Studio di funzione goniometrica

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Salve a tutti intanto vorrei ringraziare per gli aiuti precedenti,ma adesso ho da porvi questa funzione in cui trovo difficoltà specialmente nello studio del segno e e nel calcolo dei limiti per trovare gli asintoti.
La funzione è $ y=(1-sen x)/(1+sen x) $
io ho seguito questo schema:
1. dominio $ x ≠ 3/2 π $
2.intersezione asse x ottengo il punto A(π/2;0)
ora ho trovato difficoltà con i limiti degli estremi del dominio e con il successivo studio del segno quindi ovviamente anche per il calcolo della derivata prima e seconda con i rispettivi studi del segno mi sono venuti difficili e probabilmente sbagliati
Sapreste aiutarmi?

[volaff1]

Devi considerare anche l'interesezione con l'ass y.
Verifica l'eventuale peridoità della funzione.

[@melia]

La funzione è periodica. Inizia con il trovare il periodo e con la scelta di un intervallo di ampiezza pari ad un periodo nel quale studiare la funzione.

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"@melia":La funzione è periodica. Inizia con il trovare il periodo e con la scelta di un intervallo di ampiezza pari ad un periodo nel quale studiare la funzione.

si vero scusami l'intervallo in cui studiare la funzione la fornisce il libro ed è [0;2π]
ma nonostante questo non riesco a fare lo studio del segno

[volaff1]

Devi impostare f(x)>0 e risolvere la disequazione associata cioè:

$ (1-sen x)/(1+sen x) $ >0

Imponi il numeratore $ (1-sen x) $>0 e numeratore $ (1+sen x) $ >0: risolvi separatamente le due disequazioni e verifichi quale è l'intervallo in cui la funzione è positiva ed in cui è negativa.

Ti do un suggerimento $ -1
Continua tu con i calcoli

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"volaff":Devi impostare f(x)>0 e risolvere la disequazione associata cioè:

$ (1-sen x)/(1+sen x) $ >0

Imponi il numeratore $ (1-sen x) $>0 e numeratore $ (1+sen x) $ >0: risolvi separatamente le due disequazioni e verifichi quale è l'intervallo in cui la funzione è positiva ed in cui è negativa.

Ti do un suggerimento $ -1
Continua tu con i calcoli

non mi linciate,ma il mio problema è che non ricordo quali sono le soluzioni di senx<1 e di senx>-1

[volaff1]

"salvolaiacona":[quote="volaff"]Devi impostare f(x)>0 e risolvere la disequazione associata cioè:

$ (1-sen x)/(1+sen x) $ >0

Imponi il numeratore $ (1-sen x) $>0 e numeratore $ (1+sen x) $ >0: risolvi separatamente le due disequazioni e verifichi quale è l'intervallo in cui la funzione è positiva ed in cui è negativa.

Ti do un suggerimento $ -1
Continua tu con i calcoli

non mi linciate,ma il mio problema è che non ricordo quali sono le soluzioni di senx<1 e di senx>-1[/quote]

Te l'ho scritto:



senx è sempre <1 e sen x è sempre > -1; infatti :$ -1
Altro non sono che le disequazioni che devi risolvere tu prese separatamente.

Per convincerti disegna la circonferenza goniometrica o il grafico della funzione seno e riflettici.

[quantunquemente]

"volaff":senx è sempre <1 e sen x è sempre > -1

no

[volaff1]

"quantunquemente":[quote="volaff"]senx è sempre <1 e sen x è sempre > -1

no[/quote]

Che sciocchezza ho scritto?
Fammi capire.
Grazie.

[axpgn]

$-1<=sin(x)<=1$

[volaff1]

Pardon mi so scordato =.
Chiedo venia a tutti.
Per lo studio del segno non ho creato troppi problemi, almeno

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grazie dell'aiuto ci sono arrivato.
sono allo studio de segno della derivata per trovare massimi e minima.La derivata mi viene $ (-2cosx)/(1+senx)^2 $
studiando il segno pongo il numeratore maggiore di zero a ottengo che il coseno è minore di zero quando x è compreso fra
π/2 e 3π/2,è giusto?

[volaff1]

Scusa ma disegnati la circonferenza goniometrica o il grafico della funzione coseno.
Dal grafico si evince rapidamente.
La tua soluzione è giusta comunque.

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"volaff":Scusa ma disegnati la circonferenza goniometrica o il grafico della funzione coseno.
Dal grafico si evince rapidamente.
La tua soluzione è giusta comunque.

Grazie cercavo una conferma tutto qui

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[anto_zoolander]

Metto la risposta come spoiler, perché è lunga e potrebbe dar fastidio.

