Teoremi fondamentali sul calcolo differenziale.
Ho cominciato oggi il capitolo inerente a questi argomenti, ma non mi è tanto chiaro l'esercizio seguente....
Dire se la seguente funzione soddisfa l'ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo indicato, e , in caso affermativo, determinare l'ascissa c del punto in cui si annulla la derivata.
$ f(x) ={ ( x^2 ),( 1 ):} $ per $ { ( 0
Io so che una funzione è derivabile quando è anche continua, penso sia giusto, vero
Il fatto è che non sto proprio capendo il senso dell'esercizio, anche se ho la soluzione che mi viene data dal testo che è la seguente:
Soluzione:
La funzione $f(x)$ è derivabile all'interno $[0,1]$ e si ha $f(0) = f(1) =1$. Tuttavia, la funzione non è continua nel punto $x=0$, perchè $f(0)=1$ e $ lim_(x -> 0^+) f(x) = 0 $
Quindi in questo caso il teorema di Rolle non è applicabile.
Ma cosa vuol dire questo esercizio
Cosa bisogna fare per risolverlo
Dire se la seguente funzione soddisfa l'ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo indicato, e , in caso affermativo, determinare l'ascissa c del punto in cui si annulla la derivata.
$ f(x) ={ ( x^2 ),( 1 ):} $ per $ { ( 0
Io so che una funzione è derivabile quando è anche continua, penso sia giusto, vero
Il fatto è che non sto proprio capendo il senso dell'esercizio, anche se ho la soluzione che mi viene data dal testo che è la seguente:
Soluzione:
La funzione $f(x)$ è derivabile all'interno $[0,1]$ e si ha $f(0) = f(1) =1$. Tuttavia, la funzione non è continua nel punto $x=0$, perchè $f(0)=1$ e $ lim_(x -> 0^+) f(x) = 0 $
Quindi in questo caso il teorema di Rolle non è applicabile.
Ma cosa vuol dire questo esercizio
Cosa bisogna fare per risolverlo
Risposte
Una funzione continua può non essere derivabile, basta pensare al valore assoluto. Tuttavia, in \(\mathbb{R}\), una funzione derivabile è continua.
Riguardo all'esercizio la risposta è corretta. Tra l'altro è evidente che la derivata di quella funzione non si annulla tra 0 e 1 dati che nell'intervallo aperto la funzione coincide con \(x^2\).
Riguardo all'esercizio la risposta è corretta. Tra l'altro è evidente che la derivata di quella funzione non si annulla tra 0 e 1 dati che nell'intervallo aperto la funzione coincide con \(x^2\).
Ok, ti ringrazio per la risposta, solo che non mi è ancora tanto chiaro... 
Si potrebbe dire qualcosina in più in merito a tutto ciò che è la soluzione dell'esercizio?
Si potrebbe dire qualcosina in più in merito a tutto ciò che è la soluzione dell'esercizio?
L'esercizio ha il solo scopo di vedere se hai capito le ipotesi del teorema di Rolle. Non comprendo quali sono i tuoi dubbi, sul perché le ipotesi del teorema di Rolle sono necessarie?
"vict85":
L'esercizio ha il solo scopo di vedere se hai capito le ipotesi del teorema di Rolle. Non comprendo quali sono i tuoi dubbi, sul perché le ipotesi del teorema di Rolle sono necessarie?
Ipotizziamo che io non avessi scritto la soluzione che mi ha dato il testo, e avessi solo la traccia scritta in questo modo:
Dire se la seguente funzione soddisfa l'ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo indicato, e , in caso affermativo, determinare l'ascissa c del punto in cui si annulla la derivata.
$ f(x) ={ ( x^2 ),( 1 ):} $ per $ { ( 0
Cosa si potrebbe dire in merito?
Io non ho proprio capito cosa vuole l'esercizio, non so risolverlo, cosa si potrebbe dire
una delle ipotesi del teorema di Rolle dice che la funzione deve assumere lo stesso valore agli estremi dell'intervallo, in questo caso $f(0)=1$ e $f(1)=1$, quindi potresti pensare che l'ipotesi sia soddisfatta, ma attenzione perchè per $x$ che si avvicina a $0$ da destra la funzione punta a $0$ quindi non ha valore $1$ perciò l'ipotesi non è soddisfatta.
