Spunti per esame di stato
Frequento il quinto anno del liceo scientifico e quest'anno l'esame scritto di matematica e fisica è stato sostituito da un elaborato scritto delle stesse materie, e in particolare mi è stato assegnato l'argomento "Derivate e grandezze fisiche del moto (posizione, velocità, accelerazione)". Dovrei sviluppare l'argomento in modo originale e non voglio parlare delle stesse banalissime cose, anche perché ci tengo particolarmente a queste materie.
Avevo pensato di parlare delle serie di Taylor, e quindi di come trasformare qualsiasi funzione non polinomiale in polinomiale usando le derivate. Userei l'esempio del moto di un pendolo semplice la cui posizione sia proporzionale a $sin(theta)$, che per piccoli angoli possiamo sostituire direttamente con $theta$ o per una migliore approssimazione con il polinomio corrispondente.
Poi ho sentito parlare del "jerk", ovvero la derivata dell'accelerazione, che può essere utile per quantificare la variazione dell'accelerazione in funzione del tempo. So che può essere utile in certi campi ma non avrei molto di cui parlare, se non qualche accenno.
Quindi quello che vorrei sapere è se avreste qualche altra idea da suggerirmi, o anche qualcosa da aggiungere a quello che ho detto.
Grazie
Avevo pensato di parlare delle serie di Taylor, e quindi di come trasformare qualsiasi funzione non polinomiale in polinomiale usando le derivate. Userei l'esempio del moto di un pendolo semplice la cui posizione sia proporzionale a $sin(theta)$, che per piccoli angoli possiamo sostituire direttamente con $theta$ o per una migliore approssimazione con il polinomio corrispondente.
Poi ho sentito parlare del "jerk", ovvero la derivata dell'accelerazione, che può essere utile per quantificare la variazione dell'accelerazione in funzione del tempo. So che può essere utile in certi campi ma non avrei molto di cui parlare, se non qualche accenno.
Quindi quello che vorrei sapere è se avreste qualche altra idea da suggerirmi, o anche qualcosa da aggiungere a quello che ho detto.
Grazie
Risposte
Beh, dipende da quali sono quelle che consideri le "stesse banalissime cose" da non proporre.
A cosa in particolare ti riferisci?
A cosa in particolare ti riferisci?
Per cose banalissime intendo per esempio il dire che la velocità istantanea è la derivata della posizione in funzione del tempo, con relativa dimostrazione (limite del rapporto incrementale...) . Lo stesso vale per l'accelerazione come derivata seconda della posizione. Queste cose dovrò comunque affrontarle nell'elaborato ma non vorrei soffermarmi più del necessario.
Per l'approssimazione $sin theta ~~ theta$ non serve Taylor: basta il limite notevole $lim_(theta -> 0) (sin theta)/theta = 1$.
Quello che potrebbe essere interessante è osservare come conoscendo ovunque l'accelerazione di un punto materiale e conoscendo la sua posizione e la sua velocità in un solo stesso istante si riesce a determinare la sua legge oraria. Questo si traduce in un problema di Cauchy del secondo ordine:
$\{(x^(\prime \prime) (t) = a(t)), (x(t_0)=x_0), (x^\prime (t_0) = v_0):}$
che si dimostra facilmente avere un'unica soluzione (basta fare il calcolo esplicito con una integrazione per parti).
Di qui potresti passare ad analizzare relazioni più complicate tra posizione e velocità/accelerazione/entrambe che consentono di determinare univocamente le leggi orarie: ad esempio, il problema di Cauchy:
$\{(x^{\prime \prime} (t) + omega^2 x(t) = 0), (x(t_0) = x_0), (x^\prime (t_0) = v_0):}$
determina un moto armonico, oppure un problema del tipo:
$\{(x^{\prime \prime} (t) + mu x^\prime (t) = 0), (x(t_0) = x_0), (x^\prime (t_0) = v_0):}$
che determina l'equazione di un moto smorzato... Gli esempi sono tanti ed avresti una vasta gamma di scelta.
In più, per queste classi di problemi semplici, è possibile ottenere formule esplicite per rappresentare le soluzioni (mediante seni e coseni o esponenziali).
Quello che potrebbe essere interessante è osservare come conoscendo ovunque l'accelerazione di un punto materiale e conoscendo la sua posizione e la sua velocità in un solo stesso istante si riesce a determinare la sua legge oraria. Questo si traduce in un problema di Cauchy del secondo ordine:
$\{(x^(\prime \prime) (t) = a(t)), (x(t_0)=x_0), (x^\prime (t_0) = v_0):}$
che si dimostra facilmente avere un'unica soluzione (basta fare il calcolo esplicito con una integrazione per parti).
Di qui potresti passare ad analizzare relazioni più complicate tra posizione e velocità/accelerazione/entrambe che consentono di determinare univocamente le leggi orarie: ad esempio, il problema di Cauchy:
$\{(x^{\prime \prime} (t) + omega^2 x(t) = 0), (x(t_0) = x_0), (x^\prime (t_0) = v_0):}$
determina un moto armonico, oppure un problema del tipo:
$\{(x^{\prime \prime} (t) + mu x^\prime (t) = 0), (x(t_0) = x_0), (x^\prime (t_0) = v_0):}$
che determina l'equazione di un moto smorzato... Gli esempi sono tanti ed avresti una vasta gamma di scelta.
In più, per queste classi di problemi semplici, è possibile ottenere formule esplicite per rappresentare le soluzioni (mediante seni e coseni o esponenziali).