$y=(1-sinx)/(1+sinx)$

per prima cosa ti conviene trovare un periodo su cui studiare una funzione goniometrica.

il periodo degli asintoti è dato da $1+sinx=0$ ovvero $x=3/(2)pi+2kpi$

il periodo degli zeri è dato da $1-sinx=0$ ovvero $x=pi/2+2kpi$ quindi in generale puoi studiare la funzione nell'intervallo

$]3/(2)pi-2pi,3/(2)pi[ <=> ]-pi/2,3/(2)pi[$

naturalmente in questo intervallo la funzione si annullerà solo in $pi/2$

per vedere com'è piazzata sul piano, basta risolvere la disequazione $f(x)>0$ quindi studiamo separatamente numeratore e denominatore.

denominatore
$1+sinx>0$

$sinx> -1$ questa è soddisfatta $forallx ne3/(2)pi$ quindi il denominatore è sempre positivo.

numeratore
$1-sinx>0$

$sinx<1$ il che è soddisfatta $forallx ]-pi/2,3/(2)pi[-{pi/2}$

quindi la funzione è sempre posta sul semipiano superiore delle ascisse, inoltre si annulla in $x=pi/2$

calcoliamo i limiti nei punti di discontinuità, che sono per la precisione discontinuità di seconda specie

limiti

$lim_(x->3/(2)pi^+)(1-sinx)/(1+sinx)=[2/0^+]=+infty$

$lim_(x->3/(2)pi^-)(1-sinx)/(1+sinx)=[2/0^+]=+infty$

intanto se ci ragioniamo in $x=pi/2$ c'è un punto stazionario, infatti da $+infty$ scende a $0$ e poi ritorna a $+infty$ quindi sarà anche decrescente a sinistra di $x=pi/2$ e crescente a destra.

derivata prima

$f'(x)=D[(1-sinx)/(1+sinx)]$

$f'(x)=(-cosx(1+sinx)-(1-sinx)cosx)/(1+sinx)^2$

$f'(x)=-(2cosx)/(1+sinx)^2$ l'asintoto ovviamente rimane.

$f'(x)geq0 <=> -2cosxgeq0 <=> cosxleq0$ che è soddisfatta nell'intervallo $[pi/2,3/(2)pi]$

in particolare si annulla in $x=pi/2$ e $x=3/(2)pi$ ma nel secondo caso la funzione non è continua, quindi sicuramente non è derivabile.

quindi la derivata vale $0$ in $pi/2$. Dovremmo vedere cosa succede alle derivate nei pressi dei punti di discontinuità.

i risultati dei limiti sono: $+infty$ sia se $x->3/(2)pi^+$ che $x->3/(2)pi^-$ quindi la la derivata si impenna nei punti di disc.

nell'intervallo $]pi/2,3/(2)pi[$ la funzione cresce e nell'intervallo $]-pi/2,pi/2[$ la funzione decresce. Naturalmente poi basta aggiungere $2kpi$ a tutti gli intervalli per ottenere la funzione intera.

Tecnicamente non ci sarebbe nemmeno bisogno di studiare la concavità.
Infatti la funzione scende fino a $pi/2$ e poi risale, quindi sicuramente sarà convessa.

derivata seconda

$f''(x)=D[-(2cosx)/(1+sinx)^2]$

$f''(x)=-2(-sinx(1+2sinx+sin^2x)-2(1+sinx)(cos^2x))/(1+sinx)^4$

svolgendo i calcoli si ottiene $f''(x)=-2(sin^3x-3sinx-2)/(1+sinx)^4$

del denominatore ci importa solo il punto in cui si annulla, che è sempre lo stesso, quindi teniamo solo in numeratore.

$sgn_(f''(x))=sgn_(g(x))$ dove imponiamo $g(x)=-2sin^3x+6sinx+4$ e la uguagliamo maggiore di $0$

che la risolviamo ponendo $sinx=t$

$-2t^3+6t+4geq0 <=> 2t^3-6t-4leq0$

cerchiamo uno zero del polinomio che è banale, sostituiamo $t=-1$

$2(-1)^3-6(-1)-4=-2+6-4=0$ quindi dividiamo $(p(t))/(t+1)$ ottenendo $2(t+1)(t^2-t-2)leq0$
scoponendo la parabola si ottiene $2(t+1)(t+1)(t-2)leq0$ ovvero $2(t+1)^2(t-2)leq0$

tornando in $sinx$ otteniamo $2(sinx+1)^2(sinx-2)leq0$

il primo fattore è sempre positivo e si annulla solo nell'unico punto in cui la funzione è discontinua infinite volte(per il periodo) e quindi non ammette flessi.
Non ammette flessi perché il secondo membro non si annulla mai ed è sempre minore di $0$ infatti $sinxleq2$ è sempre vera.

NB: il simbolo $leq$ implica che sia 'o una delle due o entrambe' quindi la diseguaglianza è vera anche solo se $sinxne2$ perché infatti è 'o minore, o maggiore, o tutte e due' in questo caso è solo minore e va bene lo stesso.

quindi $g(x)$ è sempre positiva ed avendo escluso $3/(2)pi+2kpi$ dal dominio, non si annulla nemmeno.

Infine $f''(x)=g(x)$ quindi la funzione è convessa su tutto il dominio ovvero $]-pi/2+2kpi,3/(2)pi+2kpi[$

Quindi in poche parole la funzione è composta di infinite $U$

spero ti sia utile.