Studio di funzione
Buonasera, volevo scrivere uno studio di funzione da me fatto per compito in modo che voi poi possiate indicare gli errori, e poi a mia volta porro io alcune domande
$g(x)=(x^2-|x-2|)/(x-4)$
Caso 1
$(x^2-(x-2))/(x-4)$ se $x>2$
$N=(x^2-x+2)$
Caso 2
$(x^2-(-x+2))/(x-4)$ se $x<2$
$N=(x^2+x-2)$
INSIEME DI DEFINIZIONW
caso 1 e 2
$(-infty;4)V(4;+infty)$
INTERSEZIONE CON GLI ASSI
caso 1 $(x^2-x+2)/(x-4)$
con l'asse $x$ non interseca
con l'asse $y$ si interseca $(0,1/(-2))$
caso 2 $(x^2+x-2)/(x-4)$
si interseca con l'asse $y$ in (0;+1/2)
l'asse $x$ si interseca in $(1,0)$,$(-2,0)$
STUDIO DEL SEGNO
Caso1
positivo fra $(-infty;4)$ enegativo in $(4;+infty)$
Caso2
negativo fra $(-infty;-2)$ e positivo in $(-2;1)$ e positivo in $(4,+infty)$
LIMITI
Caso1
$(x^2-x+2)/(x-4)$
$x->-infty =-infty$
$x->4- = -infty$
$x->4^(+) =+infty$
$x->+infty=+infty$
Caso2
$(x^2+x+2)/(x-4)$
$x->-infty =-infty$
$x->4(-)=-infty$
$x->4(+)=+infty$
$x->+infty=+infty$
DERIVATA
Caso 1
$(-3x-2)/(x-4)^2$
Caso2
$(x^2+x-2)/(x-4)$
$[(2x+1)(x-4)-(x^2+x-2)(1)]/(x-4)^2$
CRESCENZA O DECRESCENZA
Caso1
positiva fra $(-infty;-(2/3))$ e negativofra $(-(2/3),+infty)$
Caso 2
positiva in $(-infty;(8-sqrt72)/2)$ e $(8+sqrt72)/2;+infty)$
DERIVATRA SECONDA
Caso 2
g'(x)=$(x^2-8x-2)/(x-4)^2$
STUDIO DEL SEGNO DERIVATA SECONDAA
viene un numero grandissimo cmq sarebbe circa $((-infty,-96-sqrt9000)/2)$ i valori per cui viene concavo e sempre concavo in $(-96+sqrt9000)/2,+infty)$
Grazie
Cordiali saluti
$g(x)=(x^2-|x-2|)/(x-4)$
Caso 1
$(x^2-(x-2))/(x-4)$ se $x>2$
$N=(x^2-x+2)$
Caso 2
$(x^2-(-x+2))/(x-4)$ se $x<2$
$N=(x^2+x-2)$
INSIEME DI DEFINIZIONW
caso 1 e 2
$(-infty;4)V(4;+infty)$
INTERSEZIONE CON GLI ASSI
caso 1 $(x^2-x+2)/(x-4)$
con l'asse $x$ non interseca
con l'asse $y$ si interseca $(0,1/(-2))$
caso 2 $(x^2+x-2)/(x-4)$
si interseca con l'asse $y$ in (0;+1/2)
l'asse $x$ si interseca in $(1,0)$,$(-2,0)$
STUDIO DEL SEGNO
Caso1
positivo fra $(-infty;4)$ enegativo in $(4;+infty)$
Caso2
negativo fra $(-infty;-2)$ e positivo in $(-2;1)$ e positivo in $(4,+infty)$
LIMITI
Caso1
$(x^2-x+2)/(x-4)$
$x->-infty =-infty$
$x->4- = -infty$
$x->4^(+) =+infty$
$x->+infty=+infty$
Caso2
$(x^2+x+2)/(x-4)$
$x->-infty =-infty$
$x->4(-)=-infty$
$x->4(+)=+infty$
$x->+infty=+infty$
DERIVATA
Caso 1
$(-3x-2)/(x-4)^2$
Caso2
$(x^2+x-2)/(x-4)$
$[(2x+1)(x-4)-(x^2+x-2)(1)]/(x-4)^2$
CRESCENZA O DECRESCENZA
Caso1
positiva fra $(-infty;-(2/3))$ e negativofra $(-(2/3),+infty)$
Caso 2
positiva in $(-infty;(8-sqrt72)/2)$ e $(8+sqrt72)/2;+infty)$
DERIVATRA SECONDA
Caso 2
g'(x)=$(x^2-8x-2)/(x-4)^2$
STUDIO DEL SEGNO DERIVATA SECONDAA
viene un numero grandissimo cmq sarebbe circa $((-infty,-96-sqrt9000)/2)$ i valori per cui viene concavo e sempre concavo in $(-96+sqrt9000)/2,+infty)$
Grazie
Cordiali saluti
Risposte
E dove avrei scritto che sono la stessa cosa? Rileggi il mio post ...
