Triangoli rettangoli

[An29]

Potreste cortesemente aiutarmi entro stasera? Grazie :)

Determinare il lato di un quadrato equivalente a un trinagolo isoscele la cui base misura 2 e il cui angolo al vertice ha ampiezza (alfa) sapendo che cos(alfa) = - 3/5.

In un triangolo due lati AB e BC misurano rispettivamente 2a e 3a, e coseno di ABC = - 1/5. Detta H la proiezione di C sulla retta AB, calcolare il perimetro del triangolo AHC.

Aggiunto 23 ore 43 minuti più tardi:

Non riesco a cambiare la data di nascita... e non ho 10 anni, se faccio trigonometria...

Aggiunto 3 ore 38 minuti più tardi:

Ho risolto entrambi i problemi...ma ho difficoltà con un altro...

Nel triangolo ABC siano O il centro della circonferenza inscritta, T il punto di tangenza con AB. Dati OT= 4, AT= 6 e BT= 8, determinare il perimetro del triangolo ABC.

Grazie! :)

Aggiunto 2 giorni più tardi:

Si si, sempre di trigonometria di tratta.

[BIT5]

O_O 10 anni e fai trigonometria????????

Aggiunto 22 ore 47 minuti più tardi:

Dividi il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli di cateto 1.

Grazie alle formule di bisezione trovi il coseno di meta' dell'angolo al vertice.

Grazie a questo valore potrai trovare il seno di quell'angolo (con la relazione fondamentale della trigonometria) considerando che meta' dell'angolo al vertice sara' sempre un angolo < 90 e pertanto avra' seno e coseno positivi.

A questo punto potrai trovare il lato del triangolo isoscele (ipotenusa del triangolo rettangolo) e l'altezza del triangolo (cateto)

Grazie a base e altezza, trovi l'area del triangolo e quindi del quadrato, cosi' da poterne poi ricavare il lato.

dimmi se riesci.

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Devi risolverlo sempre con la trigonometria?

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Dunque: l'esercizio (per come sono riuscito a risolverlo io) e' lungo lungo..

Prima di tutto considera questo:

- OT = 4 implica che il raggio e' 4.
- Il raggio e' sempre perpendicolare alla tangente, pertanto OT e' perpendicolare ad AB;
- da un punto esterno ad una circonferenza, la distanza tra il punto esterno e i punti di tangenza e' la medesima

Pertanto detto P il punto di tangenza di AC alla circonferenza e Q quello di CB, avrai che PA=AT=6 e che BQ=BT=8.

Infine che OP=OQ=OT=4 perche' raggi della circonferenza.

E che i 6 triangoli che vengono a formarsi (ATO,TOB,BOQ,QOC,COP,APO) sono 6 triangoli rettangoli.

Infine considera che l'incentro (ovvero il centro della circonferenza inscritta) e' il punto di incontro delle bisettrici, e pertanto AO, BO e CO sono segmenti che appartengono alle bisettrici e che pertanto dividono gli angoli in due angoli congruenti.

Per finire, i triangoli sono equivalenti a due a due (ATO=POA ecc.ecc.) perche' entrambi rettangoli, con un angolo congruente (ovvero meta' dell'angolo del triangolo) e un lato condiviso (nel caso AO) e un altro lato congruente (TO=PO)

Queste premesse geometriche sono indispensabili per la risoluzione dell'esercizio.

Consideriamo dunque il triangolo ATO, rettangolo in T e di cateti AT=6 e OT=4.

per il teorema di Pitagora

[math] \bar{AO}= \sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}= \sqrt{52}=2 \sqrt{13} [/math]

E sapendo che il seno di un angolo e' il rapporto tra cateto non adiacente e ipotenusa, e il coseno tra cateto adiacente e ipotenusa, avremo che il seno dell'angolo TAO sara'

[math] \sin \(T \hat{A} O \)= \frac{4}{2 \sqrt{13}}= \frac{2 \sqrt{13}}{13} [/math]

e il coseno

[math] \cos \(T \hat{A} O \)= \frac{6}{2 \sqrt{13}}= \frac{3 \sqrt{13}}{13} [/math]

