritto:
$S = frac{a cdot r}{2} + frac{b cdot r}{2} + frac{c cdot r}{2} = frac{a+b+c}{2} cdot r$
da cui, moltiplicando per 2:
(**) $2S = (a+b+c) cdot r$
Mettendo insieme le equazioni (*) e (**) si ottiene:
$frac{1}{h_a} + frac{1}{h_b} + frac{1}{h_c} = frac{a+b+c}{2S} = frac{a+b+c}{(a+b+c) cdot r} = frac{1}{r}$
CVD
Francesco Daddi
$S = frac{a cdot h_a}{2} = frac{b cdot h_b}{2} = frac{c cdot h_c}{2}$
se sommi i reciproci delle altezze trovi:
$frac{1}{h_a} + frac{1}{h_b} + frac{1}{h_c} = frac{a}{2S} + frac{b}{2S} + frac{c}{2S}$
da cui:
(*) $frac{1}{h_a} + frac{1}{h_b} + frac{1}{h_c} = frac{a+b+c}{2S}$
Ora guardiamo di scrivere l'area del triangolo con il raggio del cerchio inscritto:
$S = frac{a cdot r}{2} + frac{b cdot r}{2} + frac{c cdot r}{2} = frac{a+b+c}{2} cdot r$
da cui, moltiplicando per 2:
(**) $2S = (a+b+c) cdot r$
Mettendo insieme le equazioni (*) e (**) si ottiene:
$frac{1}{h_a} + frac{1}{h_b} + frac{1}{h_c} = frac{a+b+c}{2S} = frac{a+b+c}{(a+b+c) cdot r} = frac{1}{r}$
CVD
Francesco Daddi
grazie,bella dimostrazione.
non avevo pensato di ragionare da subito con i reciproci, vabbe
auguri a tutti
non avevo pensato di ragionare da subito con i reciproci, vabbe
auguri a tutti
Bella dimostrazione quella di Franced.Certamente .Si tratta però del calcolo del raggio "inscritto" in un triangolo che dovrebbe essere noto a chi vuole provare a risolvere quesiti di questo genere.
Pertanto direi a fedeb di imparare un certo numero di formule essenziali per non vedersi costretto ogni volta a riscoprire l'$H_2O$ calda !!!
Ciao
Pertanto direi a fedeb di imparare un certo numero di formule essenziali per non vedersi costretto ogni volta a riscoprire l'$H_2O$ calda !!!
Ciao
@manlio
posso chiederti quali sono queste formule necessarie??
la dimostrazione di franced era piu lunga ma impeccabile;nella tua, sebbene allo stesso modo corretta, non ho capito l'ultimo passaggio. Credo che ogni problema sia risolvibile senza conoscere a priori tonnellate di formule.
basta argomentare e ragionare per ottenere una bella dimostrazione, non è necessario sapere formule a memoria.
questo vuole essere un semplice commento a quanto tu hai detto, non una offesa (ci mancherebbe altro).
visto che ne sai piu di me (probabilmente), ti invito a spiegarmi cosa serve sapere per questo tipo di problemi e soprattutto perchè è necessario sapere cio.
grazie
posso chiederti quali sono queste formule necessarie??
la dimostrazione di franced era piu lunga ma impeccabile;nella tua, sebbene allo stesso modo corretta, non ho capito l'ultimo passaggio. Credo che ogni problema sia risolvibile senza conoscere a priori tonnellate di formule.
basta argomentare e ragionare per ottenere una bella dimostrazione, non è necessario sapere formule a memoria.
questo vuole essere un semplice commento a quanto tu hai detto, non una offesa (ci mancherebbe altro).
visto che ne sai piu di me (probabilmente), ti invito a spiegarmi cosa serve sapere per questo tipo di problemi e soprattutto perchè è necessario sapere cio.
grazie
Se tu avessi saputo,come dovresti,la formula $r=S/p$ ( da cui $1/r=p/S$ ) ti saresti risparmiato la dimostrazione di Franced.Non si tratta di imparare tonnellate di formule ma quelle essenziali te le consiglio caldamente.
Altrimenti ,come ti ho detto nel precedente post,sarai ogni volta costretto a reinventarle e a perdere tempo che può essere prezioso in certe occasioni.Per esempio in occasione di concorsi,gare e quant'altro.
Quanto alle formule medesime puoi trovarle dovunque su Internet e non solo quelle di ....geometria.
Ciao
Altrimenti ,come ti ho detto nel precedente post,sarai ogni volta costretto a reinventarle e a perdere tempo che può essere prezioso in certe occasioni.Per esempio in occasione di concorsi,gare e quant'altro.
Quanto alle formule medesime puoi trovarle dovunque su Internet e non solo quelle di ....geometria.
