Sommatoria, non tornano i conti...

[curie88]

Buona sera a tutti, potreste aiutarmi a capire che errori commetto?

$(1/2)\sum_{k=1}^n(n-k)(n-k+1)$

$(1/2)n^2\sum_{k=1}^n(n-k+1)-(1/2)(n+1)n/2\sum_{k=1}^n(n-k+1)$

$(1/2)n^2\sum_{k=1}^n(n-k+1)-(1/4)(n+1)n*\sum_{k=1}^n(n-k+1)$

$((2n^2-(n+1)n)/4)\sum_{k=1}^n(n-k+1)$

$((2n^2-n^2-n)/4) * (\sum_{k=1}^n(n) - \sum_{k=1}^n(k)+\sum_{k=1}^n(1))$

$((2n^2-n^2-n)/4)(n^2-(n+1)n/2+n)$

$((n^2-n)/8)(2n^2-(n+1)n+2n)$

...

[axpgn]

$k$ non è una costante, non puoi "contarla" a parte come se lo fosse ... (il secondo membro del primo passaggio)

[curie88]

Grazie @axpgn, è vero, più tardi me ne sono, per fortuna, accorto. La verità è che mi devo ancora abituare con le sommatorie.
Da come stavo facendo era equivalente l'equazione: $1*a+2*b+3*c = (1+2+3)(a+b+c)$
Ora riprovo a vedere, se riesco a risolvere la sommatoria, grazie ancora.

[orsoulx]

Un consiglio per lavorare un po' di meno (che lavorare stanca): in situazioni come questa, dove la variabile compare sempre nella medesima espressione, è conveniente effettuare una sostituzione. In questo caso, posto $ j=n-k$ la sommatoria diventa semplicemente $ \sum_{j=0}^{n-1} (j^2+j) $.
Ciao
B.

[curie88]

Ciao @orsoulx, ti ringrazio per il suggerimento, tuttavia, non ho ben chiaro come ottenere gli estremi della sommatoria.

[axpgn]

Posto $j=n-k$ allora quando $k=1$ abbiamo $j=n-1$ mentre quando $k=n$ allora $j=n-n=0$ e gli estremi sono quindi $j=0$ e $j=n-1$; il fatto che la sommatoria "vada al contrario" non è un problema dato che l'addizione è commutativa.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"curie88":non ho ben chiaro come ottenere gli estremi della sommatoria.

Sono i valori di $ j $ che corrispondono a quelli degli estremi di $ k $ o, se preferisci qualcosa di più formale,
$ 1 <= k <= n \rightarrow 1<= n-j <= n \rightarrow 1-n<=-j<= 0 \rightarrow 0<=j<=n-1 $
Ciao
B.

[curie88]

Ok, grazie ad entrambi, ora è chiaro.