Studio di funzione

[ramarro1]

Buonasera, volevo scrivere uno studio di funzione da me fatto per compito in modo che voi poi possiate indicare gli errori, e poi a mia volta porro io alcune domande
$g(x)=(x^2-|x-2|)/(x-4)$
Caso 1
$(x^2-(x-2))/(x-4)$ se $x>2$
$N=(x^2-x+2)$
Caso 2
$(x^2-(-x+2))/(x-4)$ se $x<2$
$N=(x^2+x-2)$
INSIEME DI DEFINIZIONW
caso 1 e 2
$(-infty;4)V(4;+infty)$
INTERSEZIONE CON GLI ASSI
caso 1 $(x^2-x+2)/(x-4)$
con l'asse $x$ non interseca
con l'asse $y$ si interseca $(0,1/(-2))$

caso 2 $(x^2+x-2)/(x-4)$
si interseca con l'asse $y$ in (0;+1/2)
l'asse $x$ si interseca in $(1,0)$,$(-2,0)$

STUDIO DEL SEGNO

Caso1
positivo fra $(-infty;4)$ enegativo in $(4;+infty)$

Caso2
negativo fra $(-infty;-2)$ e positivo in $(-2;1)$ e positivo in $(4,+infty)$

LIMITI

Caso1
$(x^2-x+2)/(x-4)$
$x->-infty =-infty$
$x->4- = -infty$
$x->4^(+) =+infty$
$x->+infty=+infty$

Caso2
$(x^2+x+2)/(x-4)$
$x->-infty =-infty$
$x->4(-)=-infty$
$x->4(+)=+infty$
$x->+infty=+infty$

DERIVATA
Caso 1
$(-3x-2)/(x-4)^2$

Caso2
$(x^2+x-2)/(x-4)$
$[(2x+1)(x-4)-(x^2+x-2)(1)]/(x-4)^2$

CRESCENZA O DECRESCENZA
Caso1
positiva fra $(-infty;-(2/3))$ e negativofra $(-(2/3),+infty)$


Caso 2
positiva in $(-infty;(8-sqrt72)/2)$ e $(8+sqrt72)/2;+infty)$

DERIVATRA SECONDA
Caso 2
g'(x)=$(x^2-8x-2)/(x-4)^2$

STUDIO DEL SEGNO DERIVATA SECONDAA
viene un numero grandissimo cmq sarebbe circa $((-infty,-96-sqrt9000)/2)$ i valori per cui viene concavo e sempre concavo in $(-96+sqrt9000)/2,+infty)$

Grazie
Cordiali saluti

[axpgn]

Hai sbagliato lo "sviluppo" del valore assoluto subito all'inizio perciò il resto è tutto da rivedere ...

In merito alla domanda la risposta è ... NO. La funzione è una quindi è unico il suo grafico; semplicemente quando lo traccerai, disegnerai una curva per un intervallo del dominio ed un'altra per l'altro intervallo del dominio, ma vedrai che NON avrai sovrapposizioni fra le due curve.

Cordialmente, Alex

[ramarro1]

Ho modificato il testo facendo le correzioni dall'inizio, desidererei che ora mi diceste ancora dove sono altri errori, inoltre vorrei anche sapere il metodo con cui disegnare un unico grafico.
Grazie,
soprattutto grazie a axpgn che nn è la prima volta che mi aiuta
Cordiali saluti

[retrocomputer]

Lo studio del segno non mi torna: a me viene negativa per $x<-2$ e per $1

Cita

Segnala

[axpgn]

Non ho guardato tutto però mi pare che ci sia un problema di fondo che ti porta ad alcuni errori ...
Per studiare la funzione va bene spezzarla in due a causa del valore assoluto però devi ricordare che la funzione è una sola quindi le conclusioni vanno "riunificate" ma soprattutto quando studi la funzione in un certo intervallo (per esempio $x>2$) le conclusioni valgono per quell'intervallo, non fuori di esso (come per esempio l'intersezione con l'asse $x$ nel caso 1).

Cordialmente, Alex

[ramarro1]

ok allora retrocomputer aveva ragione, per quanto concerne lo studio del segno avevo scritto l'opposto, è giusto quello di retrocomputer....per quanto concerne quello che mi è stato detto da axpgn ....ora guardo gli intervalli e li riscrivo

[ramarro1]

valori da tenere conto dello studio di funzione scritto sopra:
INTERSEZIONE ASSI
Caso 1
non cè nessuna intersezione dato che $1/(-2)$ è fuori dall'intervallo $(2,+infty)$
STUDIO DEL SEGNO
Caso 1
osservo solo che da $(2;4)$ è negativo e da $(4;+infty)$è positivo
Caso2
osservo solo che è negativo in $(-infty,-2)$ positivo in $(-2,1)$ negativo in $(1,2)$

