Sono di nuovo io, sempre disequazioni!

[Sheker]

Raga mi dovete solo dire una cosa...quando ad una disequazione manca uno dei 3 membri (a,b,c) si risolve sempre calcolando il $Delta$??

no perchè il mio libro non ne fa cenno...


di qui faccio un esempio $(a+2)x^2-(a^2-4)x<0$ con $a>2$

[Camillo]

Non è necessario usare la formula completa per trovare le radici dell'equazione di secondo grado.
Basta raccogliere x a fattor comune ottenendo :
$ x [(a+2)x-(a^2-4)] < 0$ ; inoltre fattorizzando : $ a^2-4 $ in $ (a+2)(a-2)$ si ha :
$x[(a+2)x -(a+2)(a-2)] <0 $.
Ora poichè $ a > 2 $ puoi dividere per $ (a+2)$ che è sempre$ > 0 $ e si ha :
$x[x-(a-2)] < 0 $ .
Le radici dell'equazione corrispondente sono :
$x=0 ; x = a-2$ .
La disequazione è verificata per valori di x interni all'intervallo delle radici e quindi per :
$ 0 < x < ( a-2) $ sempre essendo $ a > 2 $ .

[elvis3]

Basta risolvere la rispettiva equazione (molto più semplice rispetto a quelle complete con tutti i coefficienti).
Se si trovano due soluzioni, il $\Delta$ è sicuramente positivo.
Quindi le soluzioni della disequazione di partenza sono interne o esterne (dipende dal segno di disuguaglianza) alle soluzioni trovate.
Allo stesso modo, se l'equazione ammette una sola soluzione si avrà $\Delta=0$; se è impossibile, $\Delta < 0$.
Diciamo che è un ragionamento "al contrario", nel senso che ricavi il $\Delta$ dopo aver trovato le soluzioni.
Poi il gioco è fatto, basta tener presente il segno di disuaglianza.


Nel tuo caso: ($a>2$: i coefficienti sono tutti positivi)
$(a+2)x^2-(a+2)(a-2)x<0$
$(a+2)x(x-a+2)<0$
$x_1=0$ e $x_2=a-2$
(Le equazioni spurie hanno come soluzioni $0$ e $-b/a$, quindi il $\Delta$ è sempre positivo)
La disequazione ha come soluzione l'intervallo $0

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[Sheker]

Elvis, dal primo passaggio al secondo hai messo a fattor comune un $(a+2)x$ giusto??

non è più semplice se non si fattorizza??

Poi altra disequazione (raga scusate ma il mio vecchio prof di matematica non spiegava niente)

$(1+a^2)x^2-a^2x-1<0$

Allora trovo il $Delta$ che è $a^4+4+4a^2$ e quindi è sempre $Delta$>0
Poi si ha anche sempre $a>0$ (inteso come fattore cartesiano)

quindi devo calcolare l'intervallo tra le due radici

ora vado a trovare le due radici e faccio $(a^2 +- (a^2+2+2a)) / (2+2a^2)$
$x_1=(2a^2+2+2a) / (2+2a^2)$

$x_2=(-2-2a)/(2+2a^2)$

dov'è che sbaglio??

[Camillo]

No, attenzione le due radici sono : $(a^2+-(a^2+2) )/(2*(a^2+1)) $ e quindi :$x_1 = 1; x_2 = -1/(1+a^2)$

[Sheker]

...ok sono davvero un ebete a non aver riconosciuto il quadrato...grazie!!!!!!!!!


e poi il bello è che la n.21 cioè la successiva l'avevo fatta bene e aveva lo stesso $Delta$....va beh lasciamo stare

[Sheker]

Mi serve di nuovo il vostro aiuto

Allora

$x^2/(a^2-2a) - (2(x-1))/(a-2) + 1 >= 0

Allora ho fatto l'mcm tra i due e penso che sia $a(a-2)$, giusto?

[laura.todisco]

Giusto!

[laura.todisco]

Ora però stai attento, non lo buttare via senza pietà

[Sheker]

io non lo butto via senza pietà...ma arrivato a questo punto, che ci devo fare??

$(x-a)^2/(a(a-2)) >= 0

[laura.todisco]

Innanzitutto guarda bene il numeratore; ti sta parlando, lo senti??????? Ahahahaah

[Sheker]

me ne sono accorto...

ora però come faccio a levarlo...discuto la a?

[laura.todisco]

Separa i due casi a seconda del segno del denominatore.

[Sheker]

Potresti spiegarmi meglio??

Edit: forse dico la cazzata più grossa del mondo, ma io ci provo

allora discuto la $a$ e dico che se $a>2$ si ha anche che $A>0$
calcolo $Delta$ e vedo che $Delta=0$

quindi con $A>0$ e $Delta=0$ la disequazione è vera con $AAx€R$

se $0 $x=a$

[Camillo]

La disequazione consiste di un rapporto tra un fattore che è sempre > = 0 essendo un quadrato e quindi il numeratore è sempre $>= 0$ come è richiesto che sia la frazione .
Quindi perchè la disequazione sia soddisfatta bisogna che il denominatore sia ..... da cui ........

[Sheker]

beh però se il numeratore deve essere sempre $>= 0$ come ho fatto io non va bene dato che il numeratore risulta $<= 0$

[_nicola de rosa]

La tua disequazione è sempre soddisfatta per ogni x se e solo se
a(a-2)>0 e quindi se a<0 U a>2
altrimenti, se a(a-2)<0 e quindi 0

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[Sheker]

quindi il mio procedimento è sbagliato

se ben ho capito risolvo la disequazione $a^2-2a>0$ trovando le due radici che sono $a_1=0$ e $a_2=2$

poi provo con $a^2-2a<0$

grazie!!!!!

[Sheker]

Mi serve un altro piccolo suggerimento

$(x^2-6b)/((b+2)(b-2))+b/(b-2)>(x+b)/(b+2)$

dopo vari passaggi che non scrivo

$(x^2+2x-xb-2b)/((b+2)(b-2))>0$

$(x^2-x(b-2)-2b)/((b+2)(b-2))>0$

seguendo il ragionamento di prima deve essere

$(b+2)(b-2)>0$ ---> $b^2-4>0$ ---> $b^2>4$ ---> $b>+-2$

quindi ragionamo con $-2 < b < 2$

allora vado a trovare le due radici del numeratore $(+b-2+-(b+2))/2
$x_1=-2$
$x_2=b$

allora seguendo il ragionamento si ha che $Delta>0$ $a>0$...però perchè il mio libro mette come soluzioni i valori interni e non quelli esterni?

[laura.todisco]

"Sheker":quindi il mio procedimento è sbagliato

se ben ho capito risolvo la disequazione $a^2-2a>0$ trovando le due radici che sono $a_1=0$ e $a_2=2$

poi provo con $a^2-2a<0$

grazie!!!!!

Io separerei i 2 casi:
1) $a^2-2a>0$
2) $a^2-2a<0$

[Sheker]

ma infatti li ho separati...