Grazie per la risposta ma non so se potrei parlare del problema di Cauchy, devo informarmi, perché qui una parte importante viene svolta dagli integrali ma dovrei parlare solo di derivate...
Ahi, ahi ahi. Volevo consigliarti anch'io una cosa con le equazioni differenziali che ho dato ad un mio studente: il teorema dell'impulso.
"@melia":
Ahi, ahi ahi. Volevo consigliarti anch'io una cosa con le equazioni differenziali che ho dato ad un mio studente: il teorema dell'impulso.
Purtroppo la consegna è troppo limitata, però vorrei saperne di più anche se non posso utilizzare quello che mi hai detto in questa specifica occasione. Ti riferisci solamente al fatto che l'impulso è l'integrale della forza rispetto al tempo o c'è qualcos'altro?
Ad uno studente ho assegnato un problema sul lancio del Soyuz, nel quale, da una serie di dati iniziali, doveva calcolare l'impulso della navicella durante l'ascesa verticale (equazione differenziale del primo ordine, ovvero un semplice integrale con problema di Cauchy), la sua legge del moto (un altro integrale), la velocità istantanea della navetta, l'accelerazione alla quale sono sottoposti gli astronauti durante l'ascesa verticale (qui rientrano in gioco le derivate). Il problema non è particolarmente difficile, ma ci sono diverse cose da calcolare ed è corredato da alcune domande di teoria.
Ad un altro studente ho assegnato un problema sul moto nel piano, con le coordinate espresse tramite il tempo. Questo è più centrato sulle derivate, perché chiedevo il modulo del vettore velocità, con direzione e verso, e idem per l'accelerazione. Poi, eliminato il parametro tempo, anche il grafico della traiettoria.
Ad un altro studente ho assegnato un problema sul moto nel piano, con le coordinate espresse tramite il tempo. Questo è più centrato sulle derivate, perché chiedevo il modulo del vettore velocità, con direzione e verso, e idem per l'accelerazione. Poi, eliminato il parametro tempo, anche il grafico della traiettoria.
Una cosa facile ma non troppo solita è mostrare come da un grafico dello spazio in funzione del tempo si possono dedurre informazioni su velocità ed accelerazione. Puoi anche aggiungere che nel linguaggio comune si parla di accelerazione pensando al valore assoluto della velocità: ad esempio, se la curva è decrescente con concavità verso il basso si dice che il corpo va all'indietro, accelerando.
Beh, scusa, che ci vuole a ricavare l’equazione del moto partendo dalla legge oraria?
Nulla.
Nulla.
Io parlavo di leggere il grafico, in assenza di qualsiasi formula. Spesso non è facile dire a quale formula corrisponda un grafico non semplicissimo.
Gugo82, ti prego di colmare la mia ignoranza: io ho sempre inteso che "equazione del moto" e "legge oraria" fossero sinonimi, entrambi esprimibili in formula o visualizzabili in grafico. Che differenza c'è?
Gugo82, ti prego di colmare la mia ignoranza: io ho sempre inteso che "equazione del moto" e "legge oraria" fossero sinonimi, entrambi esprimibili in formula o visualizzabili in grafico. Che differenza c'è?
Le proposte sono tutte valide...ma ci metto pure la mia 
Perchè non affrontare l'argomento dal punto di vista storico?
Newton ha sviluppato (a modo suo) il calcolo pensando esclusivamente alle variazioni infinitesime (flussioni) in termini di dinamica (variazioni rispetto al tempo).
Un excursus storico su derivate e integrali (e come sono legate le une agli altri) e la fisica (e le sue quantità), dal punto di vista di Newton, non sarebbe affatto male come relazione IMHO.
Puoi trovare libri e persino video dedicati all'argomento.
Perchè non affrontare l'argomento dal punto di vista storico?
Newton ha sviluppato (a modo suo) il calcolo pensando esclusivamente alle variazioni infinitesime (flussioni) in termini di dinamica (variazioni rispetto al tempo).
Un excursus storico su derivate e integrali (e come sono legate le une agli altri) e la fisica (e le sue quantità), dal punto di vista di Newton, non sarebbe affatto male come relazione IMHO.
Puoi trovare libri e persino video dedicati all'argomento.
Grazie, questa è un ottima idea, non ci avevo pensato. Approfondirò sicuramente l'argomento!
"giammaria":
Gugo82, ti prego di colmare la mia ignoranza: io ho sempre inteso che "equazione del moto" e "legge oraria" fossero sinonimi, entrambi esprimibili in formula o visualizzabili in grafico. Che differenza c'è?
Con “equazione del moto” intendevo l’equazione differenziale.
"Emanuele09":
Grazie, questa è un ottima idea, non ci avevo pensato. Approfondirò sicuramente l'argomento!
C'è un magnifico (ma breve) documentario della BBC sulla nascita del calcolo e parlato in perfetto inglese (quindi i sottotitoli ti aiuteranno).
La prima metà è dedicata a Newton: Gray ripercorre i punti salienti del ragionamento che condusse Newton a "risolvere" il problema delle tangenti attraverso i suoi stessi appunti originali!
https://www.youtube.com/watch?v=ObPg3ki9GOI
Come vedrai, Newton pensa alle curve come posizioni e alle tangenti come velocità istantanee.
Il metodo, pur rozzo, di semplificazione una volta che gli intervalli/variazioni di posizione venivano "ridotti" a zero era già conosciuti anche dal suo maestro Isaac Barrow (che formulò il teorema fondamentale del calcolo, poi provato dal suo "amico" James Gregory).
Il merito di Newton (e in contemporanea di Leibtnitz) fu di scoprire un metodo logico, sistematico e universale.
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