LIMITI
Caso 1
escludo quello per $x$ tendente a $-infty$
Caso2
Escludo quelli con $x$ tendente a $x->4(-)$,$x->4(+)$,$x->+infty$

CRESCENZA O DECRESCENZA
Caso1
Osservo solo la parte positiva da $(2,+infty)$
Caso2
Osservo solo la parte negativa da$(-infty,(8-sqrt72)/2)$ e positiva $((8-sqrt72)/2,2)$

STUDIO DEL SEGNO DERIVATA SECONDA

convesso da $((-96+sqrt9000)/2,2)$
concavo in $(-infty,(-96+sqrt9000)/2)$

questa è la modifica che ho fatto dato che mi è stato detto di tenere conto di quei dati all'interno degli intervalli....aspetto vostre altre indicazioni, per favore ditemi se sto capendo in base a quello che scrivo, cioe se per voi sto capendo Roma per toma ditemelo senza tanti problemi perché ho bisogno di sapere se con il valore assoluto (che per me negli studi di funzione alla fine è una novità) sto facendo progressi o no.
Grazie
Ciao

[retrocomputer]

"ramarro":
STUDIO DEL SEGNO
Caso 1
osservo solo da $(4,infty)$
Caso2
osservo solo che è negativo in $(-infty,-2)$ positivo in $(-2,1)$ negativo in $(1,2)$

Secondo me ti confondi chiamando Caso 1 e Caso 2. Non esiste nessun caso, si tratta sempre della stessa funzione che ha una certa espressione per $x\geq 2$ e un'altra per $x<2$.

Qui il cosiddetto Caso 1 si considera da $2$ a $+\infty$ e per $24$ è positiva.

[retrocomputer]

Ecco, vedendola così forse si capisce meglio come funziona il valore assoluto:
$$g(x)=
\left\{\begin{array}{ll}
\frac{x^2-(x-2)}{x-4} & \hbox{se }x\geq 2 \\
\frac{x^2-(-x+2)}{x-4} & \hbox{se }x<2 \end{array}\right.$$

[ramarro1]

scusa ma il Caso 1 non dovrebbe essere da $(2,4)$ positivo e da $(4,+infty)$ negativo?
per favor e puoi guardare il grafico che ti posto qui sotto attraverso un link ?

[ramarro1]

cmq scusa ancora, io ho messo quell'immagine per farti vedere come io faccio i grafici e come per me sono ivalori, volevo appunto capire dov'è lo sbaglio perché tu prima mi hai detto ch eil caso 1 aveva una parte positiva e un'altra negativa ma per me tali parti sono invertite e volevo appunto capire perché.
Dato che il Caso1 aveva un numero impossibile(cerchiato in viola) il mio ragionamento è stato: se è impossibile che sia >= $0$ alllora è $<=0$ per questo io ho tracciato la linea tratteggiata al numeratore.
praticamente le mie domande sono 3, cerco di riassumerle per farti perdere meno tempo possibile
1)Perché i valori vengono invertiti rispetto a te?
2)Come unisco i risultati dei 2 Casi?
3)Possiamo pian piano procedere alla correzione?
Grazie molte
Cordiali saluti

[retrocomputer]

Come mai nel Caso 1 hai messo nel disegno il numeratore sempre negativo?

[ramarro1]

perché guarda ancora l immagine che t'ho mandato, vedi che il numeratore è un numero piu/meno un numero impossibile.
Quindi la domanda è:'quando un numero impossibile sottratto o aggiunto a un numero intero è $>0$?' La risposta è 'mai'...quindi il 'mai' è un tratteggio, a sua volta il tratteggio vuol dire un 'meno'

[igiul1]

Se in una disequazione di 2° grado il Delta è negativo, come sarà sempre il segno?

[ramarro1]

Guarda non lo so, secondo me era negativo, ma questa regola non la so dimmi pure com'è alla fine negativo o positivo?

[igiul1]

Ti consiglio di riguardarti le soluzioni delle disequazioni di secondo grado.
Comunque:
$ ax^2+bx+c>0 $ con $ a>0 $
1) $ \Delta > 0 $ allora $ xx_2 $
2) $ \Delta < 0 $ la disequazione è soddisfatta per ogni $ x $ reale
3) $ \Delta = 0 $ allora la disequazione è soddisfatta da ogni $ x $ diverso da $ -b/(2a) $

[retrocomputer]

"ramarro":perché guarda ancora l immagine che t'ho mandato, vedi che il numeratore è un numero piu/meno un numero impossibile.

No no, il numeratore è una funzione reale, niente numeri impossibili a numeratore. Quelli che hai trovato (e che non sono numeri impossibili ma numeri cosiddetti complessi) sono i valori che annullano il numeratore e non sono reali, quindi il numeratore non si annulla mai, quindi sarà o sempre positivo o sempre negativo (e questo lo sai).

