Successione di Caunchy
Ma perche' nella successione di Cauchy compare un $epsilon/2$ 
Cioe' $|a_n -a| < epsilon/2$
Cosa significa??????
Cioe' $|a_n -a| < epsilon/2$
Cosa significa??????
Risposte
Si, cosa significa? Non dirmi di leggere che l'ho imparata a memoria!
\(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq(X,d)\) converge a \(x\iff\forall\bar{\epsilon}>0\,\exists\nu=\nu(\bar{\epsilon}):n>\nu\implies d(x_n,x)<\bar{\epsilon}\). Ok, ora \(\bar{\epsilon}\) è un numero reale strettamente positivo arbitrario.
Vogliamo dimostrare che \(\forall\epsilon>0\,\exists \nu=\nu(\epsilon):\forall n, m>\nu\quad d(x_n,x_m)<\epsilon\):
\[
\forall n,m>\nu\quad d(x_n,x_m)\leq d(x_n-x)+d(x-x_m)=d(x_n-x)+d(x_m-x)<\bar{\epsilon}+\bar{\epsilon}
\]
dove abbiamo sfruttato la disuguaglianza triangolare, la simmetria della distanza, e l'ipotesi di convergenza della \(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\). Siccome \(\bar{\epsilon}\) è arbitrario, sia \(\bar{\epsilon}=\frac{\epsilon}{2}\) (ci fa comodo), quindi:
\[d(x_n,x_m)<2\cdot\bar{\epsilon}=2\cdot\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\]
Meglio studiarle sui libri queste cose che non su wikipedia
Vogliamo dimostrare che \(\forall\epsilon>0\,\exists \nu=\nu(\epsilon):\forall n, m>\nu\quad d(x_n,x_m)<\epsilon\):
\[
\forall n,m>\nu\quad d(x_n,x_m)\leq d(x_n-x)+d(x-x_m)=d(x_n-x)+d(x_m-x)<\bar{\epsilon}+\bar{\epsilon}
\]
dove abbiamo sfruttato la disuguaglianza triangolare, la simmetria della distanza, e l'ipotesi di convergenza della \(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\). Siccome \(\bar{\epsilon}\) è arbitrario, sia \(\bar{\epsilon}=\frac{\epsilon}{2}\) (ci fa comodo), quindi:
\[d(x_n,x_m)<2\cdot\bar{\epsilon}=2\cdot\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\]
Meglio studiarle sui libri queste cose che non su wikipedia
Ok, ma perche' ci fa comodo?
Perché la nostra tesi è che:
\(\forall\epsilon>0\,\exists \nu=\nu(\epsilon):\forall n, m>\nu\quad d(x_n,x_m)<\epsilon\).
\(\forall\epsilon>0\,\exists \nu=\nu(\epsilon):\forall n, m>\nu\quad d(x_n,x_m)<\epsilon\).
"friction":
Perché la nostra tesi è che:
\(\forall\epsilon>0\,\exists \nu=\nu(\epsilon):\forall n, m>\nu\quad d(x_n,x_m)<\epsilon\).
Detto in italiano, cosa significa?
Credo che mi linceranno per questo 
L'idea intuitiva è che da un certo punto in poi (\(\exists\nu=\nu(\epsilon):\forall n,m>\nu\)) la distanza fra due termini della successione diventa piccola a piacere (\(d(x_n,x_m)<\epsilon\) dove \(\epsilon\) è un valore qualunque e il "punto" da cui la condizione sopra si verifica dipende dalla scelta di \(\epsilon\), cioè da quanto vuoi che i due termini siano "vicini").
Perché questo interesse per le successioni di Cauchy, se posso chiedere? Non che non sia interessanti, eh!
L'idea intuitiva è che da un certo punto in poi (\(\exists\nu=\nu(\epsilon):\forall n,m>\nu\)) la distanza fra due termini della successione diventa piccola a piacere (\(d(x_n,x_m)<\epsilon\) dove \(\epsilon\) è un valore qualunque e il "punto" da cui la condizione sopra si verifica dipende dalla scelta di \(\epsilon\), cioè da quanto vuoi che i due termini siano "vicini"). Perché questo interesse per le successioni di Cauchy, se posso chiedere? Non che non sia interessanti, eh!