Ciao
quanto dici non fa una piega, ma senza punti di riferimento non so cosa andare a studiare... quindi per me sono tonnellate di formule, perchè ,come gia ho detto, non so quali sono quelle effettivamente da sapere.
quindi se mi consigli di sapere certe cose, saro ben felice di andarmele a studiare; basta pero che mi dici quali cose!!!!
spero di aver chiarito l'intento del mio precedente post
grazie
quindi se mi consigli di sapere certe cose, saro ben felice di andarmele a studiare; basta pero che mi dici quali cose!!!!
spero di aver chiarito l'intento del mio precedente post
grazie
"manlio":
Se tu avessi saputo,come dovresti,la formula $r=S/p$ ( da cui $1/r=p/S$ ) ti saresti risparmiato la dimostrazione di Franced.Non si tratta di imparare tonnellate di formule ma quelle essenziali te le consiglio caldamente.
Altrimenti ,come ti ho detto nel precedente post,sarai ogni volta costretto a reinventarle e a perdere tempo che può essere prezioso in certe occasioni.Per esempio in occasione di concorsi,gare e quant'altro.
Quanto alle formule medesime puoi trovarle dovunque su Internet e non solo quelle di ....geometria.
Ciao
Bè, personalmente faccio a meno di ricordarmi formula come $r=S/p$, preferisco ricavarmele da solo.
Sono fatto così..
Francesco Daddi
Temo che non si sia capito lo spirito della mia risposta a fedeb.Quella formula e la relativa dimostrazione sono note a Franced,a me e a tanti altri amici del Forum.Viceversa io discutevo della utilità di conoscerla ( la formula !!!) preventivamente per non doverla ritrovare in momenti in cui il tempo scorre anche troppo... velocemente.
Che ne sarebbe di quel povero candidato che all'esame di maturità dovesse trovare il massimo volume di un tronco di piramide e si dovesse preliminarmente ricavare la formula di tale volume ???
Oppure di quello che,alle gare di Archimede,dovesse adoperare la retta di Eulero e si dovesse inventare la dimostrazione che tale retta è quella su cui stanno ortocentro,baricentro e circocentro di un qualunque triangolo?
Gli esempi si potrebbero moltiplicare ( aggiungetene qualcuno voi !!!),perciò rinnovo il consiglio a fedeb:
imparare a memoria le formule essenziali non è poi un male .E spesso può portare al risultato giusto..un filino prima degli altri
Ciao
Che ne sarebbe di quel povero candidato che all'esame di maturità dovesse trovare il massimo volume di un tronco di piramide e si dovesse preliminarmente ricavare la formula di tale volume ???
Oppure di quello che,alle gare di Archimede,dovesse adoperare la retta di Eulero e si dovesse inventare la dimostrazione che tale retta è quella su cui stanno ortocentro,baricentro e circocentro di un qualunque triangolo?
Gli esempi si potrebbero moltiplicare ( aggiungetene qualcuno voi !!!),perciò rinnovo il consiglio a fedeb:
imparare a memoria le formule essenziali non è poi un male .E spesso può portare al risultato giusto..un filino prima degli altri
Ciao
bhe anche la disuguaglianze fra le medie, il pigeonhole e i limiti notevoli...
si in effetti mi dovrei fare un piccolo ripasso di argomenti sepolti nella memoria (fatti due anni fa
)
grazie a tutti
si in effetti mi dovrei fare un piccolo ripasso di argomenti sepolti nella memoria (fatti due anni fa
)grazie a tutti
"manlio":
Temo che non si sia capito lo spirito della mia risposta a fedeb.Quella formula e la relativa dimostrazione sono note a Franced,a me e a tanti altri amici del Forum.Viceversa io discutevo della utilità di conoscerla ( la formula !!!) preventivamente per non doverla ritrovare in momenti in cui il tempo scorre anche troppo... velocemente.
Che ne sarebbe di quel povero candidato che all'esame di maturità dovesse trovare il massimo volume di un tronco di piramide e si dovesse preliminarmente ricavare la formula di tale volume ???
Oppure di quello che,alle gare di Archimede,dovesse adoperare la retta di Eulero e si dovesse inventare la dimostrazione che tale retta è quella su cui stanno ortocentro,baricentro e circocentro di un qualunque triangolo?
Gli esempi si potrebbero moltiplicare ( aggiungetene qualcuno voi !!!),perciò rinnovo il consiglio a fedeb:
imparare a memoria le formule essenziali non è poi un male .E spesso può portare al risultato giusto..un filino prima degli altri
Ciao
Ora ho capito.
Quello che volevo dire io è che è bene ricavare nuovamente le formule,
per tenersi in esercizio.
Poi, se uno è in gara, farà ricorso alle sue conoscenze personali.
Francesco Daddi
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