Teorema Di Rolle

[davicos]

Salve a tutti,
circa questo esercizio: $ { ( x^2+3x if<1 ),( -x^3+5 if>=1 ):} $ nell'intervallo $ [0;2] $

Ho risolto così:

Funzione composta da funzioni polinomiali quindi è continua per tutti i reali;

Ho eseguito il rapporto incrementale in $x=1$:

$ f'(1^-)=lim_(x -> 0)(f(1+h)-f(1))/h=5 $

$ f'(1^+)=lim_(x -> 0)(f(1+h)-f(1))/h=3 $

In definitiva la funzione non è derivabile in $x=1$. I calcoli effettuati sono corretti?
Grazie.

[kobeilprofeta]

1) cosa chiede il testo dell'esercizio?
2) per verificare la continuità non ti basta dire che le "due metà" sono continue, devi anche controllare che valga $lim_{x to 1^-} x^2+3x= lim_{x to 1} -x^3+5$

[davicos]

Il testo chiede di verificare il Teorema Di Rolle.

Il dominio delle due funzioni è tutto R quindi in quell'intervallo sicuramente saranno continue no? E comunque facendo il limite che hai scritto tu la continuità è verificata. Corretto?

[kobeilprofeta]

le due "mezze funzioni" sono sempre continue... la funzione che le "aggancia" è continua perchè vale l'uguaglianza di limiti che ho scritto io

ps: a me il secondo limite viene $-3$

[davicos]

Si scusa mi sono perso un paio di segni. Va bene è giusto. Grazie!

[@melia]

Comunque Rolle non è applicabile perché $f(0) != f(2)$

[davicos]

"@melia":Comunque Rolle non è applicabile perché $f(0) != f(2)$

Anche questo, però il libro come soluzione scrive che non è derivabile, altre volte che le funzioni sono differenti. Penso che vada in base ai passi che si adottano per il teorema, cioè prima si verifica la continuità, successivamente la derivabilità e poi se le funzioni sono risultano uguali. Visto che in questo esempo il primo muro è la derivabilità allora come soluzione adotta questa.