"Ev3nt":
...in questo caso $f(0)=1$ e $f(1)=1$,
Ma che calcoli hai fatto per dire che $f(0)=1$ e $f(1)=1$
In $x=0$ la funzione vale $1$, lo hai scritto tu nella definizione della funzione, quindi $f(0)=1$.
Per quando riguarda il punto di ascissa $1$ invece la funzione vale $x^2$ quindi $f(1)=(1)^2=1$.
Per quando riguarda il punto di ascissa $1$ invece la funzione vale $x^2$ quindi $f(1)=(1)^2=1$.
Esercizio 1
Determinare se esistono, le ascisse dei punti che verificano il teorema di Rolle per la seguente funzione, definita nell'intervallo indicato a lato:
$ y = x^2 - 5x +4 $ in $[1,4]$
Avete qualche consiglio in merito agli step risolutivi
Ditemi se è corretto quanto sto per dire.....
La funzione $ y = x^2 - 5x +4 $ in e una funzione continua nell'intervallo $[1,4]$ e quindi è derivabile nell'intervallo $[1,4]$, perciò:
$ y' = 2x - 5 $ e quindi si può dire che $f'(x) = 0$ e quindi si può dire che $f'(c) = 0$.
Per determinare $c$, allora farò:
$0 = 2x - 5$ ma $x=c$ allora $c= 5/2$, che è interno all'intervallo e quindi la verifica è ok!
Cosa ne dite??
Determinare se esistono, le ascisse dei punti che verificano il teorema di Rolle per la seguente funzione, definita nell'intervallo indicato a lato:
$ y = x^2 - 5x +4 $ in $[1,4]$
Avete qualche consiglio in merito agli step risolutivi
Ditemi se è corretto quanto sto per dire.....
La funzione $ y = x^2 - 5x +4 $ in e una funzione continua nell'intervallo $[1,4]$ e quindi è derivabile nell'intervallo $[1,4]$, perciò:
$ y' = 2x - 5 $ e quindi si può dire che $f'(x) = 0$ e quindi si può dire che $f'(c) = 0$.
Per determinare $c$, allora farò:
$0 = 2x - 5$ ma $x=c$ allora $c= 5/2$, che è interno all'intervallo e quindi la verifica è ok!
Cosa ne dite??
Mi pare ok.
Esercizio 2
Alla seguente funzioni $y=f(x)$ viene a mancare, nell'intervallo indicato a fianco, qualche condizione fra quelle necessarie per la validita' del teorema di Rolle. Dopo aver individuato le condizioni mancanti, verificare attraverso lo studio di $f'(x)$ che la tesi del teorema non e soddisfatta.
$y= tgx$ in $[pi/4, 5/4pi]$
L'intervallo e' $alpha = pi/4$ e $ alpha = 5/4pi$, e la condizione che viene a mancare e' nell' $alpha = pi/2$.
Come devo rispondere alla domanda verificare attraverso lo studio.... ?
A me viene di dire che :
$ Dy= Dtgx= 1/(cosx)^2 $
E la tesi non e' soddisfatta perche' per $pi/2$ il coseno si annulla!
HELPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
Alla seguente funzioni $y=f(x)$ viene a mancare, nell'intervallo indicato a fianco, qualche condizione fra quelle necessarie per la validita' del teorema di Rolle. Dopo aver individuato le condizioni mancanti, verificare attraverso lo studio di $f'(x)$ che la tesi del teorema non e soddisfatta.
$y= tgx$ in $[pi/4, 5/4pi]$
L'intervallo e' $alpha = pi/4$ e $ alpha = 5/4pi$, e la condizione che viene a mancare e' nell' $alpha = pi/2$.
Come devo rispondere alla domanda verificare attraverso lo studio.... ?
A me viene di dire che :
$ Dy= Dtgx= 1/(cosx)^2 $
E la tesi non e' soddisfatta perche' per $pi/2$ il coseno si annulla!
HELPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
Esercizio 3
Alla seguente funzioni $y=f(x)$ viene a mancare, nell'intervallo indicato a fianco, qualche condizione fra quelle necessarie per la validita' del teorema di Rolle. Dopo aver individuato le condizioni mancanti, verificare attraverso lo studio di $f'(x)$ che la tesi del teorema non e soddisfatta.
$y = x^2 -4x + 3$ in $[2,4]$
Non mi è tanto chiaro il perchè viene meno la condizione necessaria per la validità del teorema di Rolle.....
Ho pensato di risolverla in questo modo:
$f(2) = 4-8+3 = -1$
$f(4) = 16-16+3 = 3$
Mi chiedo se il motivo per la quale non è possibile applicare il teroema di Rolle, dipenda dal fatto che $ f(2)!= f(4)$
Correggetemi se sbaglio, ma mi sembra di aver compreso che per confermare la tesi, bisognerebbe che si verificasse es, come in questo caso che $ f(2) = f(4)$
Giusto
Alla seguente funzioni $y=f(x)$ viene a mancare, nell'intervallo indicato a fianco, qualche condizione fra quelle necessarie per la validita' del teorema di Rolle. Dopo aver individuato le condizioni mancanti, verificare attraverso lo studio di $f'(x)$ che la tesi del teorema non e soddisfatta.
$y = x^2 -4x + 3$ in $[2,4]$
Non mi è tanto chiaro il perchè viene meno la condizione necessaria per la validità del teorema di Rolle.....
Ho pensato di risolverla in questo modo:
$f(2) = 4-8+3 = -1$
$f(4) = 16-16+3 = 3$
Mi chiedo se il motivo per la quale non è possibile applicare il teroema di Rolle, dipenda dal fatto che $ f(2)!= f(4)$
Correggetemi se sbaglio, ma mi sembra di aver compreso che per confermare la tesi, bisognerebbe che si verificasse es, come in questo caso che $ f(2) = f(4)$
Giusto
Esercizio 2
Non solo perché il coseno si annulla, anche e sopratutto perché $pi/2$ non appartiene al dominio della tangente, quindi la funzione non è continua nell'intervallo considerato.
Esercizio 3
Giusto.
Non solo perché il coseno si annulla, anche e sopratutto perché $pi/2$ non appartiene al dominio della tangente, quindi la funzione non è continua nell'intervallo considerato.
Esercizio 3
Giusto.
Esercizio 4
Alla seguente funzioni $y=f(x)$ viene a mancare, nell'intervallo indicato a fianco, qualche condizione fra quelle necessarie per la validita' del teorema di Rolle. Dopo aver individuato le condizioni mancanti, verificare attraverso lo studio di $f'(x)$ che la tesi del teorema non e soddisfatta.
$ y= { ( tgx ),( 1 ):}=>{ ( per pi/4<=x<=5pi/4 con x!=pi/2 ),( per x=pi/2 ):} $ in $[pi/4,5/4pi]$
Ciò che non conferma la tesi di Rolle in questo caso, è il fatto che la funzione $y = tgx$ per le condizioni date dalla traccia, è derivabile, ok, ma per il caso della funzione $y = 1$, la funzione tangente non sarà verificata perchè si ha una condizione di $x=pi/2$.
Il che non conferma la tesi
Spero di non aver detto cavolate
Alla seguente funzioni $y=f(x)$ viene a mancare, nell'intervallo indicato a fianco, qualche condizione fra quelle necessarie per la validita' del teorema di Rolle. Dopo aver individuato le condizioni mancanti, verificare attraverso lo studio di $f'(x)$ che la tesi del teorema non e soddisfatta.
$ y= { ( tgx ),( 1 ):}=>{ ( per pi/4<=x<=5pi/4 con x!=pi/2 ),( per x=pi/2 ):} $ in $[pi/4,5/4pi]$
Ciò che non conferma la tesi di Rolle in questo caso, è il fatto che la funzione $y = tgx$ per le condizioni date dalla traccia, è derivabile, ok, ma per il caso della funzione $y = 1$, la funzione tangente non sarà verificata perchè si ha una condizione di $x=pi/2$.
Il che non conferma la tesi
Spero di non aver detto cavolate
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