Studio del segno di una disequazione
Sono incappato in questo esercizio:
non ho capito perchè il fattore 1° $4-x^2>0 per -2
io lo analizzerei scomponendolo in $(x+2)(x-2)>0->(x+2)>0per X>-2^^(x-2)>0per x>2$ quindi facendo lo schemino e moltiplicando i segni verrebbe $-2>x>2$
ma forse mi sfugge qualcosa, forse non so neanche di cosa si sta parlando
Risposte
Ciao
per prima cosa ti chiarisco cosa é il $\Delta$
prendendo una qualsiasi equazione di secondo grado nella forma [tex]ax^{2}+bx+c=0[/tex] si definisce il suo $\Delta$
come
[tex]\Delta = b^{2}-4ac[/tex]
dove $a$, $b$ e $c$ sono i coefficienti moltiplicativi che hai nell'equazione
tornando al tuo esercizio vedrai che
[tex]4-x^{2}>0 \Rightarrow -x^{2}>-4 \Rightarrow x^{2}<4 \Rightarrow x<\sqrt{4} \Rightarrow x<\pm 2[/tex]
ovvero
[tex]-2 < x < 2[/tex]
il tuo metodo di scomporre il prodotto notevole non é per nulla sbagliato, é solo un'altra strada
[tex]4-x^{2}>0 \Rightarrow (2-x)(2+x)>0[/tex]
analizzando separatamente i due elementi hai
primo elemento
[tex]2-x>0 \Rightarrow -x>-2 \Rightarrow x<2[/tex]
secondo elemento
[tex]2+x>0 \Rightarrow x>-2[/tex]
mettendo insieme i due risultati ottieni
ho indicato con la linea tratteggiata i punti in cui le funzioni sono negative e con la linea continua dove sono positive
come vedi il risultato coincide con quello trovato con il primo metodo
spero di esserti stato utile
se hai ancora dubbi chiedi pure
per prima cosa ti chiarisco cosa é il $\Delta$
prendendo una qualsiasi equazione di secondo grado nella forma [tex]ax^{2}+bx+c=0[/tex] si definisce il suo $\Delta$
come
[tex]\Delta = b^{2}-4ac[/tex]
dove $a$, $b$ e $c$ sono i coefficienti moltiplicativi che hai nell'equazione
tornando al tuo esercizio vedrai che
[tex]4-x^{2}>0 \Rightarrow -x^{2}>-4 \Rightarrow x^{2}<4 \Rightarrow x<\sqrt{4} \Rightarrow x<\pm 2[/tex]
ovvero
[tex]-2 < x < 2[/tex]
il tuo metodo di scomporre il prodotto notevole non é per nulla sbagliato, é solo un'altra strada
[tex]4-x^{2}>0 \Rightarrow (2-x)(2+x)>0[/tex]
analizzando separatamente i due elementi hai
primo elemento
[tex]2-x>0 \Rightarrow -x>-2 \Rightarrow x<2[/tex]
secondo elemento
[tex]2+x>0 \Rightarrow x>-2[/tex]
mettendo insieme i due risultati ottieni
ho indicato con la linea tratteggiata i punti in cui le funzioni sono negative e con la linea continua dove sono positive
come vedi il risultato coincide con quello trovato con il primo metodo
spero di esserti stato utile
se hai ancora dubbi chiedi pure
@ Summerwind
Hai dato una bella spiegazione molto completa, ma sei caduto in una forma che dal punto di vista algebrico è proprio scorretta:
1) $sqrt4=2$ e niente altro, quindi se vuoi risolvere l'equazione $x^2=4$ la risposta può essere solo $x=+-sqrt4$ da cui $x=+-2$
2) la forma da [tex]x<\pm 2[/tex] non ha nessun significato, devi scrivere direttamente [tex]-2 < x < 2[/tex]
Tutto il resto, invece, è corretto e molto dettagliato, mi spiace che tu sia scivolato su questa insidiosa buccia di banana.
Hai dato una bella spiegazione molto completa, ma sei caduto in una forma che dal punto di vista algebrico è proprio scorretta:
1) $sqrt4=2$ e niente altro, quindi se vuoi risolvere l'equazione $x^2=4$ la risposta può essere solo $x=+-sqrt4$ da cui $x=+-2$
2) la forma da [tex]x<\pm 2[/tex] non ha nessun significato, devi scrivere direttamente [tex]-2 < x < 2[/tex]
Tutto il resto, invece, è corretto e molto dettagliato, mi spiace che tu sia scivolato su questa insidiosa buccia di banana.
hai perfettamente ragione, mi sono accorto adesso della stupidaggine
ho scritto un po' troppo alla veloce
@dRyW: chiedo venia!
ho scritto un po' troppo alla veloce
@dRyW: chiedo venia!
Si perfetto, adesso ho capito! Anche se:
nel terzo passaggio hai cambiato di segno, ma una volta raggiunto il risultato finale $(x<+-2)$ bisogna analizzarlo considerando però il segno iniziale della disequazione, perchè se prendessi singolarmente $x<+-2->x<2^^x<-2 rArr-2>x>2$ Giusto?
quindi a maggior ragione come potrei arrivare alla soluzione considerando soltanto $4-x^2>0$, voglio dire io l'unica cosa che farei sarebbe $-x^2>-4->x<2$ il che non mi porta da nessuna parte..
