Studio del segno di una funzione
Buongiorno a tutti,
intanto vi ringrazio per spendere qualche minuto a leggere questa domanda.
Sto studiando una funzione, la seguente
\(\displaystyle log(x)- arctan (x-1) \)
Mi esce praticamente tutto (derivata prima, seconda, asintoti, simmetrie,crescenze, punti di flesso ecc) , apparte una cosa (fondamentale), il segno.
Ho un po' di difficoltà con alcuni studi del segno (credo per lacune antiche..).
Ovviamente pongo la funzione maggiore uguale a 0.
Quindi, per non saper nè leggere nè scrivere mi dovrebbe uscire,
log(x)>arctan(x-1)
Ora: come ragionate voi?
A logica mi chiederei quando la funzione logaritmo è maggiore della funzione arctan(x-1).
Sapendo che log(x) è definita solo quando è maggiore di 0, quindi quando x>1. E, sapendo che arctan(x-1) è maggior di 0 quando è maggiore di 1, direi che la funzione è positiva per x>1 (che rispetta entrambe le condizioni).
Ma dal grafico in verità è sempre negativa.
Algebricamente sennò metterei tutto sotto esponenziale, per capire quando x è maggiore, ma dopo non riesco ad andare avanti perchè avrei un
\(\displaystyle e^{(arctan(x-1))} \)
e non saprei cosa dire su questa cosa.
Grazie a tutti per la gentilezza e il tempo che dedicate per leggere questi miei (stupidi) dubbi,
ancora grazie.
intanto vi ringrazio per spendere qualche minuto a leggere questa domanda.
Sto studiando una funzione, la seguente
\(\displaystyle log(x)- arctan (x-1) \)
Mi esce praticamente tutto (derivata prima, seconda, asintoti, simmetrie,crescenze, punti di flesso ecc) , apparte una cosa (fondamentale), il segno.
Ho un po' di difficoltà con alcuni studi del segno (credo per lacune antiche..).
Ovviamente pongo la funzione maggiore uguale a 0.
Quindi, per non saper nè leggere nè scrivere mi dovrebbe uscire,
log(x)>arctan(x-1)
Ora: come ragionate voi?
A logica mi chiederei quando la funzione logaritmo è maggiore della funzione arctan(x-1).
Sapendo che log(x) è definita solo quando è maggiore di 0, quindi quando x>1. E, sapendo che arctan(x-1) è maggior di 0 quando è maggiore di 1, direi che la funzione è positiva per x>1 (che rispetta entrambe le condizioni).
Ma dal grafico in verità è sempre negativa.
Algebricamente sennò metterei tutto sotto esponenziale, per capire quando x è maggiore, ma dopo non riesco ad andare avanti perchè avrei un
\(\displaystyle e^{(arctan(x-1))} \)
e non saprei cosa dire su questa cosa.
Grazie a tutti per la gentilezza e il tempo che dedicate per leggere questi miei (stupidi) dubbi,
ancora grazie.
Risposte
devi fare uno studio grafico
disegna entrambe le funzioni
disegna entrambe le funzioni
"HiLuke1":
... Sapendo che log(x) è definita solo quando è maggiore di 0, quindi quando x>1. ...
Da quando?
Ciao, grazie per la risposta.
Sapevo che quando studi la funzione logaritmo, devi porre l'argomento, che in questo caso sarebbe la x, maggiore uguale a 0.
Mi sbaglio?
Sapevo che quando studi la funzione logaritmo, devi porre l'argomento, che in questo caso sarebbe la x, maggiore uguale a 0.
Mi sbaglio?
Non è quello che hai scritto tu ...
maggiore stretto
infatti solo la x all'argomento e non tutto il logaritmo
infatti solo la x all'argomento e non tutto il logaritmo
avevo modificato con maggiore stretto ma non mi ha confermato la modifica.
Grazie per la precisione (necessaria e giusta)
Ma volevo delucidazioni sul segno comunque..ho provato a disegnarli entrambi, ma comunque c'è positività come dicevo da 1 in poi.
Però dal grafico computato al pc è sempre negativa la funzione
Grazie per la precisione (necessaria e giusta)
Ma volevo delucidazioni sul segno comunque..ho provato a disegnarli entrambi, ma comunque c'è positività come dicevo da 1 in poi.
Però dal grafico computato al pc è sempre negativa la funzione
Hai scritto
Ma non è vero ... per esempio $log(1/e)=-1$, come vedi $x<1$, la funzione è definita ed è pure negativa ...
Come detto da kobe devi fare i grafici per vedere dove (più o meno) è negativa, poi se vuoi un risultato più preciso devi usare metodi come la bisezione, Newton, ecc.
Però se fai il grafico vedrai che non è sempre negativa (il che mi fa venire il sospetto che o sbagli a disegnare o la funzione è un'altra ...)
D'altra parte basta ragionarci un attimo ... la funzione logaritmo cresce all'infinito (seppure lentissimamente) mentre l'arcotangente è limitata, non va oltre $pi/2$, perciò traine tu le conclusioni ...
"HiLuke1":
... Sapendo che log(x) è definita solo quando è maggiore di 0, quindi quando x>1.
Ma non è vero ... per esempio $log(1/e)=-1$, come vedi $x<1$, la funzione è definita ed è pure negativa ...
Come detto da kobe devi fare i grafici per vedere dove (più o meno) è negativa, poi se vuoi un risultato più preciso devi usare metodi come la bisezione, Newton, ecc.
Però se fai il grafico vedrai che non è sempre negativa (il che mi fa venire il sospetto che o sbagli a disegnare o la funzione è un'altra ...)
D'altra parte basta ragionarci un attimo ... la funzione logaritmo cresce all'infinito (seppure lentissimamente) mentre l'arcotangente è limitata, non va oltre $pi/2$, perciò traine tu le conclusioni ...
Per $x=1$ sia il logaritmo che l'arcotangente si annullano.
Domanda: quel logaritmo è in base $e$ o in base $10$? Quando hai fatto il grafico al computer hai controllato di inserire correttamente la base del logaritmo?
Se si tratta di logaritmo in base $e$ allora la funzione diventa positiva poco dopo $3$,
se il logaritmo è in base $10$ allora la funzione diventa positiva attorno a $35$.
In ogni caso da un certo punto in poi la funzione diventa positiva perché $lim_(x-> +oo) logx = +oo$ mentre $lim_(x-> +oo) arctan(x-1) = pi/2$
Domanda: quel logaritmo è in base $e$ o in base $10$? Quando hai fatto il grafico al computer hai controllato di inserire correttamente la base del logaritmo?
Se si tratta di logaritmo in base $e$ allora la funzione diventa positiva poco dopo $3$,
se il logaritmo è in base $10$ allora la funzione diventa positiva attorno a $35$.
In ogni caso da un certo punto in poi la funzione diventa positiva perché $lim_(x-> +oo) logx = +oo$ mentre $lim_(x-> +oo) arctan(x-1) = pi/2$
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