Studio del segno di una funzione
Buongiorno volevo chiedere come si esegue qst esercizio:
$(2+x^2)e^(-(x)^2)>0$
io l'ho fatto cosi:
$e^(-(x)^2)*x^2+2*e^(-(x)^2)>0$
semplifico per $e^(-(x)^2)$
$x^2>-2$
$x>+sqrt(-2)$
$x>(-1)*(sqrt(-2))$
Ecco....ora dovrei fare lo studio del segno, il mio problema è qst:come lo faccio se $sqrt(-2)$ è impossibile?cioè quale sarebbe il risultato a qst punto? sarebbe R?o non esiste?
$(2+x^2)e^(-(x)^2)>0$
io l'ho fatto cosi:
$e^(-(x)^2)*x^2+2*e^(-(x)^2)>0$
semplifico per $e^(-(x)^2)$
$x^2>-2$
$x>+sqrt(-2)$
$x>(-1)*(sqrt(-2))$
Ecco....ora dovrei fare lo studio del segno, il mio problema è qst:come lo faccio se $sqrt(-2)$ è impossibile?cioè quale sarebbe il risultato a qst punto? sarebbe R?o non esiste?
Risposte
Avresti dovuto notare immediatamente che $x^2 > -2$ per $AA x in RR$.
Comunque il segno della tua funzione è facilmente deducibile pure senza operare conti (tra l'altro errati, vedi i tuoi ultimi passaggi): il fattore $(x^2 +2)$ è senz'altro sempre positivo perché somma di due termini sempre positivi; trattasi invece di un esponenziale il fattore $e^(-x^2)$, $>0$ per $AA x in RR$ (basti pensare al suo grafico). Pertanto il prodotto tra due valori sempre positivi è sempre positivo.
Comunque il segno della tua funzione è facilmente deducibile pure senza operare conti (tra l'altro errati, vedi i tuoi ultimi passaggi): il fattore $(x^2 +2)$ è senz'altro sempre positivo perché somma di due termini sempre positivi; trattasi invece di un esponenziale il fattore $e^(-x^2)$, $>0$ per $AA x in RR$ (basti pensare al suo grafico). Pertanto il prodotto tra due valori sempre positivi è sempre positivo.
scusa ma io nn capisco l'errore, cioè se ho $x^2-2>0$ la regola mica dice che devo fare -c/a sotto radice $ +sqrt(-2)$ e $-sqrt(-2)$ per qst tipo di disequazioni dove manca il secondo termine della disequazione?Cioè senza andare a intuito se io dovessi eseguire per forza qst conti perchè la mia prof vuole avere tutte le motivazioni di qst mondo coem dovrei fare?
$(2+x^2)e^(-(x)^2)>0$
Si tratta del prodotto di due fattori entrambi sempre positivi, quindi è sempre positivo.
Si tratta del prodotto di due fattori entrambi sempre positivi, quindi è sempre positivo.
"mm1":
scusa ma io nn capisco l'errore, cioè se ho $x^2-2>0$ la regola mica dice che devo fare -c/a sotto radice $ +sqrt(-2)$ e $-sqrt(-2)$ per qst tipo di disequazioni dove manca il secondo termine della disequazione?Cioè senza andare a intuito se io dovessi eseguire per forza qst conti perchè la mia prof vuole avere tutte le motivazioni di qst mondo coem dovrei fare?
Deciditi, perlomeno. Devi risolvere questa $x^2 -2>0$, o questa $x^2 +2>0$?
La prima è verificata per $x<-sqrt(2) vv x>sqrt(2)$, mentra la seconda per $AA x in RR$.
Ok, è vero, intendevo la seconda che risulta (-infinito,+infinito), ma volevo sapere proprio come faccio a provarlo eseguendo i conti, perchè la mia prof vuole la ''motivazione'' cioè in un certo senso devo darle la prova che il risultato sia quello, quindi dovrò usare quella regola mettendo -c/a sotto radice, come per le equazioni pure, però trovo quei 2 risultati che sono $-sqrt(-2)$ e$+sqrt(-2)$....quindi da li in poi com'è il ragionamento?perchè il problema è che $-2$ è un num negativo sotto radice che è impossibile
Vuoi la motivazione?
$x^2+2>0$ sempre, perché l'equazione di secondo grado associata non ammette soluzioni reali e il coefficiente del termine di secondo grado è positivo.
$x^2+2>0$ sempre, perché l'equazione di secondo grado associata non ammette soluzioni reali e il coefficiente del termine di secondo grado è positivo.
ah ok, praticamente le soluzioni che escono che hanno il -2 sotto radice sono impossibili, e proprio per qst motivo la disequazione è sempre magg di 0 è cosi allora?
"mm1":
ah ok, praticamente le soluzioni che escono che hanno il -2 sotto radice sono impossibili, e proprio per qst motivo la disequazione è sempre magg di 0 è cosi allora?
A parte quello, la disequazione [tex]$x^2 >-2$[/tex] è sempre verificata perché un qualsiasi numero elevato al quadrato, positivo o negativo che sia, è sempre maggiore di un intero (o reale) negativo!