Se permetti quello che hai scritto è formalmente corretto ma fuorviante (soprattutto nell'ottica dello studio del segno di un'equazione di secondo grado).
Mi ripeto: se il $Delta$ è negativo il segno della funzione dipende dal coefficiente della $x^2$ e converrai con me che se conosci il segno del $Delta$ è molto probabile che tu conosca il segno del coefficiente di $x^2$, non ti pare?
Quindi, all'atto pratico, se il $Delta$ è negativo è facile (molto facile) conoscere il segno della funzione, (senza la necessità di fare sostituzioni).
O no?
Cordialmente, Alex
Se permetti quello che hai scritto è formalmente corretto ma fuorviante (soprattutto nell'ottica dello studio del segno di un'equazione di secondo grado).
Mi ripeto: se il $Delta$ è negativo il segno della funzione dipende dal coefficiente della $x^2$ e converrai con me che se conosci il segno del $Delta$ è molto probabile che tu conosca il segno del coefficiente di $x^2$, non ti pare?
Quindi, all'atto pratico, se il $Delta$ è negativo è facile (molto facile) conoscere il segno della funzione, (senza la necessità di fare sostituzioni).
O no?
Cordialmente, Alex
"axpgn":
converrai con me che se conosci il segno del $ Delta $ è molto probabile che tu conosca il segno del coefficiente di $ x^2 $, non ti pare?
Basta avere chiari i loro ruoli e convengo su quello che vuoi
Va be ok, ascoltate, voi state studiando matematica in modo molto approfondito, io devo sostenere una matematica di poco inferiore al livello di ANALISI 1...onestamente il valore assoluto negli studi di funzione che chiedono a noi difficilmente cè, in poche parole questi sono esercizi che faccio io per sapere un po tutto quanto ed essere preparato a ogni evenienza in sede d esame, cmq adesso faccio lo schemino che vi dicevo poi continuero a correggere insieme a voi il grafico della funzione. Cmq l'ultimo discorso circa il caso 'se il Delta $<=0$ per andare sul sicuro vorrei sapere:
'posso quindi sostituire $0$ a $x$ IN QUALSIASI ALTRA FUNZIONE e vedere se è sempre positiva o sempre negativa?'
'posso quindi sostituire $0$ a $x$ IN QUALSIASI ALTRA FUNZIONE e vedere se è sempre positiva o sempre negativa?'
Cercherò di non essere forviante 
La questione che siamo trattando non riguarda i valori assoluti ma i polinomi di secondo grado a una incognita.
Il caso "se il Delta $<0$", minore stretto, mi raccomando! Se è zero il discorso è diverso e lo possiamo trattare dopo, se non lo conosci.
E la sostituzione (deprecata dai geniacci matematici ) vale solo per delta strettamente negativo e per i polinomi di secondo grado a 1 incognita. OK?
Toh, potrebbe valere per tutti i polinomi che non hanno radici reali o anche per altre funzioni, ma insomma...
"ramarro":
onestamente il valore assoluto negli studi di funzione che chiedono a noi difficilmente cè
La questione che siamo trattando non riguarda i valori assoluti ma i polinomi di secondo grado a una incognita.
"ramarro":
Cmq l'ultimo discorso circa il caso 'se il Delta $ <=0 $ per andare sul sicuro vorrei sapere:
'posso quindi sostituire $ 0 $ a $ x $ IN QUALSIASI ALTRA FUNZIONE e vedere se è sempre positiva o sempre negativa?'