Per capire se è sempre positivo o sempre negativo si fa come ti è stato detto qui sopra, oppure... Io provo a sostituire alla $x$ un numero "facile" come $0$ o $1$ e vedo di che segno viene il risultato: quel segno è il segno di tutta la funzione!

Esempio

Nel polinomio $x^2-x+2$ metto $0$ al posto di $x$ e ottengo $0^2-0+2=+2$ che è positivo, quindi il polinomio è sempre positivo.

Ti torna?

[ramarro1]

Devo fare uno schemino scritto e quindi il piu ordinato possibile:
Allora avete detto che $b^2-4ac>0$ prendo intervalli esterni
se $b^2-4ac<0$ puo essere positiva o negativa, devo sostituire $0$
se $=0$ per ogni $x!=0$
va bene?
però vorrei chiedere, io un giorno ho risolto uno studio di funzione quasi uguale a questo che era con il valore assoluto al denominatore e uno dei 2 casi aveva $x^2/(x^2-x+2)$ quindi delta impossibile perché $<0$ e in quel caso forse (e dico forse)il mio ragionamento era giusto, il mio ragionamento era giusto....ripeto qui sotto il mio ragionamento per cercare di darvi una risposta piu esauriente in modo che voi possiate capire meglio il mio il mio errore.
'la funzione che ho fatto per conto mio era $f(x)=x^2/(x^2-x+2)$ quindi $1-8$ sotto radice è impossibile, quindi se è impossibile allora quando è $>=0?mai!'$ però se ho ben capito allora questa cosa vale solo per il denominatore, cioè questo mio ragionamento NON si applica al numeratore ma si applica SOLO quello citato prima da retrocomputer giusto? ho capito bene o ho fatto ancora il polpettone?
Grazie
Cordiali saluti
....Siete forti

[retrocomputer]

"ramarro":Devo fare uno schemino scritto e quindi il piu ordinato possibile:
Allora avete detto che $ b^2-4ac>0 $ prendo intervalli esterni

Se $a>0$ sì, la disequazione $ax^2+bx+c>0$ è positiva per valori esterni.

"ramarro":
se $ b^2-4ac<0 $ puo essere positiva o negativa, devo sostituire $ 0 $
se $ =0 $ per ogni $ x!=0 $
va bene?

Non lo so... Se il delta è negativo, sostituisci $0$ (o qualsiasi altro numero che preferisci) al posto della $x$ e il risultato non sarà sicuramente ZERO perché in questo caso il polinomio non ha radici reali. Il risultato sarà strettamente positivo o negativo e questo ti dice se il polinomio è sempre positivo o sempre negativo: basta provare con un numero e vale per tutti i numeri. Ma solo se il delta è negativo!

"ramarro":
'la funzione che ho fatto per conto mio era $ f(x)=x^2/(x^2-x+2) $ quindi $ 1-8 $ sotto radice è impossibile, quindi se è impossibile allora quando è $ >=0?mai!' $ però se ho ben capito allora questa cosa vale solo per il denominatore, cioè questo mio ragionamento NON si applica al numeratore

Il polinomio a denominatore è lo stesso del primo esercizio, sempre positivo. Se il suo delta è negativo puoi dire solo "$=0?\ MAI!$", cioè sei sicuro che non si annulla mai, ma non puoi stabilire dal delta se è $>$ o $<$ di ZERO. OK?

[axpgn]

"retrocomputer":Se il suo delta è negativo puoi dire solo "$=0?\ MAI!$", cioè sei sicuro che non si annulla mai, ma non puoi stabilire dal delta se è $>$ o $<$ di ZERO. OK?

Certo che puoi se il $Delta$ è negativo ... dipende solo dal coefficiente di $x^2$ cioè dalla sua concavità ...
Se il $Delta$ è negativo significa che non ci saranno MAI intersezioni con l'asse della ascisse (l'asse delle $x$), quindi la nostra funzione starà sempre o sopra o sotto l'asse delle ascisse cioè o sarà sempre positiva o sempre negativa; ma dato che il segno del coefficiente di $x^2$ mi determina il verso della concavità della funzione (verso l'alto se positivo, verso il basso se negativo) automaticamente dal segno del coefficiente di $x^2$ saprai il segno di tutta la tua funzione.
SEMPRE e SOLO SE il $Delta$ dell'equazione di 2° grado è negativo.

Cordialmente, Alex

[retrocomputer]

"retrocomputer":Se il suo delta è negativo puoi dire solo "$ =0?\ MAI! $", cioè sei sicuro che non si annulla mai, ma non puoi stabilire dal delta se è $ > $ o $ < $ di ZERO. OK?

"axpgn":Certo che puoi se il $ Delta $ è negativo ... dipende solo dal coefficiente di $ x^2 $ cioè dalla sua concavità ...

Se permetti, il delta e il coefficiente di $x^2$ sono due cose diverse