Del resto volendo assurdamente calcolare il [tex]\Delta[/tex] dell'equazione associata, si ottiene [tex]\Delta=0-8<0$[/tex]; considerando quindi il segno di tale delta e pure il verso della disequazione, si conclude, libro di teoria alla mano, che essa è verificata per [tex]$\forall x \in \mathds{R}$[/tex].
Ok ora dovrei fare i limiti, qualcuno mi puo dire come si risolve quella forma indeterminata? Perchè sarebbe infinito *0...magari datemi qualche indicazione che provo a farla io. grazie ciao
La forma $\infty * 0$ la puoi sempre ricondurre ad una $0/0$ o $\infty/\infty$, per poi applicare De L'Hopital.
Infatti, se hai che $\lim_{x\to\x_0} f(x)=0,\lim_{x\to\x_0} g(x)=\infty$ allora il limite $\lim_{x\to\x_0} f(x)g(x)=\lim_{x\to\x_0} f(x)/(g(x)^{-1})=\lim_{x\to\x_0} g(x)/(f(x)^{-1})$
Paola
Infatti, se hai che $\lim_{x\to\x_0} f(x)=0,\lim_{x\to\x_0} g(x)=\infty$ allora il limite $\lim_{x\to\x_0} f(x)g(x)=\lim_{x\to\x_0} f(x)/(g(x)^{-1})=\lim_{x\to\x_0} g(x)/(f(x)^{-1})$
Paola
help me please
ah ok, scusa pensavo che nn avesse scritto nessuno, nn visualizzavo il tuo messaggio, allora ci provo....nn ditemi la soluzione
$(2+x^2)*e^-(x)^2$
$(2+x^2)/(e^-(x)^2)^-1$
faccio de l'hopital
$(+2x)/(-(1)*(e^-(x)^2)^-(2))$
$(+2x)/(-(1)*((1)/(e^-(x)^2)^(2))$
$(+2x)*(e^-(x)^2)^(2)$
Non so se è giusta, arrivato a qst punto però a vededrla cosi vorrei chiederedentro alla parentesi abbiamo $(e^-(x)^2)$ e questo mi darebbe 0 se x tende a -infinito, quindi non lo so perchè sono al punto di prima.
$(2+x^2)/(e^-(x)^2)^-1$
faccio de l'hopital
$(+2x)/(-(1)*(e^-(x)^2)^-(2))$
$(+2x)/(-(1)*((1)/(e^-(x)^2)^(2))$
$(+2x)*(e^-(x)^2)^(2)$
Non so se è giusta, arrivato a qst punto però a vededrla cosi vorrei chiederedentro alla parentesi abbiamo $(e^-(x)^2)$ e questo mi darebbe 0 se x tende a -infinito, quindi non lo so perchè sono al punto di prima.
no, mi sn accorto che nn ho derivato la $e$...allora sarebbe $e^-(x)^2$ derivato: $-2*(x)*e^-(x)$....quindi il risultato mi pare che sia +infinito per x che tende a -infinito?
Scusa ma la funzione esponenziale è [tex]e^{-x^2}[/tex]?
Da come scrivi le formule non si capisce bene...
Se è così a denominatore hai [tex](e^{-x^2})^{-1}=e^{x^2}[/tex], molti meno problemi nei calcoli, no?
In questo caso dopo aver applicato De L'H. ti ritrovi [tex]\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{e^{x^2}}=0[/tex].
Paola
Da come scrivi le formule non si capisce bene...
Se è così a denominatore hai [tex](e^{-x^2})^{-1}=e^{x^2}[/tex], molti meno problemi nei calcoli, no?
In questo caso dopo aver applicato De L'H. ti ritrovi [tex]\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{e^{x^2}}=0[/tex].
Paola
scusa mi puoi dire se i passaggi sono giusti?
allora parto da $(2+x^2)/((e^-(x)^2)^-1)$
che come hai detto lo faccio diventare
$((2+x^2)/(e^(x)^2))$
ora faccio de l'hopital, che vuol dire derivaer tutti quello che c'è dentro parentesi senza badare alle regole normali di derivazione.
$(+2x)/((2x)*(e^(x)^2)))$
quindi facendo il limite per x che tende a -infinito ho:
un'altra forma indeterminata che è +infinito/-infinito, ma dato che il denominatore è di grado maggiore perchè è un esponenziale
fa 0.
allora parto da $(2+x^2)/((e^-(x)^2)^-1)$
che come hai detto lo faccio diventare
$((2+x^2)/(e^(x)^2))$
ora faccio de l'hopital, che vuol dire derivaer tutti quello che c'è dentro parentesi senza badare alle regole normali di derivazione.
$(+2x)/((2x)*(e^(x)^2)))$
quindi facendo il limite per x che tende a -infinito ho:
un'altra forma indeterminata che è +infinito/-infinito, ma dato che il denominatore è di grado maggiore perchè è un esponenziale
fa 0.
scusa poi volevo chiedere un'altra cosa, l'altra volta mi avevi detto che lo studio del segno si fa al posto del normale insieme di definizione quando ho un caso $ a/b >0 $ per cui non sapendo se le due lettere indichino 2 numeri positivi o negativi faccio lo studio del segno(lo stesso discorso vale per la moltiplicazione).
