Studio del segno di una funzione
Buongiorno volevo chiedere come si esegue qst esercizio:
$(2+x^2)e^(-(x)^2)>0$
io l'ho fatto cosi:
$e^(-(x)^2)*x^2+2*e^(-(x)^2)>0$
semplifico per $e^(-(x)^2)$
$x^2>-2$
$x>+sqrt(-2)$
$x>(-1)*(sqrt(-2))$
Ecco....ora dovrei fare lo studio del segno, il mio problema è qst:come lo faccio se $sqrt(-2)$ è impossibile?cioè quale sarebbe il risultato a qst punto? sarebbe R?o non esiste?
$(2+x^2)e^(-(x)^2)>0$
io l'ho fatto cosi:
$e^(-(x)^2)*x^2+2*e^(-(x)^2)>0$
semplifico per $e^(-(x)^2)$
$x^2>-2$
$x>+sqrt(-2)$
$x>(-1)*(sqrt(-2))$
Ecco....ora dovrei fare lo studio del segno, il mio problema è qst:come lo faccio se $sqrt(-2)$ è impossibile?cioè quale sarebbe il risultato a qst punto? sarebbe R?o non esiste?
Risposte
Insomma mi chiedevo nell'esempio she ho scritto prima se il'insieme di definizione va fatto con lo studio del segno o in modo normale, perchè mi avevi detto che in un caso dove abbiamo $a/b>0$ a e b potevano essere sia positivi che negativi quindi in un caso del genere va fatto lo studio del segno aanzichè l'insieme di definizione normale.
Allora:
nell'esempio che ho scritto prima ho una x (esponente di $e$ al numeratore), e una x al denominatore.
Come faccio a sapere se l''insieme di definizione devo farlo normalmente o con lo studio del segno?
Allora:
nell'esempio che ho scritto prima ho una x (esponente di $e$ al numeratore), e una x al denominatore.
Come faccio a sapere se l''insieme di definizione devo farlo normalmente o con lo studio del segno?
Allora, considera che lo studio del segno è il caso più generale, quindi nel dubbio fai quello e al peggio avrai fatto qualche passaggio inutile in più.
In questo caso se imposti lo studio del segno hai:
1) numeratore$\geq$0: [tex]e^x +2 \geq 0 \to \forall x\in\mathbb{R}[/tex] (perché somma di due quantità sempre positive dato che [tex]e^x>0 \forall x[/tex])
2) denominatore>0: [tex]log|x+2|>0\to |x+2|>1\to x+2>1 \vee x+2<-1 \to x>-1\vee x<-3[/tex]
Se fai la tabella ti rendi conto che la riga del caso 1) sarà solo formata da segni +, dunque non influenzerà lo studio del segno (dato che +*+=+, +*- = -).
Se fin da subito ti rendevi conto che il numeratore era sempre positivo, dunque i problemi potevano sorgere dal denominatore e studiavi solo quest'ultimo, ottenevi lo stesso risultato, solo che non studiavi il caso 1) che abbiamo comunque visto che essendo sempre positivo non influenza il segno.
Ti è più chiaro ora?
Paola
In questo caso se imposti lo studio del segno hai:
1) numeratore$\geq$0: [tex]e^x +2 \geq 0 \to \forall x\in\mathbb{R}[/tex] (perché somma di due quantità sempre positive dato che [tex]e^x>0 \forall x[/tex])
2) denominatore>0: [tex]log|x+2|>0\to |x+2|>1\to x+2>1 \vee x+2<-1 \to x>-1\vee x<-3[/tex]
Se fai la tabella ti rendi conto che la riga del caso 1) sarà solo formata da segni +, dunque non influenzerà lo studio del segno (dato che +*+=+, +*- = -).
Se fin da subito ti rendevi conto che il numeratore era sempre positivo, dunque i problemi potevano sorgere dal denominatore e studiavi solo quest'ultimo, ottenevi lo stesso risultato, solo che non studiavi il caso 1) che abbiamo comunque visto che essendo sempre positivo non influenza il segno.
Ti è più chiaro ora?
Paola
ok il fatto è che a sto punto non capisco che cavolo mi insegnano.....in classe ne abbiamo fatto uno che doveva essere per forza fatto con lo studio del segno, altrimenti era sbagliato.
Alllora dato che lo studio del segno va sempre bene faccio sempre quello, cioè se io avessi tipo:$x/log(x)$ anzichè fare solo l'argomento >0 come per l'insieme di definizione normale faccio anche il numeratore >0, e faccio lo studio del segno, cioè se ho ben capito lo studio del del segno puo essere un'alternativa all'insieme di def normale ma nn viceversa o no?
Alllora dato che lo studio del segno va sempre bene faccio sempre quello, cioè se io avessi tipo:$x/log(x)$ anzichè fare solo l'argomento >0 come per l'insieme di definizione normale faccio anche il numeratore >0, e faccio lo studio del segno, cioè se ho ben capito lo studio del del segno puo essere un'alternativa all'insieme di def normale ma nn viceversa o no?
va be cmq visto che ormai mi bocciano mi sa che andrò avanti con gli studi di funzione e anche con qst storia dello studio del segno, anche se a dire il vero non voglio fare l'insistente, mi dispiace ma devo chiedere.
buonanotte
buonanotte
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Riguardo alla cosa che dicevi, lo studio del segno si fa quando hai un prodotto o un rapporto in una diseguaglianza e dall'altra parte hai 0.
Se tu hai la funzione $y=x/(logx)$ e devi farne le C.E., le cose da porre sono $x> 0$ e $logx\ne 0\Rightarrow x\ne 1$.
Se per caso tu volessi studiare il segno della funzione e ti trovassi dunque nella situazione di dover porre $x/(logx)>0$ ecco allora che dovresti fare lo studio del segno (come vedi un rapporto e dall'altra parte lo 0).
Paola
Riguardo alla cosa che dicevi, lo studio del segno si fa quando hai un prodotto o un rapporto in una diseguaglianza e dall'altra parte hai 0.
Se tu hai la funzione $y=x/(logx)$ e devi farne le C.E., le cose da porre sono $x> 0$ e $logx\ne 0\Rightarrow x\ne 1$.
Se per caso tu volessi studiare il segno della funzione e ti trovassi dunque nella situazione di dover porre $x/(logx)>0$ ecco allora che dovresti fare lo studio del segno (come vedi un rapporto e dall'altra parte lo 0).
Paola
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