Sommatoria dei quadrati
Salve a tutti.
Come si dimostra che $sum_(i=1)^n i^2 = (n(n+1)(2n+1))/6$ ??
Grazie
Come si dimostra che $sum_(i=1)^n i^2 = (n(n+1)(2n+1))/6$ ??
Grazie
Risposte
Per induzione su $n$ (per esempio).
Si ha che $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$.
Si possono allora scrivere le seguenti equazioni:
$(n+1)^3-n^3=3k^2+3k+1$
$ldots$
$(1+1)^3-1=3cdot1^3+3cdot1+1$
Sommando, si ha
$(n+1)^3-1=3sum_(k=1)^nk^2+3sum_(k=1)^nk+n$.
Sapendo che $sum_(k=1)^nk=(n(n+1))/2$
e risolvendo per l'incognita $sum_(k=1)^nk^2$
si ottiene l'asserto.
Si possono allora scrivere le seguenti equazioni:
$(n+1)^3-n^3=3k^2+3k+1$
$ldots$
$(1+1)^3-1=3cdot1^3+3cdot1+1$
Sommando, si ha
$(n+1)^3-1=3sum_(k=1)^nk^2+3sum_(k=1)^nk+n$.
Sapendo che $sum_(k=1)^nk=(n(n+1))/2$
e risolvendo per l'incognita $sum_(k=1)^nk^2$
si ottiene l'asserto.
Conoscendo la formula a priori,
conviene effettivamente dimostrarla
con l'approccio induttivo. La seconda
dimostrazione è di tipo costruttivo.
conviene effettivamente dimostrarla
con l'approccio induttivo. La seconda
dimostrazione è di tipo costruttivo.
Bene grazie...
Ma avevo sentito che era possibile dimostrarlo a partire dalle diagonali del triangolo di tartaglia e usando i coefficienti binomiali, ma non so se sia vera questa cosa... Che ne dite?? L'avete mai sentita?
Ma avevo sentito che era possibile dimostrarlo a partire dalle diagonali del triangolo di tartaglia e usando i coefficienti binomiali, ma non so se sia vera questa cosa... Che ne dite?? L'avete mai sentita?
Verissimo.
Si può scrivere $k^2=(1+1+ldots+1)^2$,
con $k$ addendi, ovvero $k^2=k+2[(k-1)+(k-2)+ldots+1]$.
L'ultimo membro dell'uguaglianza contiene due addendi: il
primo è la somma dei quadrati dei $k$ addendi uguali ad $1$
e il secondo è il doppio della somma dei primi $k-1$ numeri
naturali, cioè $((k),(2))$. Allora si può scrivere $k^2=k+2((k),(2))$.
Da qui $sum_(k=1)^(n-1)k^2=sum_(k=1)^(n-1)[k+2((k),(2))]$
$=sum_(k=1)^(n-1)k+2sum_(k=1)^(n-1)((k),(2))=((n),(2))+2((n),(3))=(n(n+1)(2n-1))/6$.
Si può scrivere $k^2=(1+1+ldots+1)^2$,
con $k$ addendi, ovvero $k^2=k+2[(k-1)+(k-2)+ldots+1]$.
L'ultimo membro dell'uguaglianza contiene due addendi: il
primo è la somma dei quadrati dei $k$ addendi uguali ad $1$
e il secondo è il doppio della somma dei primi $k-1$ numeri
naturali, cioè $((k),(2))$. Allora si può scrivere $k^2=k+2((k),(2))$.
Da qui $sum_(k=1)^(n-1)k^2=sum_(k=1)^(n-1)[k+2((k),(2))]$
$=sum_(k=1)^(n-1)k+2sum_(k=1)^(n-1)((k),(2))=((n),(2))+2((n),(3))=(n(n+1)(2n-1))/6$.
"elgiovo":
Verissimo.
Si può scrivere $k^2=(1+1+ldots+1)^2$,
con $k$ addendi, ovvero $k^2=k+2[(k-1)+(k-2)+ldots+1]$.
L'ultimo membro dell'uguaglianza contiene due addendi: il
primo è la somma dei quadrati dei $k$ addendi uguali ad $1$
e il secondo è il doppio della somma dei primi $k-1$ numeri
naturali, cioè $((k),(2))$. Allora si può scrivere $k^2=k+2((k),(2))$.
Da qui $sum_(k=1)^(n-1)k^2=sum_(k=1)^(n-1)[k+2((k),(2))]$
$=sum_(k=1)^(n-1)k+2sum_(k=1)^(n-1)((k),(2))=((n),(2))+2((n),(3))=(n(n+1)(2n-1))/6$.
Scusa ma mi sa che mi mancano alcuni concetti che non so...
Non ho capito perchè:
A) $k^2=k+2[(k-1)+(k-2)+ldots+1]$
B) La somma dei primi $k-1$ numeri $NN$ è $((k),(2))$
Grazie
A) $k+2[(k-1)+(k-2)+ldots+1]=k+2 (k(k-1))/2=k+k^2-k=k^2$
B) $((k),(2))=(k!)/(2!(k-2)!)=(k(k-1))/2=sum_(j=1)^(k-1)j$
B) $((k),(2))=(k!)/(2!(k-2)!)=(k(k-1))/2=sum_(j=1)^(k-1)j$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo