Spiegazione esercizio

[Aletzunny1]

$lim_(x->3)((sen(x-3))/(x^2-9))$

Non capisco perché $sen(x-3)$ può diventare $x-3$.

Cioè si parlava perché è la parte principale ma non ho ben capito cosa si intendesse... credevo si potesse sostituire solo se fossero infinitesimi equivalenti

Grazie

[mgrau]

Metti $t = x-3$ e $x = t + 3$ e diventa $x^2-9 = t(t+6)$ e $lim_(t->0)((sen(t))/t*1/(t+6))=1/6$

[Aletzunny1]

Ma quindi il fatto della parte principale conta oppure no?

[mgrau]

"Aletzunny":Ma quindi il fatto della parte principale conta oppure no?

Se proprio vuoi; lo sviluppo di $sin(x-3)$ contiene come primo termine $x-3$

[Aletzunny1]

"mgrau":[quote="Aletzunny"]Ma quindi il fatto della parte principale conta oppure no?

Se proprio vuoi; lo sviluppo di $sin(x-3)$ contiene come primo termine $x-3$[/quote]

Ma perché so che $(sen(x-3))$e$(x-3)$ tendono entrambi a zero per $x->3$ allora posso sostituirlo a $sen(x-3)$?

[mgrau]

"Aletzunny":
Ma perché so che $(sen(x-3))$e$(x-3)$ tendono entrambi a zero per $x->3$ allora posso sostituirlo a $sen(x-3)$?

Non basta: devono tendere a zero nello stesso modo... ma queste cose è meglio se te le fai spiegare da qualcuno più versato di me in analisi...

[Obidream]

Sostanzialmente te lo ha già spiegato mgrau, comunque più formalmente:

Se $lim_(x->\beta) f(x)/g(x)=1$ allora si dice che $f$ è equivalente a $g$ per $x->\beta$ e si indica così $f ~ g$ ( è un tilde, si vede molto male qui non so perché).

Inoltre se $\bar f ~ f$ e $\bar g ~ g$ per $x->\beta$ allora valgono:

1) $lim_(x->\beta) (\bar(f)(x))/(\bar(g)(x)) = lim_(x->\beta) f(x)/g(x)$

2) $lim_(x->\beta) \bar(f)(x)*\bar(g)(x) = lim_(x->\beta) f(x)*g(x)$

Ora, siccome:

$lim_(x->3) sin(x-3)/(x-3) = 1$ è vero che $sin(x-3) ~ (x-3)$ per $x->3$ per cui puoi sostituirlo nel tuo limite di partenza per la 1).

Nota che con le somme in generale non funziona.

[Aletzunny1]

Grazie mille