Il caso "se il Delta $<0$", minore stretto, mi raccomando! Se è zero il discorso è diverso e lo possiamo trattare dopo, se non lo conosci.
E la sostituzione (deprecata dai geniacci matematici
) vale solo per delta strettamente negativo e per i polinomi di secondo grado a 1 incognita. OK?Toh, potrebbe valere per tutti i polinomi che non hanno radici reali o anche per altre funzioni, ma insomma...
Anche nel caso di delta uguale a zero puoi usare il trucchetto della sostituzione, ma devi evitare l'unico numero reale che annulla il polinomio, cioè la sua unica radice...
Io, sinceramente, lascerei perdere le sostituzioni a meno che tu sappia esattamente cosa stai facendo; ma se sapessi esattamente cosa stai facendo probabilmente non avresti bisogno delle sostituzioni ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Hai ragione, questo mio vizietto ha origini antiche, quando al liceo facevo effettivamente confusione con i segni dei delta, i maggiori e i minori... Poi il vizietto mi è rimasto. E probabilmente anche la confusione, ma come dico sempre ai presuntuosi, sono qui per imparare.
A dir la verità, il consiglio era per l'autore del thread non per te ... 
Penso che la sua richiesta fosse di avere una regoletta precisa su come sostituire, ma purtroppo non c'è (quantomeno semplice ...)
Cordialmente, Alex
Penso che la sua richiesta fosse di avere una regoletta precisa su come sostituire, ma purtroppo non c'è (quantomeno semplice ...)
Cordialmente, Alex
Acc! Mi sono cancellato la risposta!
Stavo mettendo insieme una regoletta universale... Potrebbe essere: sai che non si annulla mai (e magari è continua)? Allora il segno del risultato di una qualsiasi sostituzione è il segno della funzione...
Più facile a dirsi che ad applicarsi...
Stavo mettendo insieme una regoletta universale... Potrebbe essere: sai che non si annulla mai (e magari è continua)? Allora il segno del risultato di una qualsiasi sostituzione è il segno della funzione...
Più facile a dirsi che ad applicarsi...
ok io continuo domani ciao
....continuo
Quindi mi manca la regola per quanto concerne il caso $b^2-4ac<=0$
REGOLA
se $b^2-4ac<=0$ quando $ ax^2+bx+c>=0$
ho trovato un video su internet che dice che in questo caso sii guarda la $ax^2$ se $a>0$ allora è sempre positiva se $a<0$ sempre negativa. Quindi deduco che potrei sempre usare come regoletta la sostituzione dello $0$ alla $x$ per vedere che segno ha... no?
Allora intanto ho corretto il post in cui raccoglievo le soluzioni buone e scartavo quelle che cadevano fuori dagli intervalli di interesse.
Per non perdere i filo del discorso,lo studio del segno del Caso1(che si interessava dell'intervallo $x>2$) quindi era sbagliato e ora bisogna dire che:
STUDIO DEL SEGNO
Caso1
negativo da $(2;4)$ e positivo da $(4;+infty)$
Caso2
(tale caso si interessava dei valori $x<2$)
negativo da $(-infty;-2)$e da $(1;2)$ positivo da $(-2;1)$
FUSIONE dei 2 casi
nefativo in $(-infty;-2)$ positivo in $(-2;+1) $ancora negativo in $(1;2)V(2;4)$ poi positivo da $(4;+infty)$
allora il passettino in avanti che dovevo fare era proprio la fusione dei risultati, ora ditemi se ci sto capendo qualcosa?
Grazie
Cordiali saluti
....continuo
Quindi mi manca la regola per quanto concerne il caso $b^2-4ac<=0$
REGOLA
se $b^2-4ac<=0$ quando $ ax^2+bx+c>=0$
ho trovato un video su internet che dice che in questo caso sii guarda la $ax^2$ se $a>0$ allora è sempre positiva se $a<0$ sempre negativa. Quindi deduco che potrei sempre usare come regoletta la sostituzione dello $0$ alla $x$ per vedere che segno ha... no?
Allora intanto ho corretto il post in cui raccoglievo le soluzioni buone e scartavo quelle che cadevano fuori dagli intervalli di interesse.
