Trasformazioni composte
avendo la trasformazione
$T{(x'=x+y-1),(y'=x-y+4):}
l'ultimo punto del problema mi chiede di det. la natura di T
- se può interessare la trasformazione è una similitudine di rapporto $sqrt2$ con punto unito (-2,1) e rette unite
$y=(-1+-sqrt(2))x+(2+-sqrt2)/(+-sqrt2+2)$ -
come risposta ho messo questa, ma la risoluzione del problema dice che è una similitudine ottenuta applicando prima una isometria assiale e poi un'omotetia di rapporto $K=sqrt2$, la domanda è questa: avendo una trasformazione, c'è un metodo per risalire alle trasformazioni che componendosi danno origine alla trasformazione?... altrimenti dare una risposta come quella data dal libro sarebbe impossibile, o sbaglio?...
$T{(x'=x+y-1),(y'=x-y+4):}
l'ultimo punto del problema mi chiede di det. la natura di T
- se può interessare la trasformazione è una similitudine di rapporto $sqrt2$ con punto unito (-2,1) e rette unite
$y=(-1+-sqrt(2))x+(2+-sqrt2)/(+-sqrt2+2)$ -
come risposta ho messo questa, ma la risoluzione del problema dice che è una similitudine ottenuta applicando prima una isometria assiale e poi un'omotetia di rapporto $K=sqrt2$, la domanda è questa: avendo una trasformazione, c'è un metodo per risalire alle trasformazioni che componendosi danno origine alla trasformazione?... altrimenti dare una risposta come quella data dal libro sarebbe impossibile, o sbaglio?...
Risposte
nessuno ha ideuzze 
perchè secondo me, oltre a descrivere che tipo di trasformazione è non posso far altro, mi pare impossibile risalire alle trasformazioni che componendosi danno luogo ad essa... o sbaglio?...
perchè secondo me, oltre a descrivere che tipo di trasformazione è non posso far altro, mi pare impossibile risalire alle trasformazioni che componendosi danno luogo ad essa... o sbaglio?...
Prova a disegnarti un triangolo, ad esempio A(0,0) B(1,0) C(1,1) e trova i trasformati.
Poi cerca di ottenere il nuovo triangolo componendo trasformazioni più semplici.
Ad esempio potresti eseguire prima una rotazione di 45° in senso orario, poi una simmetria rispetto all'asse x, poi l'omotetia con $k=sqrt2$ e infine la traslazione v(-1,4).
E' solo un'idea, magari esiste una via più breve.
Poi cerca di ottenere il nuovo triangolo componendo trasformazioni più semplici.
Ad esempio potresti eseguire prima una rotazione di 45° in senso orario, poi una simmetria rispetto all'asse x, poi l'omotetia con $k=sqrt2$ e infine la traslazione v(-1,4).
E' solo un'idea, magari esiste una via più breve.
praticamnete tu mi consigli di andar per prove, cioè prima trasformo una figura a caso (un triangolo come hai detto te va benissimo 
) e poi vedo quali trasformazioni potrebbero dare il triangolo ottenuto... giusto?...
mmm proverò a vedere
grazie del consiglio...
) e poi vedo quali trasformazioni potrebbero dare il triangolo ottenuto... giusto?...mmm proverò a vedere
grazie del consiglio...
Certo, anche perchè non mi sembra che esista una sola combinazione di trasformazioni che composte mi diano quella finale. Si tratta solo di cercare la combinazione che ne contiene di meno, giusto per ottimizzare. 
grazie... domani mattina provo, grazie dei consigli...
Le equazioni della trasformazione si possono scrivere al seguente modo:
$((x'=sqrt2(1/(sqrt2)x+1/(sqrt2)y)-1),(y'=sqrt2(1/(sqrt2)x-1/(sqrt2)y)+4))$
Ora la matrice $((1/(sqrt2),1/sqrt2),(1/sqrt2,-1/(sqrt2)))$ e' ortogonale
ovvero la somma dei quadrati degli elementi di una linea (riga o colonna)
e' 1 mentre la somma dei prodotti degli elementi corrispondenti di due linee
parallele (righe o colonne) e' 0.E poiche' il determinante della medesima matrice
e' -1 se ne deduce che, a meno di una traslazione, la trasformazione in esame
e' una similitudine inversa di caratteristica $sqrt2$.
Inoltre gli elementi uniti di essa sono il punto P(-2,1) e le rette di equazione:
$y-1=(+-sqrt2-1)(x+2)$
La isometria assiale $Omega$ (detta anche ribaltamento attorno ad una retta),se esiste,
deve necessariamente avere come asse una delle due rette unite ,ad es. la
retta r: $y-1=(sqrt2-1)(x+2)$.Per avere le equazioni di tale ribaltamento si
devono imporre le condizione che ,detti $P'(x',y'),P_1(x_1,y_1)$ due punti
corrispondenti di essa,la retta $P'P_1$ sia perpendicolare ad r e che il punto medio
del segmento $P'P_1$ appartenga ad r.
