Triangoli rettangoli

[bodo86]

Ciao,

scusate... ho di nuovo un problema (forse l'ultimo...).
é tutto oggi che ci penso... bisognerà usare una formula che non so...
il problema dice:

Consideriamo 2 circonferenze di centri A, A1, e rispettivamente di raggio 9 e 1 tangenti esternamente nel punto O.
Sia r la tangente comune in O ed s una retta tangente ad entrambe le circonferenze rispettivamente nei punti B e B1.
detto C il punto di intersezione delle rette r e s si dimostri che i triangoli ACA1 e BOB1 sono rettangoli e si calcoli il rapporto delle loro aree.

Grazie

Bodo

[bodo86]

nessuno ci riesce ? ? ? ?
Forza Ragazzi!!!!!
Ciao

Bodo

[goblyn]

Forse la formula che non sai è quella della distanza di un punto (x0;y0) da una retta ax+by+c=0:

d= |ax0+by0+c|/sqrt(a^2+b^2)

Fissiamo un sistema di rif con origine coincidente con O e con asse x congiungente i centri delle circonf.

L'equazione della generica retta tangente alle circonf. è:

ax+by+c=0

alla quale aggiungiamo la condizione che disti un raggio dal centro di ciascuna circonf. (cond di tangenza):

|-9a+c|/sqrt(a^2+b^2)=9 distanza di (-9;0) dalla retta
|a+c|/sqrt(a^2+b^2)=1 distanza di (1;0) dalla retta

che risolto dà:

b=+-3/4 a
c=-9/4 a

quindi la retta risulta (eliminando a)

4x+3y-9=0

Ho scelto quella che incontra le circonferenze nel semipiano y>0.

Per trovare B e B1 troviamo le rette passanti per A e A1 e imponiamo che siano perpendicolari a s (il cui coefficiente angolare è -4/3). Imponiamo cioè che abbiano coefficiente angolare pari a 3/4

retta per A:
y=3/4(x+9)

retta per A1:
y=3/4(x-1)

Intersechiamo con s e otteniamo B e B1:

B:

4x+3y-9=0
y=3/4(x+9)

x=-9/5
y=27/5

B1:

4x+3y-9=0
y=3/4(x-1)

x=9/5
y=3/5


B(-9/5;27/5)
B1(9/5;3/5)

C è l'intersezione tra r ed s:

x=0
4x+3y-9=0

C(0;3)

AC=sqrt( (-9-0)^2 + (0-3)^2 ) = 3sqrt(10)
A1C=sqrt( (1-0)^2 + (0-3)^2 ) = sqrt(10)
AA1=10

quindi: AC^2 + A1C^2 = AA1^2 e ACA1 è quindi rettangolo

OB=sqrt( (-9/5)^2 + (27/5)^2 ) = (9/5)sqrt(10)
OB1=sqrt( (9/5)^2 + (3/5)^2 ) = (3/5)sqrt(10)
BB1=sqrt( (-9/5-9/5)^2 + (27/5-3/5)^2 ) = 6

quindi: OB^2 + OB1^2 = BB1^2 e quindi BOB1 è rettangolo

Le aree si calcolano facendo il prodotto dei cateti e dividendo per 2...
Il rapporto risulta:

15/(27/5) = 25/9 = (5/3)^2

e 5/3 infatti è anche il rapporto fra cateti corrispondenti...

[bodo86]

Ciao,

grazie mille goblyn!!!

Io però pensavo di risolverlo senza usare un sistema di riferimento... ecco perche non mi veniva!!

ciao

Bodo

[goblyn]

Si può fare senz'altro anche con la sola geometria (non analitica intendo...). Però a volte è più complicato...