Studio di funzioni???????
Allora devo studiare queste funzioni (dominio, intersezioni, simmetria, segno $ f(x)>=0 $): 
la prima che mi manda in crisi è: $ y=xe^x $
la seconda, per quanto riguarda il segno: $ y=e^(x/(x-1)) $
.....spero possiate aiutarmi...GRAZIE IN ANITCIPO!!!
la prima che mi manda in crisi è: $ y=xe^x $
la seconda, per quanto riguarda il segno: $ y=e^(x/(x-1)) $
.....spero possiate aiutarmi...GRAZIE IN ANITCIPO!!!
Risposte
Per studiare una funzione generalmente si ragiona in questo modo:
Studio del dominio
Simmetrie (pari o dispari)
Intersezioni con gli assi
Studio del segno, quando è positiva, quando è negativa
Limiti a più o meno infinito (qualora sia definita la funzione)
Ricerca di eventuali asintoti obliqui
Studio della derivata prima, quindi massimi e minimi
Studio della derivata seconda, quindi flessi.
Diciamo che questo è un procedimento standard.
La seconda funzione è positiva $\forall x\ne 1$, in quanto un esponenziale, dove è definito, è sempre positivo.
Per quanto riguarda la prima: il dominio è $\forall x \in \mathbb{R}$
Nel caso di discontinuità si controlla se in tale punto la funzione ammette asintoto verticale oppure no.
$f(x)=xe^{x}, f(-x)=-xe^{-x}$, quindi non è né pari né dispari
Se $x=0$ allora $y=0$, $y=0 \Rightarrow xe^{x}=0$, quindi $x=0$, l'unica intersezione con gli assi è l'origine.
Studio del segno: $e^x>0 \forall x\in\mathbb{R}$, quindi la funzione è positiva se $x>o$, negativa se $x<0$
Con lo studio dei limiti per $x\rightarrow +\infty$ e $x\rightarrow -\infty$, si trova il comportamento della funzione all'infinito, se almeno uno dei due limiti esiste finito allora la funzione ammette un (o più) asintoto orizzontale.
Per la ricerca degli (eventuali) asintoti obliqui si procede in questo modo: la funzione ha un osintoto obliquo di equazione $y=mx+q$ se e solo se
$m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x}$ esiste finito, in questo caso $q=\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)-mx$
Per semplicità l'ho scritto una volta sola, ma andrebbe studiato un limite a più infinito e un limite a meno infinito.
Nel caso di asintoti orizzontali o obliqui conviene cercare eventuali intersezioni fra asintoto e funzione, a volte ci sono.
Studio della derivata prima: $f'(x)=e^x+xe^x=e^x(x+1)$.
La derivata si annulla in $x=-1$, quindi vediamo se questo punto è un massimo o un minimo.
Segno della derivata: positiva per $x>-1$, negativa per $x<-1$.
Quindi prima di $A=(-1,-e^{(-1)})$ la funzione è decrescente, dopo è crescente, quindi $A$ è un minimo.
Studio della derivata seconda: $f''(x)=e^x(x+1)+e^x$, cioè $f''(x)=e^x(x+2)$.
La derivata seconda si annulla in $x=-2$, quindi il punto $B=(-2,-2e^{(-2)})$ è un punto di flesso a tangente obliqua.
La derivata seconda è positiva per $x>-2$, negativa per $x<-2$, quindi per $x>-2$ la funzione è convessa, per $x<-2$ la funzione è concava.
Studio del dominio
Simmetrie (pari o dispari)
Intersezioni con gli assi
Studio del segno, quando è positiva, quando è negativa
Limiti a più o meno infinito (qualora sia definita la funzione)
Ricerca di eventuali asintoti obliqui
Studio della derivata prima, quindi massimi e minimi
Studio della derivata seconda, quindi flessi.
Diciamo che questo è un procedimento standard.
La seconda funzione è positiva $\forall x\ne 1$, in quanto un esponenziale, dove è definito, è sempre positivo.
Per quanto riguarda la prima: il dominio è $\forall x \in \mathbb{R}$
Nel caso di discontinuità si controlla se in tale punto la funzione ammette asintoto verticale oppure no.
$f(x)=xe^{x}, f(-x)=-xe^{-x}$, quindi non è né pari né dispari
Se $x=0$ allora $y=0$, $y=0 \Rightarrow xe^{x}=0$, quindi $x=0$, l'unica intersezione con gli assi è l'origine.
Studio del segno: $e^x>0 \forall x\in\mathbb{R}$, quindi la funzione è positiva se $x>o$, negativa se $x<0$
Con lo studio dei limiti per $x\rightarrow +\infty$ e $x\rightarrow -\infty$, si trova il comportamento della funzione all'infinito, se almeno uno dei due limiti esiste finito allora la funzione ammette un (o più) asintoto orizzontale.
Per la ricerca degli (eventuali) asintoti obliqui si procede in questo modo: la funzione ha un osintoto obliquo di equazione $y=mx+q$ se e solo se
$m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x}$ esiste finito, in questo caso $q=\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)-mx$
Per semplicità l'ho scritto una volta sola, ma andrebbe studiato un limite a più infinito e un limite a meno infinito.
Nel caso di asintoti orizzontali o obliqui conviene cercare eventuali intersezioni fra asintoto e funzione, a volte ci sono.
Studio della derivata prima: $f'(x)=e^x+xe^x=e^x(x+1)$.
La derivata si annulla in $x=-1$, quindi vediamo se questo punto è un massimo o un minimo.
Segno della derivata: positiva per $x>-1$, negativa per $x<-1$.
Quindi prima di $A=(-1,-e^{(-1)})$ la funzione è decrescente, dopo è crescente, quindi $A$ è un minimo.
Studio della derivata seconda: $f''(x)=e^x(x+1)+e^x$, cioè $f''(x)=e^x(x+2)$.
La derivata seconda si annulla in $x=-2$, quindi il punto $B=(-2,-2e^{(-2)})$ è un punto di flesso a tangente obliqua.
La derivata seconda è positiva per $x>-2$, negativa per $x<-2$, quindi per $x>-2$ la funzione è convessa, per $x<-2$ la funzione è concava.
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