Studio funzione...
Studiare l'equazione di equazione y= 3-x / x+1 .
1) Determinare le intersezioni della curva con la retta y=4x+h
2)Trovare il valore di h per cui la retta è tangente alla curva e determinare le coordinate del punto di contatto A di ordinata positiva.
3)Scrivere l'equazione della parabola del tipo y=ax^2 +bx +c tangente alla curva nel punto A.
4)Calcolare le coordinate dell'ulteriore punto B di intersezione delle due curve.
GRAZIE
1) Determinare le intersezioni della curva con la retta y=4x+h
2)Trovare il valore di h per cui la retta è tangente alla curva e determinare le coordinate del punto di contatto A di ordinata positiva.
3)Scrivere l'equazione della parabola del tipo y=ax^2 +bx +c tangente alla curva nel punto A.
4)Calcolare le coordinate dell'ulteriore punto B di intersezione delle due curve.
GRAZIE
Risposte
Cosa ti serve?
Lo studio di funzione?
Intanto ti aiuto nei 4 punti..
1) I punti di intersezione tra due curve e' la soluzione del sistema delle due equazioni.
E quindi per confronto
Risolviamo dunque l'equazione (h e' un parametro e come tale dev'essere trattato, ovvero come fosse un valore noto)
Eliminiamo il denominatore comune ricordando che
Da cui
Eseguiamo i calcoli del Delta
Pertanto le due soluzioni saranno
e quindi
e quindi
(che numeracci, spero che il testo che mi hai postato sia quello corretto...)
2) Affinche' la retta sia tangente, le coppie
E quindi (usando la ridotta)
E qui mi fermo perche' c'e' qualcosa che non va (il Delta e' negativo, l'equazione non ha soluzioni..). Sei sicura che:
la funzione sia
e che la retta sia
Lo studio di funzione?
Intanto ti aiuto nei 4 punti..
1) I punti di intersezione tra due curve e' la soluzione del sistema delle due equazioni.
[math] \{ y= \frac{3-x}{x+1} \\ y=4x+h [/math]
E quindi per confronto
[math] y=y \to \frac{3-x}{x+1}=4x+h [/math]
Risolviamo dunque l'equazione (h e' un parametro e come tale dev'essere trattato, ovvero come fosse un valore noto)
[math] \frac{3-x}{x+1}= \frac{(4x+h)(x+1)}{x+1} [/math]
Eliminiamo il denominatore comune ricordando che
[math] x+1 \ne 0 \to x \ne -1 [/math]
che altro non e' che la conferma del dominio.[math] 3-x=4x^2+4x+hx+h \to 4x^2+5x+hx+h-3=0 \to 4x^2+(5+h)x+h-3=0 [/math]
Da cui
[math] x_{1,2}= \frac{ -(5+h) \pm \sqrt{(5+h)^2-4 (4)(h-3)}}{8} [/math]
Eseguiamo i calcoli del Delta
[math] \Delta=25+10h+h^2-16h+48=h^2-6h+73 [/math]
Pertanto le due soluzioni saranno
[math] x_1= \frac{-5-h+ \sqrt{h^2-6h+73}}{8} [/math]
e [math] x_2= \frac{-5-h- \sqrt{h^2-6h+73}}{8} [/math]
e quindi
[math] y_1= 4( \frac{-5-h+ \sqrt{h^2-6h+73}}{8})+h= ( \frac{-5-h+ \sqrt{h^2-6h+73}}{2})+ \frac{2h}{2} [/math]
e quindi
[math] y_1= \frac{-5+h+ \sqrt{h^2-6h+73}}{2} [/math]
[math] y_2= \frac{-5+h- \sqrt{h^2-6h+73}}{2} [/math]
(che numeracci, spero che il testo che mi hai postato sia quello corretto...)
2) Affinche' la retta sia tangente, le coppie
[math] x_1,y_1 \ e \ x_2,y_2 [/math]
devono coincidere pertanto il Delta che abbiamo trovato prima dev'essere = 0 (cosi' da avere due soluzioni coincidenti)[math] \Delta=h^2-6h+73=0 [/math]
E quindi (usando la ridotta)
[math] h_{1,2}= 3 \pm \sqrt{9-73} [/math]
E qui mi fermo perche' c'e' qualcosa che non va (il Delta e' negativo, l'equazione non ha soluzioni..). Sei sicura che:
la funzione sia
[math] y= \frac{3-x}{x+1} [/math]
e che la retta sia
[math] y=4x+h [/math]
?
penso che la retta sia
Hai che l'equazione risolvente il sistema è
ha come soluzioni :
Aggiunto 5 minuti più tardi:
Le rette
[math]y=-4x+h[/math]
.Hai che l'equazione risolvente il sistema è
[math]4x^2+(3-h)x+3-h=0[/math]
da cui [math]\Delta=h^2+10h-39[/math]
che eguagliato a [math]0[/math]
(condizione di tangenza) ha come soluzioni :
[math]h_1=-13 \ \ \ \ h_2=3[/math]
Aggiunto 5 minuti più tardi:
Le rette
[math]y=-4x-13[/math]
e [math]y=-4x+3[/math]
sono tangenti alla curva.
Si infatti è y= -4x+h
Beh, ma direi che tra me e aleio ti abbiamo risposto..
