Tangenza ad ellisse
Spero qulacuno possa aiutarmi a risolvere questo problema...
data un'ellisse generica (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 e un punto P di cordinate (X0;Y0) dimostrare che la formula della retta tangente all'ellisse è (X0x/a^2)+(Y0y/b^2)=1
metto a sistema l'ellisse generica e la retta passante per P con m generico y-Y0=m(x-X0)
svolgendo un bel pò di calcoli e ponendo che il discriminante delle ascisse sia uguale a zero (ho isolato le ordinate) arrivo ad avere l'equazione con come incognita m che recita:
m^2(a^2-X0^2)+2mX0Y0+b^2-Y0^2=0
cercando il discriminante di questa equazione mi sono accorto chè è uguale a zero in quanto la somma algebrica del discriminante risolvendo è: -(a^2)(b^2)+(a^2)(Y0^2)+(b^2)(X0^2) che è l'equazione dell'ellisse...portando tutto a primo membro e risolvendo il mcd infatti l'espressione è come il discriminante...quindi ho due soluzioni coincidenti di m: m=(-X0Y0)/(a^2-X0^2)... che dovrei sostituire nella retta generica passante per P quella del sistema...ma b^2 non c'è l'ho più e non so come farlo saltare nella tesi, l'equazione della retta tangente...alla quale non riesco ad arrivare..grazie comunque ciao tommaso
data un'ellisse generica (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 e un punto P di cordinate (X0;Y0) dimostrare che la formula della retta tangente all'ellisse è (X0x/a^2)+(Y0y/b^2)=1
metto a sistema l'ellisse generica e la retta passante per P con m generico y-Y0=m(x-X0)
svolgendo un bel pò di calcoli e ponendo che il discriminante delle ascisse sia uguale a zero (ho isolato le ordinate) arrivo ad avere l'equazione con come incognita m che recita:
m^2(a^2-X0^2)+2mX0Y0+b^2-Y0^2=0
cercando il discriminante di questa equazione mi sono accorto chè è uguale a zero in quanto la somma algebrica del discriminante risolvendo è: -(a^2)(b^2)+(a^2)(Y0^2)+(b^2)(X0^2) che è l'equazione dell'ellisse...portando tutto a primo membro e risolvendo il mcd infatti l'espressione è come il discriminante...quindi ho due soluzioni coincidenti di m: m=(-X0Y0)/(a^2-X0^2)... che dovrei sostituire nella retta generica passante per P quella del sistema...ma b^2 non c'è l'ho più e non so come farlo saltare nella tesi, l'equazione della retta tangente...alla quale non riesco ad arrivare..grazie comunque ciao tommaso
Risposte
emmm...scusa Tommy ma non credo di aver capito bene il testo del problema...il punto P appartiene all'ellisse o è un punto qualunque del piano? poi dalla soluzione che proponi credo di capire che la retta tangente deve passare per il punto P, giusto? ma la domanda che mi pongo è questa: se il punto P non appartiene all'ellisse, allora avrò due punti di tangenza, quindi due rette differenti e quindi di equazioni diverse...
per questo credo che il punto P debba appartenere all'ellisse!
fammi sapere, intanto io penso a quest'ultimo caso...quello in cui P appartiene alla curva...
ciao
il vecchio
per questo credo che il punto P debba appartenere all'ellisse!
fammi sapere, intanto io penso a quest'ultimo caso...quello in cui P appartiene alla curva...
ciao
il vecchio
Scusa mi sono spiegato male, il punto P appartiene all'ellisse..difatti il discriminante del coefficiente angolare della retta tangente è uguale a zero dando due soluzioni coincidenti..
è la dimostrazione analitica di un'equazione importante..so che l'impostazione e il modo di procedere è esatto, ma non riesco a venirne a capo nelle conclusioni..ogni aiuto è davvero gradito
ciao tommy
è la dimostrazione analitica di un'equazione importante..so che l'impostazione e il modo di procedere è esatto, ma non riesco a venirne a capo nelle conclusioni..ogni aiuto è davvero gradito
ciao tommy
Devi aggiungere la condizione che il punto P appartenza all'ellisse:
xo^2/a^2+yo^2/b^2=1
In particolare, da questa condizione ricavi che
a^2-x0^2=a^2y0^2/b^2
Con quest'ultima osservazione dovresti farcela.
Antonio Bernardo
xo^2/a^2+yo^2/b^2=1
In particolare, da questa condizione ricavi che
a^2-x0^2=a^2y0^2/b^2
Con quest'ultima osservazione dovresti farcela.
Antonio Bernardo
Si, mi ero dimenticato di sfruttare questa condizione..
Ora sono riuscito ad arrivare alla soluzione.
grazie a tutti
ciao
Tommaso
Ora sono riuscito ad arrivare alla soluzione.
grazie a tutti
ciao
Tommaso
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