Teoria di Galois
Sto preparando per l'esame un lavoro sulle simmetrie e di conseguenza sto parlando della teoria di Galois...
Se non ho capito male, Galois dimostrò che un'equazione di 5° grado non è risolvibile perchè il suo gruppo di Galois non è risolvibile..
Ma comunque è necessario conoscere le soluzioni dell'equazione per poter costruire il gruppo di Galois, giusto?
Quindi, per dirla brutalmente, "l'utilità" dei gruppi di Galois sta solo in questa dimostrazione?
Penso di no.. mi pare troppo riduttivo...
Chi mi chiarisce un poì le idee?
Grazie
Se non ho capito male, Galois dimostrò che un'equazione di 5° grado non è risolvibile perchè il suo gruppo di Galois non è risolvibile..
Ma comunque è necessario conoscere le soluzioni dell'equazione per poter costruire il gruppo di Galois, giusto?
Quindi, per dirla brutalmente, "l'utilità" dei gruppi di Galois sta solo in questa dimostrazione?
Penso di no.. mi pare troppo riduttivo...
Chi mi chiarisce un poì le idee?
Grazie
Risposte
"Marcovaldo14":
Se non ho capito male, Galois dimostrò che un'equazione di 5° grado non è risolvibile perchè il suo gruppo di Galois non è risolvibile..
Non e' esatto. Quello che si dimostra e' che, per $n >= 5$, non esiste una formula risolutiva per le equazioni di grado $n$ analoga a quella delle equazioni di secondo grado (che cioe' permetta di trovare le radici usando solo le 4 operazioni e la estrazione di radici).
Si... errore mio...
Ma comunque è necessario conoscere le soluzioni dell'equazione per costruire il gruppo di Galois?
Ma comunque è necessario conoscere le soluzioni dell'equazione per costruire il gruppo di Galois?
"Marcovaldo14":
Si... errore mio...
Ma comunque è necessario conoscere le soluzioni dell'equazione per costruire il gruppo di Galois?
No. Pero' in generale il calcolo del gruppo di Galois non e' agevole.
Galois ha mostrato che il polinomio GENERALE di grado $ge5$ non è risolubile per radicali.
Il significato di GENERALE si può parafrasare più o meno così: inventati un polinomio a caso,
allora quello è generale!
Fra l'altro non capisco perchè stiamo parlando di queste cose nel forum MEDIE E SUPERIORI!
Infatti la dimostrazione di Galois è un tantino complicata da essere inavvicinabile ad uno studente
anche del secondo anno del corso di laurea in matematica. Bisogna infatti conoscere le seguenti
cose:
1) cosa è un gruppo risolubile?
2) quale è il gruppo di Galois del polinomio generale di grado $n$?
3) perchè un polinomio è risolubile per radicali se e solo se è risolubile il
suo gruppo di Galois?
4) mostrare che il gruppo di Galois del polinomio generale di grado $n$ è
risolubile se e solo se $n\le4$
Una volta fatto 1,2,3 allora la 4 è una banalità. Il problema grosso sostanzialmente è nel punto 3), in
cui serve praticamente tutta la teoria di Galois delle estensioni di campi.
L'utilità della teoria di Galois è nei seguenti fatti
1) risolvere un problema aperto da centinaia di anni (quello della risolubilità per radicali). Ricordo
comunque che il caso $n=5$ era già stato risolto prima di Galois (teorema di Abel-Ruffini)
2) introdurre i concetti di gruppo e di campo, che nella matematica moderna si trovano ovunque e sono
anche utili nelle applicazioni (meccanica quantistica)
3) in generale l'approccio di Galois ha aperto un mondo di studi e di teorie ... non vorrei dire una cavolata,
ma mi pare che il lavoro di Kummer che ha portato alla dimostrazione di alcuni casi del teorema di Fermat
e alla teoria degli ideali parta dalla teoria di Galois (estensioni di Kummer).
Il significato di GENERALE si può parafrasare più o meno così: inventati un polinomio a caso,
allora quello è generale!
Fra l'altro non capisco perchè stiamo parlando di queste cose nel forum MEDIE E SUPERIORI!
Infatti la dimostrazione di Galois è un tantino complicata da essere inavvicinabile ad uno studente
anche del secondo anno del corso di laurea in matematica. Bisogna infatti conoscere le seguenti
cose:
1) cosa è un gruppo risolubile?
2) quale è il gruppo di Galois del polinomio generale di grado $n$?
3) perchè un polinomio è risolubile per radicali se e solo se è risolubile il
suo gruppo di Galois?