Io ho postato i passaggi.
Poi adattali all'esercizio.
Io ho postato i passaggi.
Poi adattali all'esercizio.
manca il punto 3... =(
Dati per giusti (perche' mi fido di aleio) i valori trovati nel suo post, (e guardando il disegno) la retta tangente alla funzione nel punto A (di ordinata positiva) e'
Il punto A sara' dunque il valore assegnato alla soluzione, trovata per h=3, ovvero
E quindi (il punto appartiene alla funzione e alla retta)
Quindi A(0,3)
La parabola e' tangente alla funzione nel punto A: quindi
a) passa per il punto A :
La parabola sara'
Inoltre sara' tangente anche alla retta tangente (si ricordi che due funzioni tangenti condividono la stessa tangente)
Una soluzione sara' dunque
Affinche le soluzioni del sistema (ovvero le ascisse dei 2 punti di intersezione) siano le medesime (ricordiamo che i punti di tangenza sono 2 punti coincidenti) dovremo avere due soluzioni uguali.
Quindi
La parabola sara' dunque una parabola del fascio
Calcoliamo i punti di intersezione con la funzione:
Da qui uguagli le y, minimo comune multiplo e trovi un'equazione di terzo grado:
Da cui facendo i conti
Raccogli
Il punto di tangenza, abbiamo detto, dev'essere in x=0.
Quindi le 3 soluzioni dell'equazione saranno:
Anche la soluzione con il parametro dovra' essere zero..
Quindi
La parabola sara'
4) le due curve si intersecano nella soluzione del sistema
Svolgiamo i calcoli
Probabilmente ho fatto qualche errore, dal momento che la parabola sembra non avere altri punti di intersezione..
[math] y=-4x+3 [/math]
Il punto A sara' dunque il valore assegnato alla soluzione, trovata per h=3, ovvero
[math] x_{1,2}= \frac{-3+3 \pm \sqrt0}{4} = 0 [/math]
E quindi (il punto appartiene alla funzione e alla retta)
[math] y=-4x+3 \to y=3 [/math]
Quindi A(0,3)
La parabola e' tangente alla funzione nel punto A: quindi
a) passa per il punto A :
[math] 3=c [/math]
La parabola sara'
[math] y=ax^2+bx+3 [/math]
Inoltre sara' tangente anche alla retta tangente (si ricordi che due funzioni tangenti condividono la stessa tangente)
[math] y=-4x+3 \\ y=ax^2+bx+3 [/math]
[math] -4x+3=ax^2+bx+3 \to -4x=ax^2+bx \to x(ax+b+4)=0 [/math]
Una soluzione sara' dunque
[math] x= \frac{-b-4}{a} [/math]
mentre l'altra sara' x=0.Affinche le soluzioni del sistema (ovvero le ascisse dei 2 punti di intersezione) siano le medesime (ricordiamo che i punti di tangenza sono 2 punti coincidenti) dovremo avere due soluzioni uguali.
Quindi
[math] \frac{-b-4}{a}=0 \to b=-4 [/math]
La parabola sara' dunque una parabola del fascio
[math] y=ax^2-4x+3 [/math]
Calcoliamo i punti di intersezione con la funzione:
[math] y= \frac{3-x}{x+1} \\ y=ax^2-4x+3 [/math]
Da qui uguagli le y, minimo comune multiplo e trovi un'equazione di terzo grado:
[math] ax^3-4x^2+3x+ax^2-4x+3=3-x [/math]
Da cui facendo i conti
[math] ax^3-4x^2+ax^2=0 [/math]
Raccogli
[math] x^2(ax-4+a)=0 [/math]
Il punto di tangenza, abbiamo detto, dev'essere in x=0.
Quindi le 3 soluzioni dell'equazione saranno:
[math] x^2=0 \to x=0 [/math]
e lo sapevamo[math] ax-4+a=0 \to x= \frac{4-a}{a} [/math]
Anche la soluzione con il parametro dovra' essere zero..
Quindi
[math] \frac{4-a}{a}=0 \to a=4 [/math]
La parabola sara'
[math] y=4x^2-4x+3 [/math]
4) le due curve si intersecano nella soluzione del sistema
[math] \frac{3-x}{x+1} \\ y=4x^2-4x+3 [/math]
Svolgiamo i calcoli
[math] (4x^2-4x+3)(x+1)=3-x \to 4x^3+4x^2-4x^2-4x+3x+3=3-x \to x^3=0 [/math]
Probabilmente ho fatto qualche errore, dal momento che la parabola sembra non avere altri punti di intersezione..
grazie...controllo io
Aggiunto 1 giorni più tardi:
Per togliere dubbi...I vostri procedimenti sono esatti...Bit5 non ti trovi perchè il prof dettando l'esercizio ha mancato un pezzo... -.- e cioè che la parabola ha il vertice sull'asse x. Quindi il tutto diventava molto più facile. Cmq grazie mille..! =) alla prossima
Aggiunto 1 giorni più tardi:
Per togliere dubbi...I vostri procedimenti sono esatti...Bit5 non ti trovi perchè il prof dettando l'esercizio ha mancato un pezzo... -.- e cioè che la parabola ha il vertice sull'asse x. Quindi il tutto diventava molto più facile. Cmq grazie mille..! =) alla prossima
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