Studio completo di funzione

[cinzia stellina]

mi sapreste calcolare , fino alla derivata seconda questa funzione? f(x)= x^2+x-1/x^2+x-2 ..mi serve per l'esame di maturità =( vorrei esser spiegata tutti i vari passaggi dal dominio fino alla derivata seconda..grazie mille in anticipo

[Mirko C.]

Sezione sbagliata, sposto.
Titolo non regolamentare, cambio.

[bimbozza]

Svolgo lo studio della funzione

[math]f(x)= \frac{x^2+x-1}{x^2+x-2}[/math]

.

Per prima cosa dobbiamo calcolare il dominio ponendo il denominatore diverso da 0.

[math]x^2+x-2 \not= 0[/math]

equazione di secondo grado con soluzioni -2 e 1, quindi il dominio è

[math]x \not= 1[/math]

[math]x \not= -2[/math]

Simmetria:
vediamo se f(-x) è uguale a -f(x) , f(x) o nessuno delle due.

[math]f(-x)= \frac{(-x)^2-x-1}{(-x)^2-x-2}= \frac{x^2-x-1}{x^2-x-2}[/math]

quindi la funzione non è ne pari ne dispari.


Asintoto verticale:
dato che abbiamo dei punti esclusi dal dominio vediamo com'è l'andamento della funzione quando tende a quei punti...

[math]lim_{x \to -2^+} \frac{x^2+x-1}{x^2+x-2}=- \infty[/math]

.

[math]lim_{x \to -2^-} \frac{x^2+x-1}{x^2+x-2}= \infty[/math]

.

[math]lim_{x \to 1^+} \frac{x^2+x-1}{x^2+x-2}=\infty[/math]

.

[math]lim_{x \to 1^-} \frac{x^2+x-1}{x^2+x-2}= - \infty[/math]

.

Asintoti orizzontali:

[math]lim_{x \to \infty} \frac{x^2+x-1}{x^2+x-2}= 1[/math]

.
Essendoci un asintoto orizzontale non cerchiamo quelli obliqui.

Intersezioni con gli assi:
con l'asse y

[math]\left{
y=\frac{x^2+x-1}{x^2+x-2}\\
x=0\\
[/math]

da cui troviamo il punto

[math](0, 1/2)[/math]

con l'asse x

[math]\left{
y=\frac{x^2+x-1}{x^2+x-2}\\
y=0\\
[/math]

da cui troviamo i punto

[math](\frac{-1- \sqrt 5}{2}, 0)[/math]

e

[math](\frac{-1+ \sqrt 5}{2}, 0)[/math]

Per capire l'andamento della funzione ci servono le derivate:

[math]f'(x)= \frac{-2x-1}{(x^2+x-2)^2}[/math]

[math]f''(x)= \frac{6(x^2+x+1)}{(x^2+x-2)^3}.[/math]

pongo la derivata prima >0

[math]\frac{-2x-1}{(x^2+x-2)^2}>0[/math]

che ha soluzioni

[math]x1[/math]

e [math]x