Fatti i relativi calcoli,si trovano per $Omega$ le equazioni :
$((x'=(x_1+y_1-2sqrt2+1)/(sqrt2)),(y'=(x_1-y_1+3+2sqrt2)/(sqrt2)))$
L'omotetia $omega$ ,di centro (a,b) e caratteristica k,ha equazioni:
$((x_1=kx+a(1-k)),(y_1=ky+b(1-k)))$ e nel caso nostro:
$((x_1=xsqrt2-2(1-sqrt2)),(y_1=ysqrt2+(1-sqrt2)))$
e si verifica facilmente che il prodotto di composizione $omega*Omega$ porta
alla trasformazione in esame secondo lo schema ($(x,y)->(x_1,y_1)->(x',y')$
Naturalmente questa composizione non e' unica :basta ,a tal proposito,osservare che
si puo' scegliere come asse del ribaltamento anche l'altra retta unita $y-1=(-sqrt2-1)(x+2)$
karl
$((x'=sqrt2(1/(sqrt2)x+1/(sqrt2)y)-1),(y'=sqrt2(1/(sqrt2)x-1/(sqrt2)y)+4))$
Ora la matrice $((1/(sqrt2),1/sqrt2),(1/sqrt2,-1/(sqrt2)))$ e' ortogonale
ovvero la somma dei quadrati degli elementi di una linea (riga o colonna)
e' 1 mentre la somma dei prodotti degli elementi corrispondenti di due linee
parallele (righe o colonne) e' 0.E poiche' il determinante della medesima matrice
e' -1 se ne deduce che, a meno di una traslazione, la trasformazione in esame
e' una similitudine inversa di caratteristica $sqrt2$.
Inoltre gli elementi uniti di essa sono il punto P(-2,1) e le rette di equazione:
$y-1=(+-sqrt2-1)(x+2)$
La isometria assiale $Omega$ (detta anche ribaltamento attorno ad una retta),se esiste,
deve necessariamente avere come asse una delle due rette unite ,ad es. la
retta r: $y-1=(sqrt2-1)(x+2)$.Per avere le equazioni di tale ribaltamento si
devono imporre le condizione che ,detti $P'(x',y'),P_1(x_1,y_1)$ due punti
corrispondenti di essa,la retta $P'P_1$ sia perpendicolare ad r e che il punto medio
del segmento $P'P_1$ appartenga ad r.
Fatti i relativi calcoli,si trovano per $Omega$ le equazioni :
$((x'=(x_1+y_1-2sqrt2+1)/(sqrt2)),(y'=(x_1-y_1+3+2sqrt2)/(sqrt2)))$
L'omotetia $omega$ ,di centro (a,b) e caratteristica k,ha equazioni:
$((x_1=kx+a(1-k)),(y_1=ky+b(1-k)))$ e nel caso nostro:
$((x_1=xsqrt2-2(1-sqrt2)),(y_1=ysqrt2+(1-sqrt2)))$
e si verifica facilmente che il prodotto di composizione $omega*Omega$ porta
alla trasformazione in esame secondo lo schema ($(x,y)->(x_1,y_1)->(x',y')$
Naturalmente questa composizione non e' unica :basta ,a tal proposito,osservare che
si puo' scegliere come asse del ribaltamento anche l'altra retta unita $y-1=(-sqrt2-1)(x+2)$
karl
Grande Karl!
Ma io stè cose non me le ricordo così bene, in che esame le abbiamo studiate? Geometria I? Vorrei riprendermele perchè è passata una vita per me da quell'esame... (luglio 1985...... sono passatiiiiiiiiiiiiiiiii 21 anni e mezzo
)
Ma io stè cose non me le ricordo così bene, in che esame le abbiamo studiate? Geometria I? Vorrei riprendermele perchè è passata una vita per me da quell'esame... (luglio 1985...... sono passatiiiiiiiiiiiiiiiii 21 anni e mezzo
)
"karl":
Le equazioni della trasformazione si possono scrivere al seguente modo:
$((x'=sqrt2(1/(sqrt2)x+1/(sqrt2)y)-1),(y'=sqrt2(1/(sqrt2)x-1/(sqrt2)y)+4))$
ma l'hai riscritta così in quanto $sqrt2$ è il rapporto di similitudine ed è per questo che hai deciso di raccogliere per questo numero nella trasformazione?....
