Sommatoria

[Azogar]

Salve a tutti ho un po' di difficoltà con questo esercizio relativo alla sommatoria:

"Utilizzando il simbolo di sommatoria si scriva in forma compatta la seguente somma"

$1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7...$

le cose che ho notato sono che il primo addendo è un $1/1$; che al numeratore c'è sempre l'1; che denominatore ci sono i numeri naturali dall'1 in poi...

Ora non come esprimere nel simbolo di sommatoria quell'alternanza di segno...

[_prime_number]

Indizio... Pensa a come si comporta $(-1)^n$.

Paola

[Azogar]

grande! non ci avevo pensato!
allora viene così:

$\sum_{i=0}^n((-1)^i)/(1+i)$

no?

[_prime_number]

Esatto, ma dal tuo primo post sembra che la sommatoria vada fino ad $\infty$, non solo $n$.

Paola

[Azogar]

ah ok! pensavo fosse uguale...

grazie mille!

[_prime_number]

No, se scrivi $n$ sembra che ti fermi ad un intero non ben precisato

Paola

[gio73]

domanda stupida, abbiate pazienza, ma il risultato non sarà infinito, ma un numero decimale con infinite cifre non periodiche, cioè un irrazionale, anche se scaturisce da una sommatoria di razionali. Giusto?

[_prime_number]

Il risultato è $log(2)$, lo vedi andando a vedere lo sviluppo di Mc Laurin di $\log(x+1)$: sostituendo $x=1$ otterrai proprio la nostra serie.

Paola

[gio73]

Grazie mille Paola, mi sembrava di aver già visto quella sommatoria tanti anni fa. Mi fa piacere rinfrescare vecchi ricordi.
Grazie ancora

Giovanna