Topografia
un terreno di forma triangolare ABC deve dividersi in tre parti proporzionali , rispettivamente ai numeri 3,5,7 con dividenti per perpendicolari al lato BC. Determinare i punti in cui le dividenti incontrano il perimetro .Sono dati AB 115.50m AC 102,70m CAB 60° 24' 00'' .La quota minore si dovra' staccare dalla parte del vertice C e la maggiore della parte del vertice B .
Risposte
Ti consiglio di seguire questo algoritmo:
1. ricorda che
2. tramite la seguente formula, calcola l'area A
del triangolo ABC:
3. grazie al teorema del coseno, calcola la lunghezza della base
BC (che per semplicità ti consiglio di disegnare orizzontale):
4. invertendo la classica formuletta dell'area del triangolo ,
calcola la lunghezza dell'altezza AH:
5. grazie al teorema di Pitagora, calcola la lunghezza
del segmento BH:
6. per differenza, si ha
7. tramite la classica formuletta, calcola l'area
A' del triangolo AHB:
l'area A'' del triangolo AHC:
8. siano
(procedendo da sinistra verso destra) in cui vogliamo
partizionare A(ABC) con rette perpendicolari a BC;
9. date le informazioni del problema, si
ha
sia inoltre definita
10. grazie alla proprietà del comporre, segue:
11. tramite dei semplici rapporti di similitudine, determina le
lunghezze delle basi e delle altezze rispettivamente dei triangoli
rettangoli di area
Nel caso non tornasse qualcosa chiedi pure ;)
1. ricorda che
[math]\small \alpha := 60°\,24'\,00'' = 60°+24\,\left(\frac{1}{60}\right)° + 0\,\left(\frac{1}{60\cdot 60}\right)°\\[/math]
;2. tramite la seguente formula, calcola l'area A
del triangolo ABC:
[math]A=\frac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cdot\sin\alpha\\[/math]
;3. grazie al teorema del coseno, calcola la lunghezza della base
BC (che per semplicità ti consiglio di disegnare orizzontale):
[math]\overline{BC}=\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2-2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cdot\cos\alpha}\\[/math]
;4. invertendo la classica formuletta dell'area del triangolo ,
calcola la lunghezza dell'altezza AH:
[math]\overline{AH}=\frac{2\cdot A}{\overline{BC}}\\[/math]
;5. grazie al teorema di Pitagora, calcola la lunghezza
del segmento BH:
[math]\overline{BH}=\sqrt{\overline{AB}^2-\overline{AH}^2}\\[/math]
;6. per differenza, si ha
[math]\overline{HC}=\overline{BC}-\overline{BH}\\[/math]
;7. tramite la classica formuletta, calcola l'area
A' del triangolo AHB:
[math]A' = \frac{\overline{AH}\cdot\overline{BH}}{2}[/math]
el'area A'' del triangolo AHC:
[math]A'' = \frac{\overline{AH}\cdot\overline{HC}}{2}\\[/math]
;8. siano
[math]A_1,\,A_2,\,A_3[/math]
rispettivamente le tre aree (procedendo da sinistra verso destra) in cui vogliamo
partizionare A(ABC) con rette perpendicolari a BC;
9. date le informazioni del problema, si
ha
[math]A_1:7 = A_2:5=A_3:3[/math]
;sia inoltre definita
[math]B:=7+5+3\\[/math]
;10. grazie alla proprietà del comporre, segue:
[math]\begin{cases} A : B = A_1 : 7 \\ A : B = A_2 : 5 \\ A : B = A_3 : 3 \end{cases} \; ;\\[/math]
11. tramite dei semplici rapporti di similitudine, determina le
lunghezze delle basi e delle altezze rispettivamente dei triangoli
rettangoli di area
[math]A_1[/math]
e [math]A_3[/math]
: [math]\frac{A'}{A_1}=\frac{\overline{BH}^2}{b_1^2}[/math]
, [math]\frac{A'}{A_1}=\frac{\overline{AH}^2}{h_1^2}[/math]
,[math]\frac{A''}{A_3}=\frac{\overline{HC}^2}{b_2^2}[/math]
, [math]\frac{A''}{A_3}=\frac{\overline{AH}^2}{h_2^2}[/math]
.Nel caso non tornasse qualcosa chiedi pure ;)
questi passaggi l avevo gia fatti ma non esce grazie lo stesso un bacio