Le equazioni di una similitudine inversa sono del tipo:
$((x'=ax+by+c),(y'=bx-ay+c'))$
dove la matrice $((a,b),(b,-a))$ deve essere ortogonale in senso lato,
ovvero deve risultare costante la somma dei quadrati degli elementi
di una qualsiasi linea (riga o colonna) e cioe' $a^2+b^2=k^2$
La costante di similitudine e' allora $k=sqrt(a^2+b^2)$
Ponendo $a=kcosalpha,b=ksinalpha$ si hanno poi le equazioni canoniche
di una similitudine inversa:
$((x'=k(xcosalpha+ysinalpha)+c),(y'=k(xsinalpha-ycosalpha)+c'))$
Discorso analogo per una similitudine diretta.
Nel caso nostro e' $|a|=|b|=1$ e dunque $k^2=2->k=sqrt2$
All'Universita' queste cose si studiano in "Matematiche Complementari",
ovviamente in maniera molto piu' generale che in un liceo.
Ricordo di aver seguito le lezioni (e studiato sulle dispense) della
professoressa Maria Dedo',ordinario di Geometria all'Universita'
di Milano.Una donna alla Maria Gaetana Agnesi, per intenderci.
Aggiungo, tuttavia, che le poche cose che ho riportato si studiano
senza sforzo anche al liceo.
karl
$((x'=ax+by+c),(y'=bx-ay+c'))$
dove la matrice $((a,b),(b,-a))$ deve essere ortogonale in senso lato,
ovvero deve risultare costante la somma dei quadrati degli elementi
di una qualsiasi linea (riga o colonna) e cioe' $a^2+b^2=k^2$
La costante di similitudine e' allora $k=sqrt(a^2+b^2)$
Ponendo $a=kcosalpha,b=ksinalpha$ si hanno poi le equazioni canoniche
di una similitudine inversa:
$((x'=k(xcosalpha+ysinalpha)+c),(y'=k(xsinalpha-ycosalpha)+c'))$
Discorso analogo per una similitudine diretta.
Nel caso nostro e' $|a|=|b|=1$ e dunque $k^2=2->k=sqrt2$
All'Universita' queste cose si studiano in "Matematiche Complementari",
ovviamente in maniera molto piu' generale che in un liceo.
Ricordo di aver seguito le lezioni (e studiato sulle dispense) della
professoressa Maria Dedo',ordinario di Geometria all'Universita'
di Milano.Una donna alla Maria Gaetana Agnesi, per intenderci.
Aggiungo, tuttavia, che le poche cose che ho riportato si studiano
senza sforzo anche al liceo.
karl
"karl":
Ponendo $a=kcosalpha,b=ksinalpha$ si hanno poi le equazioni canoniche
di una similitudine inversa:
$((x'=k(xcosalpha+ysinalpha)+c),(y'=k(xsinalpha-ycosalpha)+c'))$
questa parte qua non la sapevo... per ricavare la trasformazione inversa ricavo semplicemente x e y in funzione di x' e y'.
potresti dirmi da che base hai scritto che $a=kcosalpha,b=ksinalpha$?
e l'angola $alpha$ a cosa si riferisce?...
grazie
"karl":
Aggiungo, tuttavia, che le poche cose che ho riportato si studiano
senza sforzo anche al liceo.
karl
Io non ho fatto il Liceo ma ci ho insegnato per anni e non ho trovato le trasformazioni fatte con le matrici, almeno sui testi che erano in adozione nei Licei dove ho insegnato.
Una similitudine si puo' considerare,sempre a meno di una traslazione,come
il prodotto di una rotazione per una omotetia di caratteristica uguale .
L'angolo $alpha$ rappresenta proprio questa rotazione.
Poiche' e' $a^2+b^2=k^2$, a e b si possono interpretare come i cateti di un triangolo
rettangolo di ipotenusa k e di cui uno dei 2 angoli acuti e' proprio $alpha$ (quello adiacente al cateto a)
e quindi $a=kcosalpha,b=ksinalpha$
Nel nostro caso risulta |a|=|b|=1 e dunque $alpha=(pi)/4=45°$
karl
il prodotto di una rotazione per una omotetia di caratteristica uguale .
L'angolo $alpha$ rappresenta proprio questa rotazione.
Poiche' e' $a^2+b^2=k^2$, a e b si possono interpretare come i cateti di un triangolo
rettangolo di ipotenusa k e di cui uno dei 2 angoli acuti e' proprio $alpha$ (quello adiacente al cateto a)
e quindi $a=kcosalpha,b=ksinalpha$
Nel nostro caso risulta |a|=|b|=1 e dunque $alpha=(pi)/4=45°$
karl
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