Per non perdere i filo del discorso,lo studio del segno del Caso1(che si interessava dell'intervallo $x>2$) quindi era sbagliato e ora bisogna dire che:
STUDIO DEL SEGNO
Caso1
negativo da $(2;4)$ e positivo da $(4;+infty)$
Caso2
(tale caso si interessava dei valori $x<2$)
negativo da $(-infty;-2)$e da $(1;2)$ positivo da $(-2;1)$
FUSIONE dei 2 casi
nefativo in $(-infty;-2)$ positivo in $(-2;+1) $ancora negativo in $(1;2)V(2;4)$ poi positivo da $(4;+infty)$
allora il passettino in avanti che dovevo fare era proprio la fusione dei risultati, ora ditemi se ci sto capendo qualcosa?
Grazie
Cordiali saluti
ragazzi leggete la modifica al messaggio precedente
"ramarro":
se $b^2-4ac<=0$ quando $ ax^2+bx+c>=0$
ho trovato un video su internet che dice che in questo caso sii guarda la $ax^2$ se $a>0$ allora è sempre positiva se $a<0$ sempre negativa.
Fammi capire ... non so quanti post ho scritto per dire questo fatto e tu lo scopri da un video? E allora è inutile che scriviamo ...
"ramarro":
Quindi deduco che potrei sempre usare come regoletta la sostituzione dello $0$ alla $x$ per vedere che segno ha... no?
Questa parte però l'ho capita ancor meno ... la regola che hai "scoperto" su Internet ti dice proprio come trovare il segno, quindi perché devi applicare un'altra regola per trovare una cosa che sai già? Mah ...
Cordialmente, Alex
"ramarro":
STUDIO DEL SEGNO
[cut]
FUSIONE dei 2 casi
nefativo in $(-infty;-2)$ positivo in $(-2;+1) $ancora negativo in $(1;2)V(2;4)$ poi positivo da $(4;+infty)$
allora il passettino in avanti che dovevo fare era proprio la fusione dei risultati, ora ditemi se ci sto capendo qualcosa?
Non so se ci stai capendo qualcosa, lo scopriremo con i prossimi esercizi, ma ora il risultato sembra giusto
"axpgn":
Questa parte però l'ho capita ancor meno ... la regola che hai "scoperto" su Internet ti dice proprio come trovare il segno, quindi perché devi applicare un'altra regola per trovare una cosa che sai già?
Perché è rassicurante
axpgn:Fammi capire ... non so quanti post ho scritto per dire questo fatto e tu lo scopri da un video? E allora è inutile che scriviamo ...
..........ma no che c'entra ho solo bisogno di essere sicuro di quello che dico e non confondere le regole non ti inczz...re.
axpgn: Questa parte però l'ho capita ancor meno ... la regola che hai "scoperto" su Internet ti dice proprio come trovare il segno, quindi perché devi applicare un'altra regola per trovare una cosa che sai già?
..............In effetti è rassicurante la regoletta di sostituire lo $0$ come diceva retrocomputer:D
LIMITI
FUSIONE DEI 2 CASI
$lim(x->4(-))=-infty$
$lim(x->4(+))=+infty$
$lim(x->+infty)=+infty$
$lim(x->-infty)=-infty$
DERIVATA
Caso1
Allora il caso1 era se $x>2$, e la funzione in questione era $(x^2-|x-2|)/(x-4)$ e il Caso1 era $f(x)=(x^2-x+2|)/(x-4)$
$(x^2-8x+2)/(x-4)^2$
Caso2
$(x^2-8x-2)/(x-4)^2$
CRESCENZa O DECRESCENZA
Fusione dei 2 casi
positivo da$(-infty;(8-sqrt72)/2)$ negativo in $((8-sqrt72)/2;2)$ negativo in $(2;(8+sqrt56)/2)$ positvo in $((8+sqrt56)/2;+infty)$
DERIVATA SECONDA E STUDIO DEL SEGNO
Caso 2
$(36x-16)/(x-4)^4>=0$
convessa da $(-infty;4/9)$ concava da $(4/9;2)$
..........ma no che c'entra ho solo bisogno di essere sicuro di quello che dico e non confondere le regole non ti inczz...re.
axpgn: Questa parte però l'ho capita ancor meno ... la regola che hai "scoperto" su Internet ti dice proprio come trovare il segno, quindi perché devi applicare un'altra regola per trovare una cosa che sai già?
