Teorema degli zeri razionali di un polinomio
Buonasera a tutti!
Nei miei ritagli di tempo sto facendo degli approfondimenti di Matematica! Vorrei sapere dove posso trovare la dimostrazione del teorema degli zeri razionali di un polinomio.
Vi ringrazio anticipatamente per la risposta.
Nei miei ritagli di tempo sto facendo degli approfondimenti di Matematica! Vorrei sapere dove posso trovare la dimostrazione del teorema degli zeri razionali di un polinomio.
Vi ringrazio anticipatamente per la risposta.
Risposte
Cosa dice questo teorema? (non l'ho mai sentito).
Forse è meglio conosciuto come "Teorema della razionalità delle radici"; comunque ho l'enunciato ed è il seguente:
"Se la frazione ridotta ai minimi termini $N/D$ è uno zero di un polinomio a coefficienti interi, allora $N$ è un divisore intero del termine noto e $D$ è un divisore intero del coefficiente del termine di grado massimo"...
"Se la frazione ridotta ai minimi termini $N/D$ è uno zero di un polinomio a coefficienti interi, allora $N$ è un divisore intero del termine noto e $D$ è un divisore intero del coefficiente del termine di grado massimo"...
Beh, direi che puoi procedere direttamente.
Se $P(x)=a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_1x+a_0$ (con $a_k ne 0$) è un polinomio a coefficienti interi e la frazione $N/D$ con $MCD(N,D)=1$ (cioè ridotta ai minimi termini) ne è una radice allora
$a_k (N^k)/(D^k)+a_{k-1}(N^{k-1})/(D^{k-1})+...+a_1 N/D + a_0=0$
Moltiplicando per $D^k$ ottieni
$a_kN^k+a_{k-1}DN^{k-1}+...+a_1D^{k-1}N+a_0D^k=0$
In particolare:
a) portando $a_0D^k$ a destra osserviamo che $N$ divide $a_0D^k$, e quindi divide $a_0$, non avendo fattori primi comuni con $D$ per ipotesi.
b) portando $a_kN^k$ a destra osserviamo che $D$ divide $a_kN^k$, e quindi divide $a_k$, non avendo fattori primi comuni con $N$ per ipotesi.
Se $P(x)=a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_1x+a_0$ (con $a_k ne 0$) è un polinomio a coefficienti interi e la frazione $N/D$ con $MCD(N,D)=1$ (cioè ridotta ai minimi termini) ne è una radice allora
$a_k (N^k)/(D^k)+a_{k-1}(N^{k-1})/(D^{k-1})+...+a_1 N/D + a_0=0$
Moltiplicando per $D^k$ ottieni
$a_kN^k+a_{k-1}DN^{k-1}+...+a_1D^{k-1}N+a_0D^k=0$
In particolare:
a) portando $a_0D^k$ a destra osserviamo che $N$ divide $a_0D^k$, e quindi divide $a_0$, non avendo fattori primi comuni con $D$ per ipotesi.
b) portando $a_kN^k$ a destra osserviamo che $D$ divide $a_kN^k$, e quindi divide $a_k$, non avendo fattori primi comuni con $N$ per ipotesi.
Ti ringrazio tanto per la dimostrazione! 
Prego 
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