E dunque, ricordando le formule di duplicazione, avremo che il seno dell'angolo BAC sara' (chiamo x l'angolo TAO)

[math] \sin 2x=2 \sin x \cos x= 2 \cdot \frac{2 \sqrt{13}}{13} \frac{3 \sqrt{13}}{13} = \frac{12}{13} [/math]

E il coseno (ricordando la relazione fondamentale della trigonometria)

[math] \cos x= \sqrt{1- \sin^2 x}= \sqrt{1- \frac{12^2}{13^}}= \frac{5}{13} [/math]

Analogamente procediamo per l'angolo TBO (che chiamo y per velocita' di scrittura)

per Pitagora:

[math] \bar{OB}= 4 \sqrt5 [/math]

[math] \sin y = \frac{4}{4 \sqrt5}= \frac{\sqrt5}{5} [/math]

[math] \cos y= \frac{8}{4 \sqrt5}= \frac{2 \sqrt5}{5} [/math]

E dunque seno di 2y

[math] \sin 2y=2 \frac{\sqrt5}{5} \frac{2 \sqrt5}{5}= \frac45 [/math]

e

[math] \cos 2y= \sqrt{1- \sin^2 2y}= \frac35 [/math]

A questo punto sommiamo il seno dei due angoli per sapere il seno dell'angolo supplementare all'angolo in C del triangolo:

[math] \sin (x+y)= \sin x \cos y + \sin y \cos x = \frac{12}{13} \frac35 + \frac{5}{13} \frac45= \frac{56}{65} [/math]

e quindi il coseno della somma degli angoli

[math] \cos (x+y)= \sqrt{1- \sin^2 (x+y)}= \frac{33}{65} [/math]

A questo punto il seno dell'angolo in C sara' il seno di 180 - (A+B) che per gli archi associati e' = al seno di A+B

Quindi Seno dell'angolo in C sara' 56/65.

Il coseno, invece, di 180-(A+B) sara' - cos (A+B)=-33/65.

Ora possiamo ricavare (finalmente) i valori del seno e del coseno dell'angolo POC grazie alle formule di bisezione: con questi valori, visto che conosciamo un cateto del triangolo CPO (il raggio PO) potremo ricavare l'altro cateto (CP) e di conseguenza CQ che per quanto detto all'inizio e' congruente..

[math] \sin ( P \hat{C} O ) = \pm \sqrt{\frac{1- \cos (P \hat{C}Q)}{2} [/math]

Siccome stiamo cercando un angolo meta' dell'angolo di un triangolo (che al massimo sara' vicino a 180 gradi) questa meta' sara' sicuramente meno di 90 e pertanto prenderemo solo il valore di coseno positivo, dal momento che gli angoli compresi tra 0 e 90 hanno coseno (e anche seno) positivo.

[math] \sin (P \hat{C} O )= \sqrt{ \frac{1+ \frac{33}{65}}{2}}= \frac{7 \sqrt{65}}{65} [/math]

e il coseno per la relazione fondamentale della trigonometria sara'

[math] \sqrt{1- \frac{49}{65}}= \frac{4 \sqrt{65}}{65} [/math]

Ora puoi ricavare CO:

[math] \sin (P \hat{C} O)= \frac{\bar{PO}}{\bar{CO}} \to \bar{CO}= \frac{4}{\frac{7 \sqrt{65}}{65}} = \frac{4 \cdot 65}{7 \sqrt{65}}= \frac{4 \sqrt{65}}{7}[/math]

Pertanto PC, cateto adiacente all'angolo PCO, sara' ipotenusa per coseno dell'angolo compreso, ovvero

[math] \bar{PC}= \frac{4 \sqrt{65}}{7} \cdot \frac{4 \sqrt{65}}{65}= \frac{16}{7} [/math]

Ovviamente questo cateto era calcolabile anche con Pitagora..

Ora hai anche PC (e quindi CQ) e puoi calcolare il perimetro..

considera che:

e' l'unico modo che mi e' venuto in mente.. Spero per te che ce ne sia uno piu' veloce;

inoltre ricontrolla tutti i calcoli...

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