@Summerwind78 nessun problema, perdonatemi ma ho una visione tutta mia della matematica...
"Summerwind78":
Ciao
[tex]4-x^{2}>0 \Rightarrow -x^{2}>-4 \Rightarrow x^{2}<4 \Rightarrow x<\sqrt{4} \Rightarrow x<\pm 2[/tex]
ovvero
[tex]-2 < x < 2[/tex]
nel terzo passaggio hai cambiato di segno, ma una volta raggiunto il risultato finale $(x<+-2)$ bisogna analizzarlo considerando però il segno iniziale della disequazione, perchè se prendessi singolarmente $x<+-2->x<2^^x<-2 rArr-2>x>2$ Giusto?
"@melia":
@ Summerwind
Hai dato una bella spiegazione molto completa, ma sei caduto in una forma che dal punto di vista algebrico è proprio scorretta:
1) $sqrt4=2$ e niente altro, quindi se vuoi risolvere l'equazione $x^2=4$ la risposta può essere solo $x=+-sqrt4$ da cui $x=+-2$
quindi a maggior ragione come potrei arrivare alla soluzione considerando soltanto $4-x^2>0$, voglio dire io l'unica cosa che farei sarebbe $-x^2>-4->x<2$ il che non mi porta da nessuna parte..
@Summerwind78 nessun problema, perdonatemi ma ho una visione tutta mia della matematica...
Proprio come ti ha detto @melia, quel risultato è l'unico privo di senso
inoltre non si deve nuovamente cambiare il verso della disequazione
la tua risposta $-2 > x > 2$ non solo non è corretta ma implica un fraintendimento logico alla base
la scrittura tra i due segni di maggiore (nel tua risposta intendo) significa che entrambe le condizioni sono valide contemporaneamente, ma non è possibile che $x$ sia minore di -2 e maggiore di 2 allo stesso tempo
ammettendo che la tua risposta fosse giusta solo per prenderla come esempio, la si dovrebbe scrivere correttamente indicando un "oppure" ovvero "$x$ minore di -2 oppure $x$ maggiore di 2" che in termini matematici si traduce in
[tex]x<-2 \vee x>2[/tex]
inoltre non si deve nuovamente cambiare il verso della disequazione
la tua risposta $-2 > x > 2$ non solo non è corretta ma implica un fraintendimento logico alla base
la scrittura tra i due segni di maggiore (nel tua risposta intendo) significa che entrambe le condizioni sono valide contemporaneamente, ma non è possibile che $x$ sia minore di -2 e maggiore di 2 allo stesso tempo
ammettendo che la tua risposta fosse giusta solo per prenderla come esempio, la si dovrebbe scrivere correttamente indicando un "oppure" ovvero "$x$ minore di -2 oppure $x$ maggiore di 2" che in termini matematici si traduce in
[tex]x<-2 \vee x>2[/tex]
Non è questo il problema! Come l'analizzeresti la disequazione $4-x^2>0$?
quello se permetti è proprio un problema, se scrivi una cosa del genere durante un compito o un esame, anche se i valori numerici fossero corretti, il risultato sarebbe errato
venendo alla disequazione: ma non ne abbiamo parlato per tutto il thread di come si risolva quella disequazione??
la risposta è $-2 < x <2$
venendo alla disequazione: ma non ne abbiamo parlato per tutto il thread di come si risolva quella disequazione??
la risposta è $-2 < x <2$
"dRyW":
Non è questo il problema! Come l'analizzeresti la disequazione $4-x^2>0$?
Riassumo tutto il lavoro si Summerwind78
I modo
Si tratta di una disequazione di secondo grado quindi
1) si risolve l'equazione associata $4-x^2=0$ che ha soluzioni $x=+-2$
2) si osserva che il coefficiente del termine di secondo grado è negativo
3) si utilizza il grafico della parabola o la regola "Un trinimio di secondo grado (ma anche se è un binomio va bene uguale) ha lo stesso segno del coefficiente di $x^2$ per valori esterni alle soluzioni e segno opposto per valori interni"
A noi serve segno opposto, quindi valori interni alle soluzioni: $-2 < x <2$
II modo
Scomponi il fattore di secondo grado in due fattori di primo grado $(2-x)(2+x)>0$, risolvi le due disequazioni di primo grado, fai il grafico di studio del segno che Summerwind78 ti ha postato, ma che io non sono capace di postare. Trovi la soluzione.
@melia sei una moderatrice e non sai postare un'immagine? 
Grazie, capito tutto! Mi ero perso su $-x> -2$ e tutt'ora sto ragionando su come verrebbe il grafico di studio del segno se consideravamo appunto la disequazione verificata quindi maggiore di zero per il valori di $-x$ superiori a -2, è possibile lasciare la x negativa? Questo non sarebbe l'orario adatto infatti sto dando qualche numero 
"Summerwind78":
@melia sei una moderatrice e non sai postare un'immagine?
Sono una vecchietta e anche un po' imbranata con il computer.
Sono una vecchietta e anche un po' imbranata con il computer.
se vuoi una mano mandami un MP. per queste cose aiuto sempre molto volentieri
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