4) mostrare che il gruppo di Galois del polinomio generale di grado $n$ è
risolubile se e solo se $n\le4$
Una volta fatto 1,2,3 allora la 4 è una banalità. Il problema grosso sostanzialmente è nel punto 3), in
cui serve praticamente tutta la teoria di Galois delle estensioni di campi.
L'utilità della teoria di Galois è nei seguenti fatti
1) risolvere un problema aperto da centinaia di anni (quello della risolubilità per radicali). Ricordo
comunque che il caso $n=5$ era già stato risolto prima di Galois (teorema di Abel-Ruffini)
2) introdurre i concetti di gruppo e di campo, che nella matematica moderna si trovano ovunque e sono
anche utili nelle applicazioni (meccanica quantistica)
3) in generale l'approccio di Galois ha aperto un mondo di studi e di teorie ... non vorrei dire una cavolata,
ma mi pare che il lavoro di Kummer che ha portato alla dimostrazione di alcuni casi del teorema di Fermat
e alla teoria degli ideali parta dalla teoria di Galois (estensioni di Kummer).
Come ho detto sopra, sto preparando per la tesina un lavoro sulle simmetrie, e dato che il "lingaggio" delle simmetrie è costituito dai gruppi, ho trovato su molti testi riferimenti alla teoria di Galois, e volevo accennare qualcosa...
A questo punto direi che farò un accenno molto generale vista la situazione...
Ora vorrei porvi un'altra domanda, un consiglio su come organizzare la mia tesina.
Avevo intenzione di partire illustrando l'importanza delle simmetrie, partendo dall'importanza in fisica, ma anche in altre discipline dal carattere decisamente più umanistico.
Volevo poi parlare di come possono essere descritte le simmetrie parlando quindi dei gruppi e iniziando appunto su come è nata la teoria dei gruppi.
Come potrei andare avanti? Cosa secondo voi è importante dire dei gruppi e come potrei proseguire?
Grazie
A questo punto direi che farò un accenno molto generale vista la situazione...
Ora vorrei porvi un'altra domanda, un consiglio su come organizzare la mia tesina.
Avevo intenzione di partire illustrando l'importanza delle simmetrie, partendo dall'importanza in fisica, ma anche in altre discipline dal carattere decisamente più umanistico.
Volevo poi parlare di come possono essere descritte le simmetrie parlando quindi dei gruppi e iniziando appunto su come è nata la teoria dei gruppi.
Come potrei andare avanti? Cosa secondo voi è importante dire dei gruppi e come potrei proseguire?
Grazie
scusa la domanda: ma cosa intendi precisamente per "simmetrie"?
Ti sei posto la domanda quando ho accennato alle materie umanistiche, vero? Bhè... nella mia tesina intendevo parlare delle varie concezioni che si hanno di simmetria..
A partire da quello più noto di trasformazione geometrica che lascia la figura invariata, ma anche parlare della simmetria come invarianza in fisica o della simmetria come criterio di equilibrio in un opera d'arte..
Comunque, l'ultimo di questi tre esempi vuole essere solo un accenno.. io vorrei concentrarmi più che altro sui primi due
A partire da quello più noto di trasformazione geometrica che lascia la figura invariata, ma anche parlare della simmetria come invarianza in fisica o della simmetria come criterio di equilibrio in un opera d'arte..
Comunque, l'ultimo di questi tre esempi vuole essere solo un accenno.. io vorrei concentrarmi più che altro sui primi due
So che non è consentito fare up e continuare a mandare messaggi... ma l'esame di maturità è vicino e ogni consiglio è prezioso.
Avete consigli su come organizzare la mia tesina? Grazie
Avete consigli su come organizzare la mia tesina? Grazie
"ubermensch":
Galois ha mostrato che il polinomio GENERALE di grado $ge5$ non è risolubile per radicali.
Il significato di GENERALE si può parafrasare più o meno così: inventati un polinomio a caso,
allora quello è generale!
WHAT???
Il ''polinomio generale'' e' un polinomio i cui coefficienti sono indeterminate... altro che polinomio a caso!
"ubermensch":
Fra l'altro non capisco perchè stiamo parlando di queste cose nel forum MEDIE E SUPERIORI!
Infatti la dimostrazione di Galois è un tantino complicata da essere inavvicinabile ad uno studente
anche del secondo anno del corso di laurea in matematica.
Non esageriamo, la teoria di cui parli (anche nota come teoria elementare di Galois) e' piu' che accessibile ad uno studente del secondo anno... come difficolta' direi che e' un 5/5 e mezzo su 10.
