Studio del segno della funzione

[myriam.92]

data la funzione
$1+log _(1/2)((8x-4)/(x^(2)+x))$
Qual è il più grande sottoinsieme di R in cui risulta $f(X)>0$?

Mi sono accorta che nel porre tutto l'argomento $>0$ per trovare il campo di esistenza ottengo dal grafico $-11/2$

Ponendo invece la $f(x)>0$, poichè al secondo membro ottengo 1 ( applicando $log_(1/2)(1/2)^(0)$ ), lo depenno perchè c'è già un 1 al primo membro.

Sbaglio (spero di sì), o mi resta la sola frazione come nel C.E. ma con verso $<0$ ? Se così fosse, non esisterebbero soluzioni comuni al sistema

[myriam.92]

"axpgn":anche se "portar fuori" il 4 è inutile anzi fuorviante ... cos'hai fatto poi?

Perche Non posso riportare4 a secondo membro e ottenere 1/6?
Il risultato verrebbe però diverso dai valori esterni delle radici quarte positive e negative di 2/3 ...
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Mmm potrei averne una sola tipo 2/3 o 3/2.. ? Qualche manipolazione potrebbe essere utile , moltiplicare o dividere per qualcosa ma.nn so cosa... E ciò mi fa sentire in colpa.anche per i limiti che richiedono questo alle volte e io non trovo via di scampo T.T

[axpgn]

Fammi vedere i passaggi che hai fatto così capisco dove sta l'inghippo ...
Per la seconda (ed in generale per tutte) le manipolazioni DEVONO essere fatte per poter giungere ad una forma "risolvibile" (facilmente) ... inizia col "separare" gli esponenti (tipo $3^(x+3)=3^x*3^3$ ...) ...

[myriam.92]

Per la prima sono proprio fuori strada?

"Myriam92":$ 4log_(2/3)x>log_(2/3)(2/3) $
E il 4 l'ho portato alla fine a dividere a secondo membro, da cui x>1/6

Non sono nemmeno i valori esterni delle radici quarte positive e negative di 2/3 la soluzione?( Cosa che dedurrei non portando fuori 4, come mi hai consigliato)
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L'avevo fatta quella "scomposizione"... $(3/2)^x×(3/2)^3×3^x<0 $ che però è impossibile...

[axpgn]

Ok, vediamole in dettaglio ...

Una tecnica usata per la risoluzione di disequazioni esponenziali (o logaritmiche) è quella di arrivare ad una forma che abbia ad entrambi i termini un esponenziale (o un logaritmo) con la base uguale in modo da "ridurre" la disequazione originaria ad una "normale" disequazione fra gli esponenti (o agli argomenti), che mantiene lo stesso verso se la base è maggiore di uno o di verso contrario viceversa ...

$(2^(x+2))^2*3^x<2/3^(x+3)$

Come detto, per prima cosa "separo" gli esponenti ...

$(2^(2x+4))*3^x<2/(3^x*3^3)\ ->\ 2^(2x)*2^4*3^x<2/(3^x*3^3)$

Poi "porto" da un parte gli elementi con l'incognita e gli altri dall'altro lato e cerco di arrivare ad un'unica base ...

$4^x*3^x*3^x<2/(2^4*3^3)\ ->\ 4^x*9^x<1/(2*3)^3\ ->\ (4*9)^x<6^(-3)\ ->\ 6^(2x)<6^(-3)$

A questo punto applico quanto detto ...

$2x<-3\ ->\ x<-3/2$


Per l'altra, eri sulla buona strada perché giunta a questo punto ...

$ 4log_(2/3)x
sei "quasi" alla forma finale, che è questa ..

$ log_(2/3)x^4
Qui, come detto, la trasformiamo in $x^4>2/3$ da cui $x>root(4)(2/3$ ...

[myriam.92]

Adopero allora sempre la tua tecnica per gli esponenziali ( da un lato gli elementi con incognita e dall'altra cerco un'unica base) ... Lo so però quale sarà la tua risposta xD
Cmq
Non era per nulla facile ma me la sn cercata xD
Ma..
$ (3/2)^x×(3/2)^3×3^x<0 $ di questa che me ne faccio? Mi avrebbe solo fatto sbagliare?
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Io ancora nn capisco perché il 4 nn me l'hai fatto portare a secondo membro ( visto che il risultato cambia, cosa è che sbaglio?)
E quella radice alla fine .... Se ne prende solo una !??
$ x>root(4)(2/3 $ o i tuoi puntini di sospensione stanno per$ x<-root(4)(2/3)$?

