Studio funzione
Buona sera,
Ho per le mani questa funzione di cui mi viene chiesto di definire solo dominio,pari/dispari,intersezioni e segno.
La funzione è
$ y= sqrt(2x-1) + sqrt(4-x) $
Dunque :
Dominio 2x - 1 >= 0 -> x>=1/2
4 - x >= 0 -> x<=4
Quindi 1/2 <= x <= 4
Simmetrie: dato il dominio asimmetrico,deduco che la nostra funzione non sia ne carne ne pesce e quindi passo alle intersezioni con gli assi.
posto x=0 mi risulta non accettabile causa dominio
posto y=0 mi risulta $ 0 = sqrt(2x-1) + sqrt(4-x) $ da cui ottengo $ sqrt(2x-1) =- sqrt(4-x) $ e elevando tutto al quadrato $ (2x-1) = (4-x) $ per cui 3x=5 e quindi x=5/3
Segno (Ahia):
$ sqrt(2x-1) + sqrt(4-x) > 0 $
Posso ripetere lo stesso principio di prima delle intersezioni e dire che la funzione risulta essere positiva se $ sqrt(2x-1) + sqrt(4-x)>0 $ per cui $ sqrt(2x-1) > - sqrt(4-x) $ ,elevando al quadrato $ (2x-1) > (4-x) $ e quindi 3x>5 per cui x>5/3 ?
Mi manda in palla!
Ho per le mani questa funzione di cui mi viene chiesto di definire solo dominio,pari/dispari,intersezioni e segno.
La funzione è
$ y= sqrt(2x-1) + sqrt(4-x) $
Dunque :
Dominio 2x - 1 >= 0 -> x>=1/2
4 - x >= 0 -> x<=4
Quindi 1/2 <= x <= 4
Simmetrie: dato il dominio asimmetrico,deduco che la nostra funzione non sia ne carne ne pesce e quindi passo alle intersezioni con gli assi.
posto x=0 mi risulta non accettabile causa dominio
posto y=0 mi risulta $ 0 = sqrt(2x-1) + sqrt(4-x) $ da cui ottengo $ sqrt(2x-1) =- sqrt(4-x) $ e elevando tutto al quadrato $ (2x-1) = (4-x) $ per cui 3x=5 e quindi x=5/3
Segno (Ahia):
$ sqrt(2x-1) + sqrt(4-x) > 0 $
Posso ripetere lo stesso principio di prima delle intersezioni e dire che la funzione risulta essere positiva se $ sqrt(2x-1) + sqrt(4-x)>0 $ per cui $ sqrt(2x-1) > - sqrt(4-x) $ ,elevando al quadrato $ (2x-1) > (4-x) $ e quindi 3x>5 per cui x>5/3 ?
Mi manda in palla!
Risposte
"Jack_73":
... per cui 3x=5 e quindi x=5/3 ...
Per cui secondo te $sqrt(7/3)+sqrt(7/3)=0$ ... mi sa che devi ripassare le equazioni irrazionali ...
Un'equazione ed una seconda trovata elevando al quadrato ambo i membri dell'uguaglianza non sono sempre equivalenti. Le soluzioni della prima soddisfano sicuramente la seconda, ma non vale il contrario: possono esistere soluzioni della seconda che rendono i due membri dell'uguaglianza iniziale opposti.
Quella funzione non ha intersezioni con gli assi: una somma di radici quadrate vale zero solo quando si annullano tutte le radici, altrimenti è sicuramente positiva.
Ciao
Quella funzione non ha intersezioni con gli assi: una somma di radici quadrate vale zero solo quando si annullano tutte le radici, altrimenti è sicuramente positiva.
Ciao
scusate,ma non vi ho capito.Potreste essere più chiari?
Avrei dovuto dunque elevare al quadrato l'equazione $ sqrt(2x-1) + sqrt (4-x) = 0 $ ottenendo una irrazionale come $ 2x-1 + 4-x + 2 sqrt ((2x-1)(4-x)) =0 $ e poi studiarla come irrazionale ?
Avrei dovuto dunque elevare al quadrato l'equazione $ sqrt(2x-1) + sqrt (4-x) = 0 $ ottenendo una irrazionale come $ 2x-1 + 4-x + 2 sqrt ((2x-1)(4-x)) =0 $ e poi studiarla come irrazionale ?
Non peggioriamo le cose.
Avresti potuto osservare che la funzione, in quanto somma di due quantità mai negative e che non si azzerano per lo stesso valore dell'incognita è, nel campo di esistenza, sempre positiva. Con questo avresti risolto anche lo studio del segno.
Non rilevando ciò, va bene quello che hai fatto, ma dovevi ricordarti che, avendo elevato al quadrato, la soluzione trovata deve essere verificata prima del passaggio in questione e, visto che non funziona, eliminarla perché non accettabile.
Ciao
Avresti potuto osservare che la funzione, in quanto somma di due quantità mai negative e che non si azzerano per lo stesso valore dell'incognita è, nel campo di esistenza, sempre positiva. Con questo avresti risolto anche lo studio del segno.
Non rilevando ciò, va bene quello che hai fatto, ma dovevi ricordarti che, avendo elevato al quadrato, la soluzione trovata deve essere verificata prima del passaggio in questione e, visto che non funziona, eliminarla perché non accettabile.
Ciao
"orsoulx":
Non rilevando ciò, va bene quello che hai fatto, ma dovevi ricordarti che, avendo elevato al quadrato, la soluzione trovata deve essere verificata prima del passaggio in questione e, visto che non funziona, eliminarla perché non accettabile.
Dunque ho capito la prima parte della tua risposta.
La seconda mica tanto:cioè se io avessi risolto la parte ottenuta con l'elevamento al quadrato,avrei dovuto poi vericare che questa soluzione rispettasse le condizioni di esistenza?
Ma quindi la funzione non ha intersezioni con y=0?
"Jack_73":
posto y=0 mi risulta $ 0 = sqrt(2x-1) + sqrt(4-x) $ da cui ottengo $ sqrt(2x-1) =- sqrt(4-x) $ e elevando tutto al quadrato $ (2x-1) = (4-x) $ ...
Puoi osservare che, essendo $ sqrt(2x-1) + sqrt(4-x) $ la somma di due quantità positive, non si ha mai $y=0$, ed inoltre la funzione è sempre positiva nel dominio.
In questa: $ sqrt(2x-1) =- sqrt(4-x) $
osserva che il primo membro è positivo mentre il secondo è negativo, per cui l'equazione è impossibile. Elevando al quadrato ecc. trovi una soluzione che verifica l'equazione ottenuta dopo l'elevamento al quadrato, ma non verifica l'equazione di partenza (basta sostituire e fare i calcoli).
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