Se io ho qst insieme di definizione:
$sqrt((e^x+2)/(log|2+x|))$
deevo fare cosi per caso:
1)$(e^x+2)>=0$
2)$(log|2+x|)>0$
3)$|2+x|!=0$
1)-infinito;+infinito
2)caso con valori (+)
$(log(2+x))>0$
$x>-1$
caso(-)
$(log(-2-x))<0$
$-2-x<0$
$x>-2$
3)caso (+)
$x!=-2$
caso(-)
$-x!=-2$
e poi faccio anzichè l'insieme di definizione normale, uso lo studio del segno per il fatto che cè la x, che è l'esponente della $e$ a numeratore che non la conosco, e cè anche una x a denominatore che nn conosco. quindi faccio lo studio del segno giusto'?
mentre se avessi una x solo al denominatore facevo lo studio del segno normale
Se io ho qst insieme di definizione:
$sqrt((e^x+2)/(log|2+x|))$
deevo fare cosi per caso:
1)$(e^x+2)>=0$
2)$(log|2+x|)>0$
3)$|2+x|!=0$
1)-infinito;+infinito
2)caso con valori (+)
$(log(2+x))>0$
$x>-1$
caso(-)
$(log(-2-x))<0$
$-2-x<0$
$x>-2$
3)caso (+)
$x!=-2$
caso(-)
$-x!=-2$
e poi faccio anzichè l'insieme di definizione normale, uso lo studio del segno per il fatto che cè la x, che è l'esponente della $e$ a numeratore che non la conosco, e cè anche una x a denominatore che nn conosco. quindi faccio lo studio del segno giusto'?
mentre se avessi una x solo al denominatore facevo lo studio del segno normale
scusa poi volevo chiedere un'altra cosa, l'altra volta mi avevi detto che lo studio del segno si fa al posto del normale insieme di definizione quando ho un caso $ a/b >0 $ per cui non sapendo se le due lettere indichino 2 numeri positivi o negativi faccio lo studio del segno(lo stesso discorso vale per la moltiplicazione).
Se io ho qst insieme di definizione:
$sqrt((e^x+2)/(log|2+x|))$
deevo fare cosi per caso:
1)$(e^x+2)>=0$
2)$(log|2+x|)>0$
3)$|2+x|!=0$
1)-infinito;+infinito
2)caso con valori (+)
$(log(2+x))>0$
$x>-1$
caso(-)
$(log(-2-x))<0$
$-2-x<0$
$x>-2$
3)caso (+)
$x!=-2$
caso(-)
$-x!=-2$
e poi faccio anzichè l'insieme di definizione normale, uso lo studio del segno per il fatto che cè la x, che è l'esponente della $e$ a numeratore che non la conosco, e cè anche una x a denominatore che nn conosco. quindi faccio lo studio del segno giusto'?
mentre se avessi una x solo al denominatore facevo lo studio del segno normale
Se io ho qst insieme di definizione:
$sqrt((e^x+2)/(log|2+x|))$
deevo fare cosi per caso:
1)$(e^x+2)>=0$
2)$(log|2+x|)>0$
3)$|2+x|!=0$
1)-infinito;+infinito
2)caso con valori (+)
$(log(2+x))>0$
$x>-1$
caso(-)
$(log(-2-x))<0$
$-2-x<0$
$x>-2$
3)caso (+)
$x!=-2$
caso(-)
$-x!=-2$
e poi faccio anzichè l'insieme di definizione normale, uso lo studio del segno per il fatto che cè la x, che è l'esponente della $e$ a numeratore che non la conosco, e cè anche una x a denominatore che nn conosco. quindi faccio lo studio del segno giusto'?
mentre se avessi una x solo al denominatore facevo lo studio del segno normale
Però nello stesso tempo mi chiedevo anche il numeratore è per forza positivo perchè è la somma di 2 numeri positivi, quindi forse va fatto un insieme di definizione normale.....bo fra i 2 casi dico che va fatto quello normale, perchè il numeratore è positivo per forza....
quello ''anormale'' si fa ad esempio se ho 2 numeri alla seconda tipo $sqrt(1+x^2)/x^2$ perchè possono anche essere negativi
quello ''anormale'' si fa ad esempio se ho 2 numeri alla seconda tipo $sqrt(1+x^2)/x^2$ perchè possono anche essere negativi
"mm1":
quindi facendo il limite per x che tende a -infinito ho:
un'altra forma indeterminata che è +infinito/-infinito, ma dato che il denominatore è di grado maggiore perchè è un esponenziale
fa 0.
Il discorso è che il [tex]2x[/tex] a denominatore si semplifica con quello a numeratore.
Riguardo alla cosa dello studio del segno, non si capisce una parola dal tuo discorso. Scrivilo in italiano per favore e ti risponderò volentieri.
Paola
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