Studio funzioni
il testo dice di considerare la curva di equazione $ (kx^2-k+1)/(x^2+1) $ , con k appartenete a R e chiede di studiare al variare k in R l'andamento delle curve(dominio,simmetrie,massimi minimi)
per quanto riguarda dominio e simmetrie dovrebbe essere dominio tutto R e funzione pari
per quanto riguarda il terzo punto calcolo la derivata prima y' = $ (4kx-2x)/(x^2+1)^2 $
arrivato qui dovrei studiarla maggiore di zero per trovare minimi e max ma nello studiare 4kx-2x >0 mi sorge un dubbio
devo portare 2x a destra e semplificare ottenendo $ k> 1/2 $ e poi non so come andare avanti perché non avendo una x non posso sostituire per trovare minimi e max
o devo mettere in evidenza ottenendo 2x(2k-1) >0 in questo caso poi dovrei ottenere due opzioni x >0 se k> 1/2 e x<0 se $ k<1/2 $ o almeno credo
in questo caso poi devo sostituire 0 nella equazione della curva ottenendo il punto (o; 1-k) ? (che pero non capisco se è minimo o max)
per quanto riguarda dominio e simmetrie dovrebbe essere dominio tutto R e funzione pari
per quanto riguarda il terzo punto calcolo la derivata prima y' = $ (4kx-2x)/(x^2+1)^2 $
arrivato qui dovrei studiarla maggiore di zero per trovare minimi e max ma nello studiare 4kx-2x >0 mi sorge un dubbio
devo portare 2x a destra e semplificare ottenendo $ k> 1/2 $ e poi non so come andare avanti perché non avendo una x non posso sostituire per trovare minimi e max
o devo mettere in evidenza ottenendo 2x(2k-1) >0 in questo caso poi dovrei ottenere due opzioni x >0 se k> 1/2 e x<0 se $ k<1/2 $ o almeno credo
in questo caso poi devo sostituire 0 nella equazione della curva ottenendo il punto (o; 1-k) ? (che pero non capisco se è minimo o max)
Risposte
ciao anto.tesone1
Allora tutto bene fino alla derivata prima
Io la scriverei raccogliendo ancora
$y'=(2x)/(x^2+1)^2 (2k-1)$
sai che il denominatore è sempre positivo
Ora è importante che capisci che in x=0 la derivata prima si annulla sempre... per ogni k... quindi in $x=0$ hai sempre un punto a tangente orizzontale per qualunque curva della famiglia
per vedere se è un massimo o un minimo o un flesso a tg orizz se vuoi applichi il discorso fatto nell'altro post delle derivate successive... oppure consideri e discuti i 3 casi
$(2k-1)>0$
e
$(2k-1)<0$
e
$(2k-1)=0$
e discuti le due disequazioni e la equazione che ottieni
per esmpio nel primo caso $(2k-1)>0$ cioè $k>1/2$ hai che per $x>0$ la derivata è positiva mentre per $x<0$ la derivata è negativa quindi hai un MINIMO
fai tu il secondo e il terzo caso... tra l'altro il terzo è anche interessante!
La risposta sarà che per k...... le curve presentano un massimo in $x=0$ mentre per k.... presentano un minimo
ok??
ciao!
Allora tutto bene fino alla derivata prima
Io la scriverei raccogliendo ancora
$y'=(2x)/(x^2+1)^2 (2k-1)$
sai che il denominatore è sempre positivo
Ora è importante che capisci che in x=0 la derivata prima si annulla sempre... per ogni k... quindi in $x=0$ hai sempre un punto a tangente orizzontale per qualunque curva della famiglia
per vedere se è un massimo o un minimo o un flesso a tg orizz se vuoi applichi il discorso fatto nell'altro post delle derivate successive... oppure consideri e discuti i 3 casi
$(2k-1)>0$
e
$(2k-1)<0$
e
$(2k-1)=0$
e discuti le due disequazioni e la equazione che ottieni
per esmpio nel primo caso $(2k-1)>0$ cioè $k>1/2$ hai che per $x>0$ la derivata è positiva mentre per $x<0$ la derivata è negativa quindi hai un MINIMO
fai tu il secondo e il terzo caso... tra l'altro il terzo è anche interessante!
La risposta sarà che per k...... le curve presentano un massimo in $x=0$ mentre per k.... presentano un minimo
ok??
ciao!
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