Sto cerando di imparare bene le serie! Il mio testo dice molte definizioni, vorrei trovare definizioni esposte da altri testi e se hai qualche appunto, sarei molto lieto di vederle!
Io le successioni di Cauchy le ho incontrate studiando le equazioni differenziali e le serie di Fourier e mi pare di averle studiate (si fa per dire) sul Pagani, Salsa, Analisi 2 (studio ingegneria): principalmente entravano in gioco nella dimostrazione del lemma delle contrazioni (per le edo) e nella convergenza della serie di Fourier. Sarò banale, ma hai provato a dare un'occhiata agli appunti del prof. Acquistapace? Comunque non esiste un libro di matematica in cui sia spiegato tutto... i due libri di Terracini, Verzini, Conti, Ferrario sono i più "amichevoli" che conosco, ma alla fine rimangono abbastanza superficiali (sono principalmente per ingegneria). Puoi provare a consultarli in biblioteca.
A mio parere ciò che fa progredire uno studente nello studio della matematica è proprio lo sforzo che fa nel comprendere le nozioni che studia, nel farle proprie, nel colmare col suo pensiero quello che nel libro non c'è scritto o è sottointeso. Un libro "senza buchi", se esistesse, spingerebbe lo studente ad imparare a memoria, ed memorizzando non si comprende, cioè non si impara
A mio parere ciò che fa progredire uno studente nello studio della matematica è proprio lo sforzo che fa nel comprendere le nozioni che studia, nel farle proprie, nel colmare col suo pensiero quello che nel libro non c'è scritto o è sottointeso. Un libro "senza buchi", se esistesse, spingerebbe lo studente ad imparare a memoria, ed memorizzando non si comprende, cioè non si impara
Come faccio a dire che la seguente successione $(2n^2 + 2n+1)/(n+2)$ discende da $(n^2+1)/(n+1)$
Ho provato a fare i seguenti passaggi:
$((2n+1)^2+1)/((2n+1)+1) = (4n^2 + 4n+2)/(2n+2)= (2n^2 + 2n+1)/(n+1)$
Ma da quello che ho ottenuto io, noto che mi manca un $+2$ al denominatore!
Potreste per favore aiutarmi
Ho provato a fare i seguenti passaggi:
$((2n+1)^2+1)/((2n+1)+1) = (4n^2 + 4n+2)/(2n+2)= (2n^2 + 2n+1)/(n+1)$
Ma da quello che ho ottenuto io, noto che mi manca un $+2$ al denominatore!
Potreste per favore aiutarmi
Ma le serie numeriche, cosa sono in termini poveri?
Mi sembra di aver compreso che si trattano come se fossero dei limiti, vero?
Mi sembra di aver compreso che si trattano come se fossero dei limiti, vero?
Ma perche' nella seguente serie ci aggiunge un meno avanti al logaritmo?
"Bad90":
Ma perche' nella seguente serie ci aggiunge un meno avanti al logaritmo?
Perché vuole applicare i teoremi riguardanti le serie a termini positivi. Qui sono negativi e quindi li cambia di segno mettendo in evidenza un meno.
Vediamo un problema simile, supponendo che tu conosca un teorema che permette di calcolare la somma dei numeri positivi da un certo valore ad un certo altro (in realtà questo teorema esiste e non richiede che i numeri sia positivi, ma facciamo finta). Ti viene chiesto di sommare i numeri da -37 a -12 e puoi fare così:
$-37-36-35-....-12=-(37+36+35+...+12)$
ed ora poi applicare quel teorema. Non lo faccio perché questo era solo un esempio del ragionamento fatto nell'esercizio.
Ok, amico mio, adesso ho capito!
Infatti si tratta di avere $log(1-1/n^2)= 0-log(1/n^2)$
Vero???
Infatti si tratta di avere $log(1-1/n^2)= 0-log(1/n^2)$
Vero???
Falso!!! Infatti $log(a-b)!=loga-logb$
Si ha $1-1/n^2<1$ e quindi il suo logaritmo è minore di zero. Se lo cambiamo di segno si ha $-log(1-1/n^2)>0$
Si ha $1-1/n^2<1$ e quindi il suo logaritmo è minore di zero. Se lo cambiamo di segno si ha $-log(1-1/n^2)>0$
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