Stavo guardando anche io e credo ci sia un problema di fondo: nel momento in cui fai la suddivisione, non è mica detto che le figure che vengano fuori siano tutti triangoli, anzi. Il fatto è che, a priori, non sai se i punti sul lato BC si trovino a destra o a sinistra del piede dell'altezza AH, e questo complica le cose. Credo che il ragionamento di TeM sia corretto fino ad un certo punto (ad esempio, sicuramente ti permetterà di trovare il punto sul lato BC più vicino a C) ma poi ho l'impressione che sia necessario procedere con più attenzione, cercando di valutare, prima, dove si trovi il secondo punto, quello che serve a costruire le figure di area
Aggiunto 3 ore 13 minuti più tardi:
Allora il problema in ciò che afferma TeM è che usa la lettera H sia come piede dell'altezza dal vertice A che come punto di suddivisione. Procediamo come segue: usando il teorema dei coseni e quello dei seni, è immediato verificare che
Ora, le richieste del problema implicano che l'area più piccola,
ed avendosi pure
da cui
[math]A_2,\ A_3[/math]
.Aggiunto 3 ore 13 minuti più tardi:
Allora il problema in ciò che afferma TeM è che usa la lettera H sia come piede dell'altezza dal vertice A che come punto di suddivisione. Procediamo come segue: usando il teorema dei coseni e quello dei seni, è immediato verificare che
[math]a=BC\approx 110,32\ m,\quad b=AC\approx 102,7\ m,\quad c=AB\approx 115,5\ m\\ \alpha=CAB=60,4^°,\quad \beta=ABC\approx 54,04,\quad \gamma=ACB\approx 65,56[/math]
Ora, le richieste del problema implicano che l'area più piccola,
[math]A_1[/math]
corrisponderà a quella di un triangolo rettangolo con un vertice in C e, analogamente, quella più grande [math]A_3[/math]
corrisponderà ad un triangolo rettangolo con un vertice in B. Chiamo allora [math]CK=x,\ BM=y[/math]
le basi (adiacenti al lato BC) di questi due triangoli. Essendo in presenza di triangoli rettangoli e conoscendo un cateto e l'angolo adiacente ad esso in entrambi i casi possiamo scrivere per le aree[math]A_1=\frac{1}{2} \cdot x \cdot x \cdot \tan\gamma=\frac{x^2\tan\gamma}{2}\\ A_3=\frac{1}{2}\cdot y\cdot y\cdot \tan\beta=\frac{y^2\tan\beta}{2}[/math]
ed avendosi pure
[math]A=\frac{bc\sin\alpha}{2}[/math]
per l'area del triangolo dato, possiamo ricavare[math]A_1=\frac{3A}{15}\ \Rightarrow\ x^2\tan\gamma=\frac{bc\sin\alpha}{5}\\
A_3=\frac{7A}{15}\ \Rightarrow\ x^2\tan\gamma=\frac{7bc\sin\alpha}{15}[/math]
A_3=\frac{7A}{15}\ \Rightarrow\ x^2\tan\gamma=\frac{7bc\sin\alpha}{15}[/math]
da cui
[math]x=\sqrt{\frac{bc\sin\alpha}{5\tan\gamma}}\approx 30,62\ m[/math]
(distanza da C)[math]y=\sqrt{\frac{bc\sin\alpha}{5\tan\beta}}\approx 59,09\ m[/math]
(distanza da B)
# ciampax :
Stavo guardando anche io e credo ci sia un problema di fondo: nel momento in cui fai la suddivisione, non è mica detto che le figure che vengano fuori siano tutti triangoli, anzi.
Era quello a cui pensavo anch'io inizialmente. Ma poi l'ultima frase del problema mi ha portato a pensare che le due figure alle estremità dovevano essere per forza di cose due triangoli rettangoli.
# ciampax :
Allora il problema in ciò che afferma TeM è che usa la lettera H sia come piede dell'altezza dal vertice A che come punto di suddivisione.
In verità quell'altezza non l'ho utilizzata come dividente. Tra le altre cose l'ho utilizzata per calcolare
le aree A' ed A'' che mi sono servite alla fine per sfruttare le similitudini fra triangoli rettangoli.
I miei conti/risultati sono questi:
Mi pare ci sia concordanza. Spero di essermi spiegato un po' meglio. :)
Ah, ok, avevo letto male io! :)
Benissimo :)
Ora sta a vedere se torna pure a Sara.
Dunque, qualora non ti trovassi con i nostri risultati/procedimenti
forniscici qualche foto o comunque altro materiale su cui "indagare".
Buona serata a tutti ;)
Ora sta a vedere se torna pure a Sara.
Dunque, qualora non ti trovassi con i nostri risultati/procedimenti
forniscici qualche foto o comunque altro materiale su cui "indagare".
Buona serata a tutti ;)
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