Somma parziale di una serie geometrica

[pollon871]

Salve a tutti,

con la notazione \(\displaystyle S_n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \) si indica la successione delle somme parziali di una serie geometrica di ragione \(\displaystyle x \), dove \(\displaystyle S_n = 1 + x + ... + x^n = \sum_{k=0} ^{n} x^k \).

Secondo me è corretto dire che, fissato \(\displaystyle n \), \(\displaystyle S_n \) è la somma dei primi \(\displaystyle n+1 \) termini della serie geometrica di ragione \(\displaystyle x \), ma sul libro della Zanichelli leggo che \(\displaystyle S_n \) è la somma dei primi \(\displaystyle n \) termini e, in quanto tale, risulta \(\displaystyle S_n = \frac{1-x^n}{1-x} \).

Chi sbaglia?

[anonymous_0b37e9]

Valgono entrambe:

Somma dei primi $n+1$ termini

$\sum_{k=0}^{n}x^k=(1-x^(n+1))/(1-x)$

Somma dei primi $n$ termini

$\sum_{k=0}^{n-1}x^k=(1-x^n)/(1-x)$

Infatti:

$(1-x^(n+1))/(1-x)-x^n=(1-x^n)/(1-x)$

[pollon871]

Non ho capito perché dici che valgono entrambe. La notazione è la stessa ma indicano cose differenti.

[anonymous_0b37e9]

Se, nel libro della Zanichelli, è scritto che la somma dei primi $n$ termini è:

$S_n=\sum_{k=0}^{n-1}x^k=(1-x^n)/(1-x)$

non vedo come possa avere torto. La sola differenza è che tu, con $S_n$, intendi la somma dei primi $n+1$ termini. Ad ogni modo, ciò che importa è la correttezza delle formule riportate nel mio primo messaggio, dove la notazione $S_n$ non era nemmeno stata riportata. Trattandosi di un testo di scuola secondaria, presumo che gli autori abbiano preferito un pedice che richiamasse il numero di termini della somma parziale.