..............In effetti è rassicurante la regoletta di sostituire lo $0$ come diceva retrocomputer:D
LIMITI
FUSIONE DEI 2 CASI
$lim(x->4(-))=-infty$
$lim(x->4(+))=+infty$
$lim(x->+infty)=+infty$
$lim(x->-infty)=-infty$
DERIVATA
Caso1
Allora il caso1 era se $x>2$, e la funzione in questione era $(x^2-|x-2|)/(x-4)$ e il Caso1 era $f(x)=(x^2-x+2|)/(x-4)$
$(x^2-8x+2)/(x-4)^2$
Caso2
$(x^2-8x-2)/(x-4)^2$
CRESCENZa O DECRESCENZA
Fusione dei 2 casi
positivo da$(-infty;(8-sqrt72)/2)$ negativo in $((8-sqrt72)/2;2)$ negativo in $(2;(8+sqrt56)/2)$ positvo in $((8+sqrt56)/2;+infty)$
DERIVATA SECONDA E STUDIO DEL SEGNO
Caso 2
$(36x-16)/(x-4)^4>=0$
convessa da $(-infty;4/9)$ concava da $(4/9;2)$
Non mi torna la prima derivata... Forse mi sono perso io... E di conseguenza non mi torna l'ultimo pezzo della crescenza... Del resto se la funzione deve tendere a $+\infty$ per $\x\to +\infty$ non può essere decrescente da quelle parti, no?
aspetta che ora la rifaccio....prova a vedere se ti torna ora, ho modificato il messaggio incriminato di sopra.
"ramarro":
..........ma no che c'entra ho solo bisogno di essere sicuro di quello che dico e non confondere le regole non ti inczz...re.
Ma no, non mi arrabbio ... non hai visto la faccina?
Seriamente però l'impressione mia è che questa tua ricerca "spasmodica" di regole certe, sicure, solamente da applicare invece che di riflettere sugli esercizi non ti faccia bene ma aumenti la confusione ... IMHO ovviamente ...
"ramarro":
...In effetti è rassicurante la regoletta di sostituire lo $0$ come diceva retrocomputer:D
La battuta era sicuramente carina ma ... usare due metodi per trovare la stessa cosa (soprattutto quando uno è facile e immediato) aumenta la probabilità di commettere errori; a mio parere meglio concentrarsi nell'assimilarne uno sicuro e farlo proprio in modo da usarlo scientemente al caso giusto nel momento giusto.
Detto in altro modo: se non sei sicuro del primo metodo, il quale NECESSITA di alcuni prerequisiti, perché dovresti essere sicuro dell'altro che forse ne abbisogna anche di più?
Cordialmente, Alex
La derivata seconda non l'ho fatta per pigrizia Comunque dov'è positiva? E cosa succede quando la derivata seconda è positiva?
Comunque dov'è positiva? E cosa succede quando la derivata seconda è positiva?
Ciao axpgn, hai ragione a dire che la mia ricerca è quasi spasmodica, però tieni conto del fatto che sto facendo di tutto per prepararmi al meglio, quindi per forza che ogni tanto arrivo all'esagerazione, diciamo che il 'self control' non è delle mie migliori qualità.
Comunque, per quanto concerne retrocomputer, mi pare di aver capito che fino adesso anche la FUSIONE dei 2 casi delle derivate prime vada bene, per terminare, servirebbe fare la derivata seconda.
Il caso 2 della derivata seconda è appunto come dicevo prima convessa da $(−infty;4/9)$ concava da $(4/9;2)$
Comunque, per quanto concerne retrocomputer, mi pare di aver capito che fino adesso anche la FUSIONE dei 2 casi delle derivate prime vada bene, per terminare, servirebbe fare la derivata seconda.
Il caso 2 della derivata seconda è appunto come dicevo prima convessa da $(−infty;4/9)$ concava da $(4/9;2)$
Una classica funzione convessa dovrebbe essere $y=x^2$: la sua derivata seconda com'è?
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