Grazie infinite comunque!

[axpgn]

Per definizione le radici di indice pari "producono" un solo risultato, quello positivo ... quando calcoli la radice quadrata di quattro, ottieni solo $+2$ non $+-2$ ... ricordo che stiamo parlando dell'estrazione della radice quadrata, non stiamo parlando delle soluzioni di un'equazione di secondo grado (che sono due e a conferma di quanto detto, per averle entrambe anteponiamo $+-$ davanti alla radice nella formula risolutiva) ... è una sottile differenza ma fondamentale ...

La "mia" tecnica non è l'unica ma soprattutto non è sempre la più adatta in ogni caso ... in quell'espressione (di cui non ho controllato l'esattezza) NON hai un'unica base ma due ... ... quindi non sei arrivata alla "fine" ...

"Myriam92":Io ancora nn capisco perché il 4 nn me l'hai fatto portare a secondo membro ( visto che il risultato cambia, cosa è che sbaglio?)

Il risultato NON cambia ma era una fatica inutile e foriera di complicazioni ...

$4log_(2/3) x < log_(2/3) (2/3)\ ->\ log_(2/3) x < (log_(2/3) (2/3))/4\ ->\ log_(2/3) x < log_(2/3) root(4)(2/3)\ ->\ x > root(4)(2/3)$

[myriam.92]

"axpgn":ricordo che stiamo parlando dell'estrazione della radice quadrata, non stiamo parlando delle soluzioni di un'equazione di secondo grado

Ma sembra si riconduca a quella!

$ (2^(x+2))^2*3^x<2/3^(x+3) $
Non mi ero accorta che qui hai elevato al quadrato il primo fattore... Why?

[axpgn]

"Myriam92":[quote="axpgn"]ricordo che stiamo parlando dell'estrazione della radice quadrata, non stiamo parlando delle soluzioni di un'equazione di secondo grado

Ma sembra si riconduca a quella![/quote]

"axpgn":... è una sottile differenza ma fondamentale ...

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Non ho elevato al quadrato, il testo originale era così ... mi sa che me lo sono perso ... sorry, cmq non cambia niente nella sostanza ... il procedimento è lo stesso ...

[myriam.92]

$log_(1/2)( x^2/(4-3x))>0$
Ha soluzione ]-4;1[?

[axpgn]

No, quello è solo la soluzione dell'equazione di secondo grado ...

[myriam.92]

Esatto, al numeratore.
Denominatore: x>4/3
( Prendo gli intervalli negativi perché ho cambiato verso)
CE: X<4/3


Salvami, sto annegando in un bicchiere d'acqua xD

[axpgn]

Si arriva a questa $x^2/(4-3x)>1$ da cui $(x^2+3x-4)/(4-3x)>0$

Studio i segni di $N$ e $D$

$N>0\ :\ \ x< -4 uu 1
$D>0\ :\ \ x<4/3$

Quindi la disequazione è verificata per $x< -4 uu 1

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[myriam.92]

Ma se cambiamo verso ( per via della base del log) nn dobbiamo studiare i valori per i quali la funzione è negativa?! ( Forse tu studi dove è positiva per comodità...) Ma gli intervalli del grafico perché li prendi positivi pure ?

[axpgn]

Sbadataggine mia ... sorry ... lo studio del segno va bene comunque, sono le conclusioni che vanno prese al contrario ...

[myriam.92]

Significa che se mi servono i valori dove essa è negativa, mi scelgo alla fine gli intervalli positivi!? Ma perché???T.T
Ne sto vedendo tra l'altro una dello stesso tipo e prendendo gli.intervalli negativi risulta...

[axpgn]

Non l'ho capita questa ... data la soluzione (sbagliata) che ho trovato prima basta prendere gli "altri" intervalli (tenendo conto del C.E., che prima era incluso nello studio del segno e adesso no) ... in conclusione la soluzione è $-4

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[myriam.92]

Dopo 8 post alla fine a avevo ragione io? Menomale va xD
Grazie

[axpgn]

Yes