"ubermensch":
3) in generale l'approccio di Galois ha aperto un mondo di studi e di teorie ... non vorrei dire una cavolata,
ma mi pare che il lavoro di Kummer che ha portato alla dimostrazione di alcuni casi del teorema di Fermat
e alla teoria degli ideali parta dalla teoria di Galois (estensioni di Kummer).
E qui sono d'accordo. Ma si puo' dire di piu': i lavori di Galois segnano la nascita dell'algebra.
Def 1.
Sia $E\subsetF$ una estensione di campi e $x_1,..x_n\inF$. Essi sono detti algebricamente indipendenti
su $E$ se non esiste $P\inE[X_1,...X_n]$ tale che $P(x_1,..x_n)=0$.
Def 2.
Un polinomio è detto generale su $RR$ se le sue radici in $CC$ sono algebricamente indipendenti su $QQ$.
Mi è parso perlomeno intuitivo spiegare queste definizioni ad un ragazzo del liceo mediante la frase: prendi
un polinomio a casaccio, quello è generale.
Per quanto riguarda la difficoltà della dimostrazione, concordo che uno studente del secondo anno potrebbe
capirla: potrebbe capirla chiunque con un paio di mesi di studio, anche se ha 13 anni! Mi riferivo comunque
ai programmi attuali di Algebra almeno del mio corso di laurea: il corso di Algebra 2 (secondo semestre del
secondo anno) è un prerequisito al corso di Teoria di Galois (primo semestre del terzo anno).
Infine posso solo che concordare dando un punteggio di 5 su 10 alla difficoltà della Teoria di Galois. Sappiamo
entrambi che ci sono cose estremamente più complicate, ma ciò non significa che essa sia una banalità.
Sia $E\subsetF$ una estensione di campi e $x_1,..x_n\inF$. Essi sono detti algebricamente indipendenti
su $E$ se non esiste $P\inE[X_1,...X_n]$ tale che $P(x_1,..x_n)=0$.
Def 2.
Un polinomio è detto generale su $RR$ se le sue radici in $CC$ sono algebricamente indipendenti su $QQ$.
Mi è parso perlomeno intuitivo spiegare queste definizioni ad un ragazzo del liceo mediante la frase: prendi
un polinomio a casaccio, quello è generale.
Per quanto riguarda la difficoltà della dimostrazione, concordo che uno studente del secondo anno potrebbe
capirla: potrebbe capirla chiunque con un paio di mesi di studio, anche se ha 13 anni! Mi riferivo comunque
ai programmi attuali di Algebra almeno del mio corso di laurea: il corso di Algebra 2 (secondo semestre del
secondo anno) è un prerequisito al corso di Teoria di Galois (primo semestre del terzo anno).
Infine posso solo che concordare dando un punteggio di 5 su 10 alla difficoltà della Teoria di Galois. Sappiamo
entrambi che ci sono cose estremamente più complicate, ma ciò non significa che essa sia una banalità.
Si', ma come dici tu stesso un polinomio generale e', nonostante il nome, un polinomio di un tipo molto speciale...
Comunque e' chiaro che la teoria di Galois, per quanto facile possa essere, e' tutt'altro che banale!
Comunque e' chiaro che la teoria di Galois, per quanto facile possa essere, e' tutt'altro che banale!
stai facendo la mia stessa tesina e io sono giunta alla conclusione di non parlare di galois onde evitare di fare figuracce non capendoci nulla. ho deciso di parlare dell'importanza della simmetria nelle scienze, ad esempio in matematica per la risoluzione semplice e veloce di studi di funzione o di calcoli di aree di trapezoidi delimitate da funzioni simmetriche rispetto ad un asse, in fisica ho deciso di parlare del terzo prinicipio della dinamica, delle simmetrie tra campo magnetico e campo elettrico, equazioni di maxwell (solo un accenno visto che non le ho fatte) e conservazione dell'energia meccanica. scienze naturali cristallografie e simmetrie della galassia. per cui, un consiglio evita i gruppi che rischi che magari di impantanarti come si suol dire...
anche se da alcuni post ho capito qualc di più sulla teoria di galois ma non ho capito da dove salta fuori la simmetria...eh lo so sono dura di comprendonio!
p.s: una funzione periodica si può definire simmetrica? dilemma che mi sta tormentando...la risposta mi pare si, ma non riesco a dare una motivazione rigorosa.
anche se da alcuni post ho capito qualc di più sulla teoria di galois ma non ho capito da dove salta fuori la simmetria...eh lo so sono dura di comprendonio!
p.s: una funzione periodica si può definire simmetrica? dilemma che mi sta tormentando...la risposta mi pare si, ma non riesco a dare una motivazione rigorosa.
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